7 Raja-arvo ja jatkuvuus

Joitakina-kantaisen (a >0,a6= 1) logaritmifunktion perusominaisuuksia:

(1) log_aa^p =pkaikillap∈R, sill¨a a^p=a^p. (2) log_a1 = 0, sill¨aa⁰= 1.

(3) log_aa= 1, sill¨a a¹=a.

(4) Kunx > 0, niin a^logax =x, sill¨a log_axon se kantaluvun aeksponentti, jonka avullaxilmaistaan luvunapotenssina.

Matematiikassa lauseella tarkoitetaan v¨aitett¨a, joka on ensin todistettava, ennen kuin sit¨a voidaan pit¨a¨a totena ja k¨aytt¨a¨a sovelluksissa. Usein k¨ay kuiten- kin niin, ett¨a todistus on asiayhteyteen joko liian vaikea tai liian pitk¨a ja t¨am¨an vuoksi se sivuutetaan ja nojaudutaan sopivaan kirjallisuusviitteeseen.

Lauseiden k¨aytt¨o matemaattisessa tekstiss¨a selkiytt¨a¨a/j¨asent¨a¨a usein kovin vaikealukuista teoriaa. Lis¨aksi todistettuihin tuloksiin viittaaminen on helppoa, sill¨a lauseet numeroidaan.

Seuraavaksi kolme t¨arke¨a¨a logaritmin laskus¨a¨ant¨o¨a lauseina. Todistukset on otettu mukavuussyist¨a mukaan, mutta ne voi aivan hyvin sivuuttaakin. T¨arkein- t¨a on ymm¨art¨a¨a lauseiden v¨aitt¨am¨at.

Lause 6.14 log_ax^p=plog_ax, miss¨aa, x >0,a6= 1 jap∈R. Todistus. Ominaisuuksien (4) ja (1) mukaan

log_ax^p= log_a a^logaxp

= log_aa^plogax=plog_ax,

ja v¨aite on todistettu. 2

Lause 6.15 log_axy= log_ax+ log_ay, miss¨aa, x, y >0 ja a6= 1.

Todistus. Ominaisuuksien (4) ja (1) mukaan log_axy= log_a a^logaxa^logay

= log_aa^logax+logay= log_ax+ log_ay,

ja v¨aite on todistettu. 2

Lause 6.16 log_a ^x_y = log_ax−log_ay, miss¨aa, x, y >0 ja a6= 1.

Todistus. Lauseen 6.15 nojalla log_ax

y = log_ax+ log_a 1

y. (6.1)

Toisaalta Lausen 6.14 nojalla log_a 1

y = log_ay⁻¹=−log_ay. (6.2)

V¨aite seuraa yht¨al¨oist¨a (6.1) ja (6.2). 2

Esimerkki 6.17 Ratkaise yht¨al¨o log₃(2x−1) = 4.

20

Ratkaisu. Yht¨al¨o on m¨a¨aritelty, kun 2x−1 > 0, eli kunx > 1/2. Logaritmin m¨a¨aritelm¨an nojalla

3⁴= 2x−1, josta saadaan

x= 1

2 3⁴+ 1

= 41.

Koska 41>1/2, vastaukseksi saadaanx= 41.

Esimerkki 6.18 Ratkaise yht¨al¨o log₂x+ log₂(x+ 3) = log₂(x+ 8).

Ratkaisu.Yht¨al¨o on m¨a¨aritelty, kunx >0,x+ 3>0 jax+ 8>0. N¨am¨a ehdot ovat voimassa, kun x > 0. Sovelletaan annetun yht¨al¨on vasemmalla puolella Lausetta 6.15, saadaan

log₂(x(x+ 3)) = log₂(x+ 8).

Logaritmifunktio on aidosti monotoninen, joten x(x+ 3) =x+ 8, eli

x²+ 2x−8 = 0. (6.3)

Toisen asteen yht¨al¨on ratkaisukaavalla saadaan x= 2 taix=−4. N¨aist¨a vain x= 2 toteuttaa alkuehdonx >0 ja on n¨ain ollen teht¨av¨ass¨a annetun yht¨al¨on ainoa ratkaisu.

Huomautus. Olisimme voineet ratkaista Esimerkin 6.18 my¨os seuraavasti: Siir- ret¨a¨an annetun yht¨al¨on kaikki termit samalle puolelle, saadaan

log₂x+ log₂(x+ 3)−log₂(x+ 8) = 0.

T¨am¨an j¨alkeen sovelletaan Lauseita 6.15 ja 6.16, jolloin log₂x(x+ 3)

x+ 8 = 0.

Logaritmi on aidosti monotoninen, joten sill¨a on korkeintaan yksi nollakohta. Pe- rusominaisuuden (2) nojalla jokainen logarimifunktio saa arvon nolla pisteess¨a 1. N¨ain ollen

x(x+ 3) x+ 8 = 1.

T¨ast¨a saadaan toisen asteen yht¨al¨o (6.3), jolla on ratkaisuinax= 2 taix=−4.

N¨aist¨a vainx= 2>0 kelpuutetaan ratkaisuksi.

21

7 Raja-arvo ja jatkuvuus

T¨ass¨a luvussa tarkastelemme reaalifunktion raja-arvoa, johon mm. jatkuvuus perustuu. Molempia k¨asitteit¨a tarvitsemme my¨ohemmin ymm¨art¨a¨aksemme de- rivaatan k¨asitteen. Derivaatta puolestaan liittyy reaalifunktion monotonisuu- teen ja ympyr¨a on n¨ain ollen sulkeutunut.

Reaalifunktion raja-arvoksi pisteess¨a x0 sanotaan sit¨a arvoa, jota funktion arvot l¨ahestyv¨at ”mielivaltaisen l¨ahelle”, kun x:n arvo l¨ahestyy x0:aa.

Esimerkki 7.1 Funktionf(x) =x²raja-arvo pisteess¨ax= 5 on 25, sill¨a mit¨a l¨ahemp¨an¨a xon arvoa 5, sit¨a l¨ahemp¨an¨a funktion arvo on arvoa 25.

muuttuja x 4,9 4,99 4,999 5,001 5,01 5,1 funktio f(x) 24,01 24,90 24,99 25,01 25,10 26,01 Tosin my¨os funktion arvo pisteess¨a x= 5 voidaan laskea:f(5) = 25.

Raja-arvon avulla voidaan tutkia funktion arvoa my¨os sellaisissa pisteiss¨a, joissa funktio ei ole m¨a¨aritelty. Riitt¨a¨a, ett¨a funktio on m¨a¨aritelty kyseisen pis- teen l¨aheisyydess¨a.

Esimerkki 7.2 Funktionf(x) = _x¹ arvoa ei voida laskea nimitt¨aj¨an nollakoh- dassax= 0. Sen sijaan raja-arvoa pisteess¨a x= 0 voidaan tarkastella.

muuttujax -0.1 -0.01 -0.001 0 0,001 0,01 0,1 funktiof(x) -10 -100 -1000 ei m¨a¨aritelty 1000 100 10 Funktionf raja-arvoa pisteess¨a x0 merkit¨a¨an

x→xlim0

f(x).

Lyhenne ”lim” tulee latinankielen sanasta limes, joka tarkoittaa rajaa. Mer- kint¨a luetaan ”raja-arvo (tai limes)f(x), kunxl¨ahestyyx0:aa”. Esimerkin 7.1 tapauksessa merkit¨a¨an siis

x→5limx²= 25.

Esimerkki 7.3 Laske raja-arvot (a) lim

x→3 2x²+ 5x−4

(b) lim

x→1

x²+x−2 x−1 . Jotta funktiolla f olisi raja-arvo a pisteess¨a x0, on funktion arvojen f(x) l¨ahestytt¨av¨a lukua a l¨ahestyttiinp¨a pistett¨a x = x0 oikealta tai vasemmalta.

N¨ait¨a l¨ahestymistapoja kutsutaantoispuolisiksi raja-arvoiksi ja merkit¨a¨an

x→xlim0−f(x) ja lim

x→x0+f(x)

(vasemman- ja oikeanpuoleinen raja-arvo). Siis, mik¨ali raja-arvo on olemassa, merkint¨a

x→xlim0

f(x) =a on yht¨apit¨av¨a merkint¨ojen

x→xlim0−f(x) =a ja lim

x→x0+f(x) =a 22

kanssa, ja k¨a¨ant¨aen. Huomaa, ett¨a funktionfei tarvitse olla m¨a¨aritelty pisteess¨a x₀. Esimerkin 7.2 tapauksessa merkit¨a¨an

x→0−lim 1

x=−∞ ja lim

x→0+

1

x = +∞.

Koska toispuoleiset raja-arvot ovat erisuuret, raja-arvoa

x→0lim 1 x ei ole olemassa.

Esimerkki 7.4 Laske lim

x→∞

4x³−x+ 7 x³+x²−1. Esimerkki 7.5 Laske lim

x→9

x−9 x²−81. Esimerkki 7.6 Laske raja-arvot (a) lim

x→∞

1 + 1

x x

(b) lim

x→∞

1 + 5

x x

. Esimerkki 7.7 Johdetaan Esimerkin 6.9 saldofunktioS(t) = 2000·e^0,02·t. Muo- dostamme ensin saldofunktiot tapauksissa, kun korko (2 %) huomioidaan kerran vuodessa, kahdesti vuodessa, kuukausittain, p¨aivitt¨ain, tunneittain, jne. Ole- tamme seuraavassa, ett¨a aikaton annettu vuosina.

Jos korko huomioitaisiin kerran vuodessa, olisi saldo S1(t) = 2000·(1 + 0,02)^t. Jos korko huomioitaisiin puolivuosittain, olisi saldo

S₂(t) = 2000·

1 +0,02 2

2t

.

Jos korko huomioitaisiin kuukausittain, olisi saldo S₁₂(t) = 2000·

1 +0,02 12

^12t .

Jaetaan vuosin:¨a¨an yht¨asuureen osaan, miss¨a n∈N. T¨all¨oin Sn(t) = 2000·

1 + 0,02 n

nt

= 2000·

1 + 1 n/0,02

n/0,02!0,02·t

, joten

S(t) = lim

n→∞S_n(t) = lim

n

0,02→∞S_n(t) = 2000·e^0,02·t, ja saldofunktio on n¨ain ollen johdettu.

Raja-arvolaskennassa ilmaisu ”mielivaltaisen l¨ahelle” voidaan korvata ma- temaattisemmalla ε-δ-tekniikalla, joka joudutaan sivuuttamaan t¨all¨a kurssil- la (ks. Analyysi I). Lis¨a¨a harmaita hiuksia aiheuttaa se, ett¨a erilaisia raja- arvotyyppej¨a on reippaasti toista kymment¨a. Jos haluttaisiin antaa kaiken kat- tava raja-arvon m¨a¨aritelm¨a, tulisi kaikki n¨am¨a eri tapaukset k¨ayd¨a l¨api. T¨am¨a puolestaan veisi kohtuuttomasti aikaa.

23