Solmu 1
Lukujonon raja-arvo
Markku Halmetoja M¨ant¨an lukio
Lukujonon raja-arvo on matemaattisen analyysin t¨ar- keimpi¨a k¨asitteit¨a, sill¨a sen avulla voidaan m¨a¨aritel- l¨a suurin osa analyysin muista k¨asitteist¨a. Raja-arvon m¨a¨aritelm¨an avulla on my¨os helpointa oppia analyysin keskeisimm¨an ty¨ov¨alineen, ε-tekniikan, k¨aytt¨o. Raja- arvon tarkka m¨a¨aritelm¨a ja siihen liittyv¨a ε-tekniikka eiv¨at ole koskaan kuuluneet lukion oppim¨a¨ar¨a¨an, mut- ta kokemus on osoittanut, ett¨a matematiikasta todella kiinnostuneella lukiolaisella ei ole mit¨a¨an ik¨a¨an liitty- v¨a¨a kehityspsykologista estett¨a niiden omaksumiseen.
T¨am¨a kirjoitelma pyrkii t¨aydent¨am¨a¨an lukioissa k¨ay- tettyj¨a oppimateriaaleja mainituilta osin ja n¨ain joh- dattamaan asiasta kiinnostuneen lukijan matemaatti- sen analyysin perusteiden syvemp¨a¨an ymm¨art¨amiseen.
M¨a¨arittelemme raja-arvon aluksi havainnollisesti ja tarkennamme m¨a¨aritelm¨a¨a asteittain, kunnes saamme sen matemaattisesti moitteettomaksi. Havainnollistam- meε-tekniikkaa muutamalla esimerkill¨a ja lopuksi an- namme sarjan harjoitusteht¨avi¨a, joiden huolellinen suo- rittaminen varmistaa asian ymm¨art¨amisen.
Lukujono(an) suppenee kohti raja-arvoa a, jos jonon termit an l¨ahestyv¨at rajattomasti lukua a eli tulevat mielivaltaisen l¨ahelle lukua a, kun n kasvaa rajatto- masti.
Mit¨a tarkoitetaan rajattomalla l¨ahestymisell¨a eli mie- livaltaisen l¨ahelle tulemisella ja luvun n rajattomalla
kasvamisella? Merkitsemme niit¨a nuolilla an → a ja n → ∞, mutta merkint¨atapa ei ole vastaus kysymyk- seen. Koska lukujenaja an v¨alinen et¨aisyys on niiden erotuksen itseisarvo¯¯a−an
¯¯, voimme joka tapauksessa sanoa, ett¨a
an→ajos ja vain jos¯¯a−an
¯¯→0, kunn→ ∞.
Sek¨a rajaton l¨ahestyminen ett¨a kasvaminen ovat ku- vailevia k¨asitteit¨a, jotka eiv¨at sellaisenaan kelpaa ma- temaattiseen m¨a¨aritelm¨a¨an. Ne on voitava m¨a¨aritel- l¨a yksinomaan reaalilukujen ominaisuuksia k¨aytt¨aen.
Tarkastelemme aluksin:n kasvamista. Kuinka suureksi sen pit¨a¨a tulla, jotta raja-arvo saavutettaisiin? V¨altt¨a- m¨att¨a mik¨a¨an ¨a¨arellinen arvo ei riit¨a, sill¨a esimerkiksi jonon (an),an = 1/n, termit l¨ahestyv¨at nollaan:n kas- vaessa, mutta raja-arvoa 0 ei saavuteta mill¨a¨ann:n ar- volla. Lukunon siis valittavasuuremmaksi kuin mik¨a tahansa ennalta asetettu ¨a¨arellinen rajakohtaN ∈Z+. T¨at¨a merkitsemme lyhyesti n → ∞ ja sanomme n:n l¨ahestyv¨an ¨a¨aret¨ont¨a.
Et¨aisyys¯¯a−an¯¯onn:st¨a riippuva ei-negatiivinen reaa- liluku. Jos sevoidaann:¨a¨a kasvattamalla tehd¨a pienem- m¨aksi kuin mik¨a tahansa ennalta valittu positiivinen reaaliluku, niin sanomme sen tulevan mielivaltaisen l¨a- helle nollaa. N¨ain my¨os rajaton nollaa l¨ahestyminen tu- lee m¨a¨aritellyksi reaalilukujen ominaisuuksien avulla ja voimme nyt muotoilla raja-arvon tarkan m¨a¨aritelm¨an.
2 Solmu
Teemme sen aluksiErnst Lindel¨ofin(1870−1946) mai- nion teoksen ”Johdatus korkeampaan analyysiin”, [2], teksti¨a my¨ot¨aillen.
Lukujonolla (an)sanotaan olevan luku araja-arvona, eli lukujonon sanotaan suppenevan kohti raja-arvoaa, jos jokaista positiivilukuaε kohden, valittakoon t¨am¨a miten pieni hyv¨ans¨a, aina voidaan m¨a¨ar¨at¨a sellainen kokonaislukuNε, ett¨a
¯¯a−an
¯¯< ε niin pian kuin n > Nε.
Edelleen Lindel¨ofi¨a lainaten:N¨am¨a ep¨ayht¨al¨ot sis¨alt¨a- v¨at sen, ett¨a kaikki jonon (an) luvut, joille n > Nε, joutuvat v¨alille]a−ε, a+ε[. Jos valitaan pienempiε, niin lukuaNεt¨aytyy yleens¨a suurentaa, jotta t¨am¨a eh- to olisi t¨aytetty.
Lindel¨ofin ”Johdatuksen”, samoin kuin h¨anen muitakin teoksiaan, saattaa l¨oyt¨a¨a suurimpien kaupunkien kir- jastoista ja hyv¨all¨a onnella my¨os antikvariaateista. Se on yksi merkitt¨avimmist¨a Suomessa ilmestyneist¨a ma- tematiikan oppikirjoista, sill¨a sen avulla suomalaisen matematiikan maailmanmaineeseen kohottaneet funk- tioteoreetikot opiskelivat analyysin alkeet 1900-luvun alkupuolella. Rolf Nevanlinna (1895−1980) on sano- nut teoksen vaikuttaneen ratkaisevasti h¨anen urava- lintaansa. H¨an oli harkinnut klassisten kielten opiske- lua, mutta ylioppilaskes¨an¨a luettu ”Johdatus” her¨atti h¨aness¨a peruuttamattoman kiinnostuksen matematiik- kaan. My¨os akateemikkoOlli Lehto [1] on kertonut lu- keneensa teoksen ylioppilaskes¨an¨a¨an samoin seurauk- sin.
Vanhahtavasta kieliasustaan huolimatta Lindel¨ofin an- tama m¨a¨aritelm¨a on viel¨akin pedagogisesti ylitt¨am¨a- t¨on, sill¨a se on matemaattisesti tarkka ja samalla siin¨a selitet¨a¨an asia ytimekk¨a¨asti. Samaan tarkkuuteen ja se- litt¨avyyteen pyrit¨a¨an teoksessa [3], jossa annettu raja- arvon m¨a¨aritelm¨a on oikeastaan vain Lindel¨ofin m¨a¨ari- telm¨an k¨a¨ann¨os nykysuomeksi.
Lukujono (an) suppenee kohti raja-arvoaa, jos jokaista positiivista lukuaε vastaa sellainen positiivinen koko- naislukunε, ett¨a
¯¯a−an¯¯< ε aina, kun n≥nε.
Kunε >0on kiinnitetty, olipa se kuinka pieni tahansa, t¨aytyy siis l¨oyty¨a t¨allainen (tavallisesti ε:sta riippuva) lukunε.
Luentomaisessa esityksess¨a, jossa selitykset voidaan tehd¨a suullisesti, m¨a¨aritelm¨a on tapana tiivist¨a¨a logii- kan k¨asitteit¨a hy¨odynt¨aen. N¨ain saadaan itse asiassa kielimuurit ylitt¨av¨a raja-arvon m¨a¨aritelm¨a.
Lukujonon(an)raja-arvo ona, jos
∀ε∈R+: ∃nε∈Z+: n > nε⇒¯¯a−an
¯¯< ε.
M¨a¨aritelm¨an avulla emme voi laskea annetun jonon raja-arvoa. Sen avulla voimme ainoastaan todistaa, et- t¨a annettu luku joko on tai ei ole annetun jonon raja- arvo. Esimerkit selvent¨av¨at asiaa.
Esim. 1. Todistamme, ett¨a liman = 2, kun an = (2n+ 1)/(n−1).
Olkoonεmielivaltaisesti valittu positiivinen luku. T¨al- l¨oin
¯¯2−an
¯¯=¯¯¯2−2n+ 1 n−1
¯¯
¯= 3
n−1 < ε,
josn >1 + 3/ε. Jos siis kokonaislukunε on v¨ahint¨a¨an yht¨asuuri kuin reaaliluku 1 + 3/ε ja n suurempi kuin nε, niin ¯¯2−an
¯¯< ε olipa positiivinenε kuinka pieni tahansa. Siisan→2, kunn→ ∞.
Esim. 2. Osoitamme, ett¨a liman 6= 2, kun an = (3n−1)/(n−1).
Tutkimalla erotusta¯¯2−an
¯¯n¨aemme, ett¨a
¯¯2−an¯¯=¯¯¯2−3n−1 n−1
¯¯
¯= n+ 1 n−1 >1, kunn≥2, joten ep¨ayht¨al¨o¯¯2−an
¯¯< εei voi toteutua jos esimerkiksi 0< ε <1. T¨aten liman 6= 2.
Se, ett¨a (esimerkiss¨a 1) reaalilukua 1 + 3/ε suurempia kokonaislukuja on olemassa, seuraa reaalilukujen pe- rusominaisuuksista, joihin emme puutu t¨ass¨a yhteydes- s¨a. Kiinnostunut lukija voi perehty¨a reaalilukujen ak- siomaattiseen esitykseen, samoin kuin jatkuvan funk- tion ominaisuuksien todistamiseen, teoksen [3] avulla.
Siin¨a selvitet¨a¨an my¨osε-todistusten laatiminen eritt¨ain yksityiskohtaisesti.
M¨a¨aritelm¨an avulla voimme todistaa my¨os jonoja kos- kevia yleisi¨a lauseita.
Esim. 3. Jos (an) ja (bn) ovat suppenevia jonoja, niin my¨os niiden termien summista muodostuva jono (an+bn) on suppeneva ja
lim (an+bn) = liman+ limbn.
Todistus.Olkoot liman =a, limbn=bjaεmielivaltai- sesti valittu positiivinen reaaliluku. Raja-arvon m¨a¨ari- telm¨an perusteella on olemassa kokonaisluvutn1 jan2
siten, ett¨a|a−an|< ε/2, josn > n1, ja|b−bn|< ε/2, josn > n2. Jos nytn >max (n1, n2), niin kolmioep¨ayh- t¨al¨o¨a soveltaen saamme
¯¯(a+b)−(an+bn)¯¯=¯¯(a−an) + (b−bn)¯¯
≤¯¯a−an
¯¯+¯¯b−bn
¯¯< ε/2 +ε/2 =ε, mist¨a v¨ait¨os seuraa.
Solmu 3
Voisimme valita luvut n1 ja n2 my¨os siten, ett¨a
|a−an|< ε, josn > n1, ja|b−bn|< ε, josn > n2. T¨al- l¨oin, jos n >max (n1, n2), niin saamme kolmioep¨ayh- t¨al¨on avulla
¯¯(a+b)−(an+bn)¯¯=¯¯(a−an) + (b−bn)¯¯
≤¯¯a−an
¯¯+¯¯b−bn
¯¯< ε+ε= 2ε, mist¨a v¨ait¨os my¨os seuraa, sill¨a 2ε on yht¨alailla mieli- valtainen positiivinen reaaliluku kuinε.
Harjoitusteht¨ avi¨ a
1.
Osoita, ett¨a esimerkiss¨a n:o 2 annetun jonon raja- arvo on 3.2.
Olkooncreaalinen vakio ja (an) suppeneva jono.Osoita, ett¨a
lim (c an) =c liman.
3.
Jono (an) onrajoitettu, jos on olemassaM ∈R+ siten, ett¨a kaikillan:n arvoilla on¯¯an¯¯≤M. Osoi- ta, ett¨a suppenevat jonot ovat rajoitettuja.4.
Osoita: Jos liman = a ja limbn = b, niin lim (anbn) =ab.5.
Osoita: Jos liman=aja liman=b, niina=b.6.
Osoita: Jonon (an) raja-arvo on ajos ja vain jos jokaisen v¨alin]a−ε, a+ε[ (ε∈R+)
ulkopuolella on korkeintaan ¨a¨arellinen m¨a¨ar¨a jo- non termej¨a.
