M¨a¨ar¨a¨a luvun 1

802655S KETJUMURTOLUVUT (5OP)

Loppukoe 18.6.2012 OPISKELIJANUMERO!!, EI LASKIMIA 1. a) M¨a¨ar¨a¨a luvun 1/13 desimaaliesitys.

b) M¨a¨ar¨a¨a luvun

1

2^a5^c·13, a, c∈N desimaaliesityksen alkutermin ja jakson pituudet.

2. a) M¨a¨ar¨a¨a jaksollisen ketjumurron [2,4] arvo.

b) M¨a¨ar¨a¨a luvun 2.718 yksinkertainen ketjumurtokehitelm¨a.

3. Olkoond∈Z⁺. M¨a¨ar¨a¨a luvun 1 +

√

4d²+ 1 2 yksinkertainen ketjumurtokehitelm¨a.

4. a) Olkoot

τk =K^∞_n=k an

bn

, ak, bk ∈Z ja

0<|τk|<1 ∀k ∈Z⁺. Todista, ett¨a

K^∞_n=1 an

bn

/

∈Q.

b) K¨aytt¨aen tulosta

e^z −e^−z e^z+e^−z = z

1⁺ z²

3⁺ z²

5⁺ z²

7^+...

n¨ayt¨a, ett¨a

log 5 ∈/ Q.