M¨a¨ar¨a¨a Γ(1).Gamma-funktiolla on ominaisuus Γ(n+1

Matematiikan perusmetodit II 1. v¨alikoe 24.3.2004

1. a) Tutki integraalin Z∞

1

1 x√

xdx suppenemista.

b) Gamma-funktio Γ m¨a¨aritell¨a¨an ehdolla Γ(x) =

∞R

0

t^x−1e^−tdt, x > 0.

M¨a¨ar¨a¨a Γ(1).Gamma-funktiolla on ominaisuus Γ(n+1) = nΓ(n) aina, kun n = 1,2,· · · . M¨a¨ar¨a¨a t¨am¨an avulla

∞R

0

t³e^−tdt.

2. Vektoreille ¯a ja ¯b ∈ R³ on voimassa ||¯a|| = 2, ||¯b|| = 3 ja ||¯a−¯b|| = 4.

M¨a¨ar¨a¨a ¯a·¯b ja ||a¯+ ¯b||.

3. a) Laske ¯aׯb, kun ¯a = (1,2,2) ja ¯b = (1,1,−1).

b) Laske determinantti

1 −1 1

2 1 1

1 3 −2

.

4. M¨a¨ar¨a¨a pisteiden (2,1,1), (1,0,2) ja (1,2,3) kautta kulkevan tason yht¨al¨o. Tutki kuuluvatko pisteet (-1,2,6) ja (1,1,1) t¨alle tasolle.

M¨a¨ar¨a¨a pisteen (1,0,-1) et¨aisyys t¨ast¨a tasosta.