802655S KETJUMURTOLUVUT (5OP)
Loppukoe 5.3.2012 EI LASKIMIA
1. a) M¨a¨ar¨a¨a luvun 1/13 desimaaliesitys.
b) M¨a¨ar¨a¨a luvun
1
2a5c·13, a, c∈N desimaaliesityksen alkutermin ja jakson pituudet.
2. a) Olkoond∈Z+. M¨a¨ar¨a¨a luvun
√
d2+ 2 yksinkertainen ketjumurtolukuesitys.
b) M¨a¨ar¨a¨a luvun 2.718 yksinkertainen ketjumurtokehitelm¨a.
3. M¨a¨ar¨a¨a jaksollisen ketjumurron 3 +K∞n=1
−1
3
= 3 + −1 3 +
−1 3 +
−1 3 +...
arvo. Tarkat perustelut.
4. a) Olkoot
τk =K∞n=k an
bn
, ak, bk ∈Z ja
0<|τk|<1 ∀k ∈Z+. Todista, ett¨a
K∞n=1 an
bn
/
∈Q.
b) K¨aytt¨aen tulosta
ez −e−z ez+e−z = z
1+ z2
3+ z2
5+ z2
7+...
n¨ayt¨a, ett¨a
log 5 ∈/ Q.
