Matematiikan perusmetodit II Loppukoe 4.10.2004 1. Gamma-funktio m¨a¨aritell¨a¨an ehdolla Γ(x) =

Matematiikan perusmetodit II Loppukoe 4.10.2004

1. Gamma-funktio m¨a¨aritell¨a¨an ehdolla

Γ(x) = Z∞

0

t^x−1e^−t, kun x > 0.

M¨a¨ar¨a¨a Γ(1).

2. Olkoot T₁ ja T₂ R³:n tasoja, joille T₁ = {r¯ ∈ R³|r¯ = (1,−1,1) + s(1,0,−1) +t(2,1,0), s, t ∈ R} ja T₂ = {(x, y, z) ∈ R³|x+y+ 2z = 3}. M¨a¨ar¨a¨a tasojen T₁ ja T₂ leikkaus T₁∩T₂.

3. M¨a¨ar¨a¨a ∇f, kun f(x, y) = x²y+x√ y.

4. M¨a¨ar¨a¨a osittaisderivaatat h_x, h_y ja h_z, kun h(¯r) = f(r), miss¨a f on pallosymmetrinen funktio f(r) = r + ¹_r, r = p

x² +y²+z², r¯ = (x, y, z) ∈ R³.

5. M¨a¨ar¨a¨a funktion f(x, y) = xy² ¨a¨ariarvot ehdolla x² +y² = 9.