Analyysi I
Harjoitus 6/2004
1. Olkoon f :A→B aidosti v¨ahenev¨a. Osoita, ett¨a f on injektio.
2. Olkoon f :A→B aidosti v¨ahenev¨a. Osoita, ett¨ax < y jos ja vain josf(x)> f(y).
3. Ratkaise ep¨ayht¨al¨o
√4
x+ 1<√4
2x−5.
4. Olkoot a, b, c, d∈R\ {0}vakioita siten, ett¨a ad−bc6= 0. Olkoon f(x) = ax+b
cx+d, x6=−d c.
M¨a¨ar¨a¨a f:n k¨a¨anteiskuvaus ja k¨a¨anteiskuvauksen m¨a¨arittelyjoukko.
5. Osoita, ett¨a kuvaus f :R+→R+,
f(x) = 2x2+ 3 5x , ei ole injektio.
6. Olkoon
f(x) = 2x3+ 3 4x3+ 5,
miss¨ax∈R\{q3−54}. M¨a¨ar¨a¨af:n k¨a¨anteiskuvaus ja k¨a¨anteiskuvauksen m¨a¨arittelyjoukko.
7. Olkoot f :R→R ja g :R→R bijektioita. Esit¨a yhdistetyn funktion (g◦f)(x) := g(f(x))
k¨a¨anteiskuvaus k¨a¨anteiskuvausten f−1 ja g−1 avulla. (Vihje! Merkitse y= (g◦f)(x) = g(f(x))
ja ratkaise x k¨a¨anteiskuvauksia f−1 ja g−1 k¨aytt¨aen).
