Alaraja-arvo ja yläraja-arvo

(1)

Lumi Suomalainen

ALARAJA-ARVO JA YLÄRAJA-ARVO

Informaatioteknologian ja viestinnän tiedekunta Kandidaattitutkielma Maaliskuu 2020

(2)

Tiivistelmä

Lumi Suomalainen: Alaraja-arvo ja yläraja-arvo Kandidaattitutkielma

Tampereen yliopisto

Matematiikan ja tilastotieteen tutkinto-ohjelma Maaliskuu 2020

Tässä tutkielmassa käsittelemme lukujonojen alaraja-arvoa ja yläraja-arvoa. Tarkas- telemme alaraja-arvon ja yläraja-arvon yksikäsitteisyyttä ja olemassaoloa. Todistam- me myös, että rajoitetulla reaalilukujonolla on olemassa suppeneva osajono. Tätä tulosta sanotaan Bolzanon-Weierstrassin lauseeksi.

Avainsanat: raja-arvo, alaraja-arvo, yläraja-arvo, lukujono, suppeneminen, hajaantuminen, Bolzanon-Weierstrassin lause

Tämän julkaisun alkuperäisyys on tarkastettu Turnitin OriginalityCheck -ohjelmalla.

(3)

Sisältö

1 Johdanto 4

2 Valmistelevia tarkasteluja 5

2.1 Lukujonot ja raja-arvo . . . 5 2.2 Kohti ääretöntä hajaantuvat lukujonot . . . 6 2.3 Rajoitetut lukujonot . . . 6

3 Alaraja-arvo ja yläraja-arvo 9

3.1 Alaraja-arvon ja yläraja-arvon olemassaolo ja yksikäsitteisyys . . . 9

4 Bolzanon-Weierstrassin lause 14

Lähteet 16

(4)

1 Johdanto

Tämän tutkielman luvussa 3 tarkastelemme lukujonojen alaraja-arvoa ja yläraja- arvoa.

Ensimmäiseksi määrittelemme alaraja-arvon ja yläraja-arvon käsitteet. Alaraja- arvo on arvo, jota lukujono lähestyy alapuolelta, kun muuttuja tai jonon indeksi lähestyy tiettyä arvoa. Vastaavasti yläraja-arvo on arvo, jota lukujono lähestyy ylä- puolelta, kun muuttuja tai jonon indeksi lähestyy tiettyä arvoa. Määrittelemme myös, milloin lukujono lähestyy positiivista tai negatiivista ääretöntä. Toiseksi todistamme alaraja-arvon ja yläraja-arvon olevan yksikäsitteisiä. Kolmanneksi todistamme raja-arvon olevan olemassa vain silloin, kun yläraja-arvo ja alaraja-arvo ovat yhtä suuret.

Luvussa 4 todistamme, että rajoitetulla reaalilukujonolla on olemassa suppeneva osajono. Tätä tulosta sanotaan jonoja koskevaksi Bolzanon-Weierstrassin lauseeksi. Sitä ennen kuitenkin esitämme kuristusperiaatteen. Kuristusperiaatteen nojalla voimme määrittää lukujonon raja-arvon, kun tiedämme sitä suuremman tai yhtä suuren lukujonon ja sitä pienemmän tai yhtä suuren lukujonon raja-arvojen olevan yhtä suuret.

Luvussa 2 käymme läpi valmistelevia tarkasteluja, jotka pitävät sisällään lukujo- noihin ja raja-arvoon liittyviä määritelmiä, lauseita ja esimerkkejä.

Lukijalta edellytämme joidenkin analyysin perusasioiden tuntemista. Lähdeteok- sina käytämme Lebl’n teosta Basic analysis: Introduction to real analysis, Trenchin teosta Introduction to real analysis sekä Thomsonin, Brucknerin ja Brucknerin teosta Elementary real analysis.

(5)

2 Valmistelevia tarkasteluja

2.1 Lukujonot ja raja-arvo

Luku 2.1 pohjautuu Lebl’n teokseen [1, s. 43–45].

Määritelmä 2.1. (Reaali)lukujono on funktio 𝑥: ℕ → ℝ. Merkinnän 𝑥(𝑛) sijaan merkitsemme yleensä n:ttä alkiota alaindeksillä tähän tapaan: 𝑥_𝑛. Käytämme mer- kintää{𝑥_𝑛}tai tarkemmin merkintää

{𝑥_𝑛}^∞_𝑛₌₁

lukujonosta. Lukujono {𝑥_𝑛} on rajoitettu, kun on olemassa sellainen 𝐵 ∈ ℝ, että

|𝑥_𝑛| ≤ 𝐵kaikilla𝑛 ∈ℕ. Toisin sanoen, lukujono{𝑥_𝑛}on rajoitettu aina, kun joukko {𝑥_𝑛:𝑛 ∈ℕ}on rajoitettu.

Määritelmä 2.2. Lukujonon {𝑥_𝑛} sanotaan suppenevan kohti lukua 𝑥 ∈ ℝ, jos jokaista lukua𝜀 > 0kohti on olemassa sellainen𝑀 ∈ℕ, että|𝑥_𝑛−𝑥| < 𝜀jokaisella 𝑛 ≥ 𝑀. Luvun𝑥sanotaan olevan lukujonon{𝑥_𝑛}raja-arvo. Kirjoitetaan

𝑛lim→∞

𝑥_𝑛=𝑥 .

Lukujonon, joka suppenee, sanotaan olevan suppeneva. Muuten lukujonon sanotaan olevan hajaantuva.

Esimerkki 2.3. Lukujono{︁2 3𝑛

}︁ on suppeneva ja lim^𝑛→∞

2 3𝑛 =0.

Todistus: Olkoon𝜀 > 0. Tällöin on olemassa sellainen 𝑀 ∈ℕ, että0 < ²

3 𝑀 < 𝜀. Silloin jokaisella𝑛 ≥ 𝑀 pätee yhtälö

(2.1) |𝑥_𝑛−0|=

|︁

2 3𝑛

|︁

= 2 3𝑛

≤ 2 3 𝑀

< 𝜀 .

Lause 2.4. Suppenevalla lukujonolla on yksikäsitteinen raja-arvo.

Todistus. Oletetaan, että lukujonolla {𝑥_𝑛} on raja-arvo 𝑥 ja raja-arvo 𝑦. Valitaan mielivaltainen𝜀 > 0. Määritelmästä saamme alkion 𝑀₁, jolle pätee, että jokaisella 𝑛 ≥ 𝑀₁, |𝑥_𝑛 −𝑥| < ^𝜀

2. Vastaavasti löydämme sellaisen alkion 𝑀₂, että jokaisella 𝑛 ≥ 𝑀₂, |𝑥_𝑛−𝑦| < ^𝜀

2. Valitaan 𝑀 =max{𝑀₁, 𝑀₂}. Kun𝑛 ≥ 𝑀, niin

|𝑦−𝑥|= |𝑥_𝑛−𝑥− (𝑥_𝑛−𝑦) |

≤ |𝑥_𝑛−𝑥| + |𝑥_𝑛− 𝑦|

<

𝜀 2

+ 𝜀 2

=𝜀 .

(6)

Siis|𝑦−𝑥| < 𝜀 jokaisella𝜀 > 0, joten |𝑦−𝑥| = 0ja 𝑦 =𝑥. Siitä johtuen raja-arvo

(jos se on olemassa) on yksikäsitteinen. □

2.2 Kohti ääretöntä hajaantuvat lukujonot

Sanotaan, että{𝑥_𝑛}hajaantuu kohti ääretöntä, ja merkitään

𝑛→∞lim

𝑥_𝑛=∞,

jos millä tahansa reaaliluvulla 𝑎, 𝑥_𝑛 > 𝑎 suurilla indeksin 𝑛 arvoilla. Vastaavasti sanotaan, että{𝑥_𝑛}hajaantuu kohti negatiivista ääretöntä, ja merkitään

𝑛lim→∞

𝑥_𝑛 =−∞,

jos millä tahansa reaaliluvulla𝑎, 𝑥_𝑛 < 𝑎 suurilla indeksin𝑛arvoilla. Määritelmään 2.2 perustuen emme kuitenkaan sano lukujonoa{𝑠_𝑛} suppenevaksi, ellei lim^𝑛→∞𝑥_𝑛 ole äärellinen. (Vrt. [2, s. 181].)

Esimerkki 2.5. Lukujono {^𝑛

3 + ²

𝑛} hajaantuu kohti ääretöntä, sillä kun 𝑎 on mikä tahansa reaaliluku, niin

𝑛 3

+2 𝑛

> 𝑎, jos 𝑛 ≥ 3𝑎 . Lukujono{¹

𝑛−𝑛}hajaantuu kohti negatiivista ääretöntä, sillä kun𝑎on mikä tahansa reaaliluku, niin

1 𝑛

−𝑛 < 𝑎, jos 𝑛 >

1

|𝑎|. Siis kirjoitamme

𝑛lim→∞

{︃𝑛 3

+ 2 𝑛 }︃

=∞ ja

𝑛→∞lim {︃1

𝑛

−𝑛 }︃

=−∞.

2.3 Rajoitetut lukujonot

Tämä osio perustuu teokseen [1, s. 45–46].

Lause 2.6. Suppeneva lukujono {𝑥_𝑛}on rajoitettu.

(7)

Todistus. Oletetaan, että{𝑥_𝑛}suppenee kohti arvoa𝑥. Näin ollen on olemassa sellai- nen𝑀 ∈ℕ, että jokaisella𝑛 ≥ 𝑀 pätee epäyhtälö|𝑥_𝑛−𝑥| < 1. Olkoon 𝐵₁ = |𝑥| +1. Kun𝑛 ≥ 𝑀, niin

|𝑥_𝑛| =|𝑥_𝑛−𝑥+𝑥|

≤ |𝑥_𝑛−𝑥| + |𝑥|

< 1+ |𝑥| =𝐵₁. Joukko{|𝑥₁|,|𝑥₂|, . . . ,|𝑥_𝑀₋₁|}on äärellinen. Olkoon

𝐵₂=max{|𝑥₁|,|𝑥₂|, . . . ,|𝑥_𝑀₋₁}. Olkoon𝐵=max{𝐵₁, 𝐵₂}. Tällöin kaikilla𝑛∈ℕpätee

|𝑥_𝑛| ≤ 𝐵. □

Huomautus. Rajoitettu lukujono ei välttämättä ole suppeneva.

Esimerkki 2.7. Osoitetaan, että lukujono{︁2𝑛⁴+1 𝑛⁴

}︁,𝑛 ≥ 1, suppenee ja

𝑛lim→∞

2𝑛⁴+1 𝑛⁴

=2.

Olkoon 𝜀 > 0, ja määritellään sellainen 𝑀 ∈ ℕ, että 𝑀¹ < 𝜀. Silloin millä tahansa 𝑛 ≥ 𝑀 pätee

|︁

2𝑛⁴+1 𝑛⁴

−2

|︁

=

|︁

2𝑛⁴+1−2𝑛⁴ 𝑛⁴

|︁

=

|︁

1 𝑛⁴

|︁

= 1 𝑛⁴

≤ 1 𝑛

≤ 1 𝑀

< 𝜀 . Siis lim^𝑛→∞

2𝑛⁴+1 𝑛⁴ =2.

Määritelmä 2.8. Olkoon{𝑥_𝑛}reaalilukujono, joka on ylhäältä rajoitettu ja epätyhjä.

Jos 𝑀 on pienin kaikista ylärajoista, sanotaan, että 𝑀 on lukujonon {𝑥_𝑛} pienin yläraja tai lukujonon{𝑥_𝑛}supremum. Merkitään 𝑀 =sup{𝑥_𝑛}. ([3, s. 9])

Määritelmä 2.9. Olkoon{𝑥_𝑛}reaalilukujono, joka on alhaalta rajoitettu ja epätyhjä.

Jos𝑚 on suurin kaikista lukujonon {𝑥_𝑛} alarajoista, sanotaan, että𝑚 on lukujonon {𝑥_𝑛} suurin alaraja tai lukujonon {𝑥_𝑛} infimum. Merkitään 𝑚 = inf{𝑥_𝑛}. (Ks. [3, s.

9])

Määritelmä 2.10. Lukujono {𝑥_𝑛} on ei-vähenevä, jos𝑥_𝑛 ≥ 𝑥_𝑛−1 kaikilla indeksin 𝑛 arvoilla, ja ei-kasvava, jos 𝑥_𝑛 ≤ 𝑥_𝑛−1 kaikilla indeksin n arvoilla. Monotoninen lukujono on lukujono, joka on ei-kasvava tai ei-laskeva. Jos 𝑥_𝑛 > 𝑥_𝑛₋₁ kaikilla indeksin n arvoilla, niin{𝑥_𝑛}on kasvava, ja jos𝑥_𝑛< 𝑥_𝑛₋₁kaikilla indeksin n arvoilla, niin{𝑥_𝑛}on laskeva.

(8)

Lause 2.11. (a) Jos {𝑥_𝑛}on ei-vähenevä, niinlim^𝑛→∞𝑥_𝑛 =sup{𝑥_𝑛}. (b) Jos{𝑥_𝑛} on ei-kasvava, niinlim^𝑛→∞𝑥_𝑛=inf{𝑥_𝑛}.

Todistus. Ks. [2, s. 182]

(a) Olkoon𝛽 =sup{𝑥_𝑛}. Olkoon𝜀 > 0. Kun𝛽 < ∞, niin

𝛽−𝜀 < 𝑥_𝑁 ≤ 𝛽

jollakin kokonaisluvulla𝑁. Koska𝑥_𝑁 ≤ 𝑥_𝑛 ≤ 𝛽, kun𝑛 ≥ 𝑁, niin 𝛽−𝜀 < 𝑥_𝑛 ≤ 𝛽, kun 𝑛≥ 𝑁 .

Tästä seuraa, että |𝑥_𝑛 − 𝛽| < 𝜀, kun 𝑛 ≥ 𝑁, joten lim^𝑛→∞𝑥_𝑛 = 𝛽 määritelmän 2.2 perusteella. Jos 𝛽 = ∞ ja 𝑏 on mikä tahansa reaaliluku, niin 𝑥_𝑁 > 𝑏 jollakin kokonaisluvulla N. Siis𝑥_𝑛 > 𝑏, kun𝑛≥ 𝑁, joten lim^𝑛→∞𝑥_𝑛 =∞.

(b) Olkoon𝛼=inf𝑥_𝑛. Jos𝛼 > −∞, niin jos𝜀 > 0, niin

𝛼≤ 𝑥_𝑁 < 𝛼+𝜀

jollain kokonaisluvulla𝑁. Koska𝛼 ≤𝑥_𝑛 ≤ 𝑥_𝑁, jos𝑛 ≥ 𝑁, niin 𝛼≤ 𝑥_𝑛 < 𝛼+𝜀, jos 𝑛≥ 𝑁 .

Tästä seuraa, että |𝑥_𝑛− 𝛼| < 𝜀, jos 𝑛 ≥ 𝑁, joten lim^𝑛→∞𝑥_𝑛 = 𝛼 määritelmän 2.2 perusteella. Jos 𝛼 = −∞ ja 𝑎 on mikä tahansa reaaliluku, niin 𝑥_𝑁 < 𝑎 jollakin kokonaisluvulla𝑁. Siis𝑥_𝑛 < 𝑎, kun𝑛 ≥ 𝑁, joten lim^𝑛→∞𝑥_𝑛=−∞. □

(9)

3 Alaraja-arvo ja yläraja-arvo

Tämä luku pohjautuu teokseen [2, s. 187–].

3.1 Alaraja-arvon ja yläraja-arvon olemassaolo ja yksikäsittei- syys

Lause 3.1. (a) Jos {𝑥_𝑛} on ylhäältä rajoitettu eikä hajaannu kohti negatiivista ää- retöntä, on olemassa sellainen yksikäsitteinen reaaliluku 𝑎, että jos 𝜀 > 0, niin

(3.1) 𝑥_𝑛 < 𝑎+𝜀 suurilla indeksin𝑛arvoilla ja

(3.2) 𝑥_𝑛 > 𝑎−𝜀 äärettömän monella indeksin𝑛arvolla.

(b) Jos {𝑥_𝑛} on alhaalta rajoitettu eikä hajaannu kohti ääretöntä, on olemassa sellainen yksikäsitteinen reaaliluku b, että jos𝜀 > 0, niin

(3.3) 𝑥_𝑛 > 𝑏−𝜀 suurilla indeksin𝑛arvoilla ja

(3.4) 𝑥_𝑛 < 𝑏+𝜀 äärettömän monella indeksin𝑛arvolla. Todistus. (Ks. [2, s. 187–188].)

(a) Koska {𝑥_𝑛} on ylhäältä rajoitettu, on olemassa sellainen luku 𝛽, että𝑥_𝑛 < 𝛽 kaikilla indeksin𝑛 arvoilla. Koska{𝑥_𝑛}ei hajaannu kohti negatiivista ääretöntä, on olemassa sellainen luku 𝛼, että 𝑥_𝑛 > 𝛼 riittävän suurilla indeksin 𝑛 arvoilla. Jos määrittelemme, että

𝑀_𝑘 =sup{𝑥_𝑘, 𝑥_𝑘₊₁, . . . , 𝑥_𝑘₊_𝑟, . . .},

niin𝛼 ≤ 𝑀_𝑘 ≤ 𝛽, joten{𝑀_𝑘} on rajoitettu. Koska{𝑀_𝑘} on ei-kasvava, se suppenee lauseen 2.11 perusteella. Olkoon

(3.5) 𝑎 = lim

𝑘→∞

𝑀_𝑘.

(10)

Jos𝜀 > 0, niin 𝑀_𝑘 < 𝑎+𝜀suurilla indeksin𝑘 arvoilla. Koska𝑥_𝑛 ≤ 𝑀_𝑘, kun𝑛 ≥ 𝑘, 𝑎 toteuttaa yhtälön (3.1). Jos (3.2) on epätosi jollakin positiivisella luvulla 𝜀, on olemassa sellainen kokonaisluku𝐾, että

𝑥_𝑛 ≤ 𝑎−𝜀, kun 𝑛 ≥ 𝐾 . Tästä seuraa, että

𝑀_𝑘 ≤ 𝑎−𝜀, kun 𝑘 ≥ 𝐾 ,

mikä on ristiriidassa yhtälön (3.5) kanssa. Siis𝑎toteuttaa epäyhtälöt (3.1) ja (3.2).

Nyt on osoitettava, että𝑎on ainoa reaaliluku, joka toteuttaa kyseiset epäyhtälöt.

Jos𝑡 < 𝑎, epäyhtälö

𝑥_𝑛 < 𝑡+ 𝑎−𝑡 2

=𝑎− 𝑎−𝑡 2

ei voi olla voimassa suurilla indeksin𝑛arvoilla, koska se olisi ristiriidassa epäyhtälön (3.2) kanssa silloin, kun𝜀 = ^𝑎⁻₂^𝑡. Jos𝑎 < 𝑡, niin epäyhtälö

𝑥_𝑛 > 𝑡− 𝑡−𝑎 2

=𝑎+ 𝑡−𝑎 2

ei voi olla voimassa äärettömän monella indeksin𝑛arvolla, koska se olisi ristiriidassa epäyhtälön (3.1) kanssa silloin, kun𝜀= ^𝑡⁻^𝑎

2 . Siis𝑎on ainoa reaaliluku, joka toteuttaa epäyhtälöt (3.1) ja (3.2).

(b) Koska {𝑥_𝑛} on alhaalta rajoitettu, on olemassa sellainen luku 𝛽, että 𝑥_𝑛 > 𝛽 kaikilla indeksin 𝑛 arvoilla. Koska {𝑥_𝑛} ei hajaannu kohti ääretöntä, on olemassa sellainen luku𝛼, että𝑥_𝑛 < 𝛼riittävän suurilla indeksin𝑛arvoilla. Jos määrittelemme, että

𝑀_𝑘 =inf{𝑥_𝑘, 𝑥_𝑘+1, . . . , 𝑥_𝑘+𝑟, . . .},

niin 𝛽 ≤ 𝑀_𝑘 ≤ 𝛼, joten{𝑀_𝑘} on rajoitettu. Koska 𝑀_𝑘 on ei-laskeva, se suppenee.

Olkoon

(3.6) 𝑏= lim

𝑘→∞

𝑀_𝑘.

Jos𝜀 > 0, niin𝑀_𝑘 > 𝑏−𝜀suurilla indeksin 𝑘 arvoilla. Koska𝑥_𝑛 ≥ 𝑀_𝑘, kun𝑛 ≥ 𝑘, 𝑏 toteuttaa yhtälön (3.3). Jos (3.4) on epätosi jollakin positiivisella luvulla 𝜀, on olemassa sellainen kokonaisluku𝐾, että

𝑥_𝑛 ≥ 𝑏+𝜀, kun 𝑛≥ 𝐾 .

(11)

Määritelmä 3.2. Lauseessa 3.1 määriteltyjä lukuja𝑎ja𝑏kutsutaan lukujonon{𝑥_𝑛} yläraja-arvoksi ja alaraja-arvoksi, ja merkitään

𝑎 =lim sup

𝑛→∞

𝑥_𝑛 ja 𝑏=lim inf

𝑛→∞

𝑥_𝑛. Määrittelemme myös, että

• lim sup𝑥_𝑛=∞, jos{𝑥_𝑛} ei ole ylhäältä rajoitettu,

• lim sup𝑥_𝑛=−∞, jos lim^𝑛→∞𝑥_𝑛=−∞,

• lim inf𝑥_𝑛=−∞, jos{𝑥_𝑛}ei ole alhaalta rajoitettu,

• lim inf𝑥_𝑛=∞, jos lim^𝑛→∞𝑥_𝑛 =∞.

Huomautus. Lauseen 3.1 todistuksen perusteella lim sup

𝑛→∞

𝑥_𝑛=lim sup

𝑛→∞

{𝑥_𝑘: 𝑘 ≥ 𝑛}, lim inf

𝑛→∞

𝑥_𝑛=lim inf

𝑛→∞ {𝑥_𝑘: 𝑘 ≥ 𝑛}. Esimerkki 3.3. Olkoon

{𝑥_𝑛} =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝑛+3

3𝑛 , kun𝑛on pariton,

−1, kun𝑛on parillinen.

Määritetään lukujonon alaraja-arvo ja yläraja-arvo. Ensin lasketaan alaraja-arvo:

lim inf

𝑛→∞

𝑥_𝑛 =lim inf

𝑛→∞ {𝑥_𝑘: 𝑘 ≥ 𝑛} = lim

𝑛→∞−1=−1.

Yllä olevan huomautuksen perusteella lim sup

𝑛→∞

𝑥_𝑛 =lim sup

𝑛→∞

{𝑥_𝑘: 𝑘 ≥ 𝑛}. Nyt nähdään, että

sup{𝑥_𝑘: 𝑘 ≥ 𝑛} =

⎧⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

𝑛+3

3𝑛 , kun𝑛on pariton,

𝑛+4

3(𝑛+1), kun𝑛on parillinen.

Todistetaan nyt, että raja-arvo on 3¹.

(12)

Olkoon𝜀 > 0, ja määritellään sellainen𝑀 ∈ℕ, että 𝑀¹ < 𝜀. Silloin millä tahansa parittomalla indeksillä𝑛≥ 𝑀 pätee

|︁

𝑛+3 3𝑛

− 1 3

|︁

=

|︁

𝑛+3−𝑛 3𝑛

|︁

=

|︁

3 3𝑛

|︁

=

|︁

1 𝑛

|︁

= 1 𝑛

≤ 1 𝑀

< 𝜀 . Myöskin millä tahansa parillisella indeksillä𝑛≥ 𝑀 pätee

|︁

𝑛+4 3(𝑛+1) − 1

3

|︁

=

|︁

𝑛+4−𝑛−1 3(𝑛+1)

|︁

=

|︁

3 3𝑛+3

|︁

=

|︁

1 𝑛+1

|︁

= 1 𝑛+1

≤ 1

𝑀+1

≤ 1 𝑀

< 𝜀 . Siis lim sup𝑛→∞𝑥_𝑛= ₃¹.

Lause 3.4. Jokaisella reaalilukulukujonolla {𝑥_𝑛}on yksikäsitteinen yläraja-arvo𝑎, ja yksikäsitteinen alaraja-arvo𝑏, ja

(3.7) 𝑏 ≤ 𝑎 .

Todistus(vrt. [2, s. 189]). Lukujen 𝑎ja 𝑏olemassaolo ja yksikäsitteisyys seuraavat lauseesta 3.1 ja määritelmästä 3.2. Jos𝑎ja𝑏ovat äärellisiä, niin yhtälöistä 3.1 ja 3.3 seuraa, että

𝑏−𝜀 < 𝑎+𝜀

jokaisella luvulla𝜀 > 0, mistä seuraa epäyhtälö 3.7. Jos 𝑏 = −∞ tai 𝑎 = ∞, niin epäyhtälö 3.7 on ilmeinen. Jos𝑏 =∞tai𝑎=−∞, niin epäyhtälö 3.7 seuraa suoraan

(13)

Esimerkki 3.5.

lim sup

𝑛→∞

{𝑦^𝑛

2

} =

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

∞, |𝑦| > 1,

1, |𝑦| =1, 0, |𝑦| < 1, ja

lim inf_𝑛→∞ {𝑦^𝑛

2

} =

⎧⎪

⎪⎪

⎪

⎨

⎪⎪

⎩

∞, 𝑦 > 1,

1, 𝑦=1, 0, |𝑦| < 1,

−1, 𝑦=−1,

−∞, 𝑦 < −1.

Lisäksi

lim sup

𝑛→∞

𝑛⁴=lim inf

𝑛→∞

𝑛⁴=∞, lim sup

𝑛→∞

(−1)^𝑛(︁

1+ 1 2𝑛

)︁ =1,lim inf

𝑛→∞ (−1)^𝑛(︁

𝑛+ 1 2𝑛

)︁ =−1, ja

lim sup

𝑛→∞

[3+3(−1)^𝑛]𝑛=∞,lim inf_𝑛→∞ [3+3(−1)^𝑛]𝑛=0.

Lause 3.6. Jos{𝑥_𝑛}on reaalilukujono, niin

(3.8) _𝑛→∞lim 𝑥_𝑛 =𝑥 ,

jos ja vain jos

(3.9) lim sup

𝑛→∞

𝑥_𝑛 =lim inf

𝑛→∞

𝑥_𝑛=𝑥 .

Todistus. Jos 𝑥 = ±∞, niin ekvivalenssit yhtälöissä 3.8 ja 3.9 seuraavat suoraan niiden määritelmistä. Jos lim^𝑛→∞𝑥_𝑛 =𝑥 (äärellinen), niin määritelmästä 2.2 seuraa, että 3.1 – 3.4 ovat voimassa, kun𝑎ja𝑏korvataan alkiolla𝑥. Siitä johtuen 3.9 seuraa alkioiden𝑎ja𝑏yksikäsitteisyydestä.

Todistetaan sitten implikaatio toiseen suuntaan. Oletetaan, että 𝑎 = 𝑏 ja mer- kittäköön alkiolla 𝑥 niiden yhteistä arvoa. Tällöin epäyhtälöistä 3.1 ja 3.3 seuraa, että

𝑥−𝜀 < 𝑥_𝑛< 𝑥+𝜀

suurilla indeksin𝑛arvoilla, ja 3.8 seuraa määritelmästä 2.2 ja raja-arvon lim^𝑛→∞𝑥_𝑛

yksikäsitteisyydestä 2.4 □

(14)

4 Bolzanon-Weierstrassin lause

Seuraava luku perustuu teokseen [1, s. 65–66].

Rajoitettu lukujono ei ole välttämättä suppeneva, mutta Bolzanon-Weierstrassin lauseen perusteella voimme ainakin löytää rajoitetulle lukujonolle suppenevan osajonon. Tässä luvussa esitämme version Bolzanon-Weierstrassin lauseesta lukujo- noille. Ensin kuitenkin esitämme kuristusperiaatteen, jota tarvitsemme Bolzanon- Weierstrassin lauseen todistuksessa.

Lause 4.1(Kuristusperiaate). Olkoot{𝑎_𝑛},{𝑏_𝑛}ja{𝑥_𝑛}lukujonoja, joille pätee, että 𝑎_𝑛 ≤ 𝑥_𝑛 ≤ 𝑏_𝑛 kaikilla 𝑛∈ℕ.

Oletetaan, että{𝑎_𝑛}ja{𝑏_𝑛}suppenevat ja

𝑛→∞lim

𝑎_𝑛 =_𝑛→∞lim 𝑏_𝑛. Tällöin{𝑥_𝑛}suppenee ja

𝑛lim→∞

𝑥_𝑛 = lim

𝑛→∞

𝑎_𝑛= lim

𝑛→∞

𝑏_𝑛. Todistus. Olkoon𝑥 ≔ lim𝑎_𝑛=lim𝑏_𝑛. Olkoon𝜀 > 0annettu.

Määritetään sellainen 𝑀₁, että kaikilla𝑛≥ 𝑀₁ on voimassa, että|𝑎_𝑛−𝑥| < ^𝜀

3, ja sellainen 𝑀₂, että kaikilla 𝑛 ≥ 𝑀₂ on voimassa, että |𝑏_𝑛−𝑥| < ^𝜀

3. Merkitään, että 𝑀 ≔ max{𝑀₁, 𝑀₂}. Oletetaan, että𝑛 ≥ 𝑀. Silloin

|𝑥_𝑛−𝑎_𝑛|=𝑥_𝑛−𝑎_𝑛 ≤ 𝑏_𝑛−𝑎_𝑛

=|𝑏_𝑛−𝑥+𝑥−𝑎_𝑛|

≤ |𝑏_𝑛−𝑥| + |𝑥−𝑎_𝑛|

<

𝜀 3

+ 𝜀 3 . Tämän tiedon avulla arvioimme, että

|𝑥_𝑛−𝑥|=|𝑥_𝑛−𝑥+𝑎_𝑛−𝑎_𝑛|

≤ |𝑥_𝑛−𝑎_𝑛| + |𝑎_𝑛−𝑥|

<

2𝜀 + 𝜀

=𝜀 .

(15)

Lause 4.2. Oletetaan, että reaalilukujono{𝑥_𝑛} rajoitettu. Silloin on olemassa sup- peneva osajono{𝑥_𝑛

𝑖}.

Todistus. Lukujono on rajoitettu, joten on olemassa kaksi lukua𝑎₁ < 𝑏₁, joille pätee 𝑎₁ ≤ 𝑥_𝑛 ≤ 𝑏₁kaikilla𝑛 ∈ℕ.

Määritellään osajono {𝑥_𝑛

𝑖} ja kaksi lukujonoa {𝑎_𝑖} ja {𝑏_𝑖} niin, että {𝑎_𝑖} on monotonisesti kasvava,{𝑏_𝑖}on monotonisesti vähenevä,𝑎_𝑖 ≤ 𝑥_𝑛

𝑖 ≤ 𝑏_𝑖ja että lim𝑎_𝑖 = lim𝑏_𝑖. Se, että𝑥_𝑛

𝑖 suppenee, seuraa kuristusperiaatteesta.

Määritellään lukujonot induktiivisesti. Epäyhtälö 𝑎_𝑖 < 𝑏_𝑖 pätee aina ja 𝑥_𝑛 ∈ [𝑎_𝑖, 𝑏_𝑖] aina äärettömän monella 𝑛 ∈ ℕ. Olemme jo määritelleet alkiot 𝑎₁ ja 𝑏₁. Merkitään, että𝑛₁ ≔1ja tällöin𝑥_𝑛

1 =𝑥₁.

Nyt oletetaan, että johonkin arvoon𝑘 ∈ℕsaakka olemme määritelleet osajonon 𝑥_𝑛

1, 𝑥_𝑛

2, . . . , 𝑥_𝑛

𝑘 ja lukujonot 𝑎₁, 𝑎₂, . . . , 𝑎_𝑘 ja 𝑏₁, 𝑏₂, . . . , 𝑏_𝑘. Olkoon 𝑦 ≔ ^𝑎^𝑘^+𝑏2 ^𝑘. Selvästi𝑎_𝑘 < 𝑦 < 𝑏_𝑘. Jos on olemassa äärettömän monta 𝑗 ∈ℕ, joilla𝑥_𝑗 ∈ [𝑎_𝑘, 𝑦], niin 𝑎_𝑘₊₁ ≔ 𝑎_𝑘, 𝑏_𝑘₊₁ ≔ 𝑦, ja valitaan 𝑛_𝑘₊₁ > 𝑛_𝑘 siten, että 𝑥_𝑛

𝑘+1 ∈ [𝑎_𝑘, 𝑦]. Jos ei ole olemassa äärettömän monta alkiota 𝑗 ∈ℕsiten, että𝑥_𝑗 ∈ [𝑎_𝑘, 𝑦], niin on oltava äärettömän monta indeksin 𝑗 arvoa, joilla 𝑥_𝑗 ∈ [𝑦, 𝑏_𝑘]. Tässä tapauksessa valitaan 𝑎_𝑘+1 ≔ 𝑦,𝑏_𝑘+1 ≔ 𝑏_𝑘, ja valitaan𝑛_𝑘+1 > 𝑛_𝑘, joille on voimassa𝑥_𝑛

𝑘+1 ∈ [𝑦, 𝑏_𝑘]. Nyt olemme määritelleet lukujonot. Jäljelle jää osoittaa, että lim𝑎_𝑖 =lim𝑏_𝑖. On selvää, että raja-arvot ovat olemassa, sillä lukujonot ovat monotonisia. On ilmeistä, että𝑏_𝑖−𝑎_𝑖 puolittuu joka vaiheessa. Siispä𝑏_𝑖+1−𝑎_𝑖+1 = ^𝑏^𝑖^−𝑎₂ ^𝑖. Induktiolla saamme, että

𝑏_𝑖−𝑎_𝑖 = 𝑏₁−𝑎₁ 2^𝑖⁻¹

Olkoon𝑥 ≔lim𝑎_𝑖. Lukujono{𝑎_𝑖}on monotoninen, joten 𝑥 =sup{𝑎_𝑖 :𝑖 ∈ℕ}

Olkoon nyt𝑦 ≔ lim𝑏_𝑖 =inf{𝑏_𝑖, 𝑖 ∈ℕ}. On ilmeistä, että𝑦 ≤ 𝑥, sillä𝑎_𝑖 < 𝑏_𝑖kaikilla 𝑖. Koska lukujonot ovat monotonisia, niin jokaisella indeksin arvolla𝑖on voimassa

𝑦−𝑥 ≤ 𝑏_𝑖−𝑎_𝑖= 𝑏₁−𝑎₁ 2^𝑖−1

.

Koska ^𝑏₂¹^−𝑎𝑖−1¹ on mielivaltaisen pieni, niin𝑦−𝑥 =0. Kuristusperiaatteen nojalla lause

on nyt todistettu. □

(16)

Lähteet

[1] Lebl, J.Basic analysis: Introduction to real analysis, 2013.

[2] Trench, W. F.Introduction to real analysis, 2013.

[3] Thomson - Bruckner - BrucknerElemantary real analysis, 2008.