Luku 3 – Tehtävien malliratkaisut
3.1 a)
Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö 𝑓(𝑥) = 0.
𝑓(𝑥) = 0 3𝑥 −9 = 0
3𝑥= 9 |∶3 𝑥= 3
Funktion nollakohta on 𝑥= 3.
b)
Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥).
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥) 3𝑥 −9 = 7𝑥 −3 3𝑥 −7𝑥= −3𝑥+ 9
−4𝑥= 6 | ∶ (−4) 𝑥= 6
−4
(
𝑥= −3 2
Vastaus: a) 𝑥= 3 b) 𝑥=−
Siirrä vakiotermi -9 yhtälön oikealle puolelle, jolloin etumerkki vaihtuu.
Jaa yhtälön molemmat puolet luvulla 3, joka on muuttujan x kerroin.
Siirrä vakiotermi −9 yhtälön oikealle puolelle ja muuttujatermi 7x yhtälön vasemmalle puolelle.
Voidaan supistaa luvulla 2.
Selvitetään, millä muuttujan arvolla funktio saa arvon −2, eli 𝑓(𝑥) =−2.
𝑓(𝑥) =−2 5𝑥+ 8 =−2
5𝑥=−10 | ∶ 5 𝑥=−2
Vastaus: 𝑥= −2
Funktiot saavat saman arvon, kun 𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥). Selvitetään, millä muuttujan arvolla yhtälö pätee.
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)
6𝑥 −8 = 3−(2𝑥 −5) 6𝑥 −8 = 3−2𝑥+ 5 6𝑥+ 2𝑥= 8 + 8
8𝑥= 16 | ∶ 8 𝑥= 2
Vastaus: Funktiot saavat saman arvon, kun 𝑥= 2.
Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla.
𝑓(𝑥) = 0 2(3−4𝑥)−14 = 0 6−8𝑥 −14 = 0
−8𝑥= 8 | ∶ (−8) 𝑥= −1
Vastaus: Funktion nollakohta on 𝑥 =−1.
a)
Sijoitetaan muuttujan arvo 𝑥= 0 funktion lausekkeeseen.
𝑓(0) =2⋅0 5 −5
8=−5 8 b)
Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla.
𝑓(𝑥) = 0 2𝑥
5 −5 8= 0 2𝑥
5
(
−5 8
(
= 0 16𝑥
40 −25
40= 0 |⋅40 16𝑥 −25 = 0
16𝑥= 25 |∶16 𝑥=25
16
Vastaus: a) − b) Funktion nollakohta on 𝑥= .
Selvitetään, millä muuttujan arvolla 𝑓(𝑥) = . 𝑓(𝑥) =4
3𝑥 −1 5
4 =4
5 15𝑥 −5 = 16
15𝑥= 21 |∶ 15 𝑥=21
15
(
𝑥=7 5
Vastaus: 𝑥=
Kerro ristiin.
Ratkaistaan se muuttujan arvo x, jolla funktion arvo on 15.
ℎ(𝑥) = 15 6,00 + 1,50𝑥= 15
1,50𝑥= 9 |∶ 1,50 𝑥= 6,0 (km)
6,0 km pituinen taksimatka maksaa siis 15 euroa.
Vastaus: enintään 6,0 km pituisen matkan
Selvitä siis, minkä pituinen matka maksaa 15 euroa.
Ratkaistaan se muuttujan arvo x, jolla Hennan palkkaa kuvaava funktio saa arvon 2300 (€).
650 + 20𝑥= 2300
20𝑥= 1650 |∶20
𝑥= 82,5≈83 (tilausta)
Vastaus: Hennan on myytävä vähintään 83 tilausta.
Merkitään kakkujen kokonaismäärää kirjaimella x.
Äiti leipoo ensin kaksi kolmasosaa kakuista eli 2
3⋅ 𝑥 =2𝑥 3
Illalla äiti leipoo viidesosan kakuista eli 1
5⋅ 𝑥 =𝑥 5
Aamulla äiti leipoo vielä loput 16 kakkua.
Kakkuja on siis yhteensä 2𝑥
3 +𝑥 5+ 16
Koska tässä on kaikki äidin leipomat kakut, on niiden summa kakkujen kokonaismäärä eli x.
Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan x.
2𝑥 3 +𝑥
5+ 16 =𝑥 𝑥 = 120
Vastaus: Äiti leipoi yhteensä 120 kuppikakkua.
1. Merkitse kysyttyä asiaa kirjaimella.
2. Muodosta kirjaimen avulla lauseke.
3. Muodosta yhtälö ja ratkaise se CAS-laskimella.
Merkitään Alisan ikää kirjaimella x.
Koska Alisan ikä on kolmasosa hänen äitinsä iästä, hänen äitinsä on kolme kertaa niin vanha kuin Alisa, eli äidin ikä on 3𝑥.
Alisan isoäiti on 22 vuotta vanhempi tytärtään, eli Alisan äitiä. Isoäidin ikä saadaan siis lisäämällä äidin ikään 22 eli 3𝑥+ 22.
Tiedetään, että näiden ikien summa on 134. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.
𝑥+ 3𝑥+ (3𝑥+ 22) = 134 7𝑥+ 22 = 134
7𝑥= 112 |∶ 7 𝑥= 16
Vastaus: Alisa on 16 vuotta vanha.
Muodostetaan kummankin asunnon kokonaiskustannusten (euroa) funktiot. Merkitään asunnossa asuttujen kuukausien määrää kirjaimella x.
Päivänpaiste: 𝑓(𝑥) = 98000 + 500𝑥 Talvipäivä: 𝑔(𝑥) = 74000 + 620𝑥
Selvitetään, milloin funktiot saavat saman arvon.
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)
98000 + 500𝑥= 74000 + 620𝑥 𝑥= 200 (kuukautta)
Muutetaan 200 kuukautta vuosiksi ja kuukausiksi.
200
12 = 16,666. . . = 16 v ja 8 kk
Vastaus: Vähintään 200 kuukautta (16 vuotta ja 8 kuukautta)
Ratkaise CAS-laskimella
Merkitään moottoritien pituutta kirjaimella x (km).
Tällöin tavallisen moottoriliikennetien pituus on 120 − x (km).
Nelikaistaisen moottoritien kustannukset olivat 1 400 000 euroa kilometriä kohden, joten koko moottoritien osuuden kustannukset olivat 1400000𝑥 (€).
Tavallisen moottoriliikennetien kustannukset olivat 500 000 euroa kilometriä kohden, joten koko osuuden kustannukset olivat 500000(120− 𝑥) (€).
Tien kokonaiskustannuksia euroina kuvaa näiden summa, eli lauseke 1400000𝑥+500000(120− 𝑥)
Tien kokonaiskustannukset olivat 91 500 000 euroa. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö.
1400000𝑥+500000(120− 𝑥)= 91500000 𝑥= 35 (km)
Nelikaistaisen moottoritien pituus on 35 kilometriä.
Vastaus: Moottoritien pituus on 35 km.
1.Merkitse kysyttyä asiaa kirjaimella.
Nelikaistainen
moottoritie Tavallinen moottori- liikennetie
x 120 − x
120
2.Muodosta kirjaimen avulla lauseke.
3.Muodosta yhtälö ja ratkaistaan se CAS- laskimella.
4.Arvioi vastauksen järkevyyttä:
ratkaisuksi saatu luku on positiivinen ja lisäksi pienempi kuin matkan kokonaispituus (120 km), joten se on suuruusluokaltaan järkevä.
a)
Funktion nollakohdassa funktio saa arvon nolla.
𝑓(𝑥) = 0 2𝑥 −1
3= 0 2𝑥=1
3 | ∶2 𝑥=1
6 b)
Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö.
𝑓(𝑥) =−1 2 2𝑥 −1
3=−1 2 12𝑥
6 −2 6=−3
6 | ⋅6 12𝑥 −2 =−3
12𝑥=−1 | ∶ 12 𝑥=− 1
12
Vastaus: a) 𝑥= b) 𝑥=−
Polynomifunktion kuvaaja muodostuu pisteistä, joissa x-koordinaatti on funktion muuttuja x ja 𝑦-koordinaatti on funktion arvo muuttujan x arvolla.
Koska funktion kuvaaja kulkee pisteen (22, −249) kautta, tiedetään, että kun 𝑥= 22, funktion arvo on −249. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan se.
𝑓(22) = −249 𝑎 ⋅22 + 15 =−249
22𝑎= −264 | ∶22 𝑎= −12
Vastaus: Vakio a on −12.
Ratkaistaan ensin 𝑓(2) sijoittamalla muuttujan x paikalle 2.
𝑓(2) =2⋅2 + 1
4 =5
4.
Ratkaistaan sitten kysytty yhtälö.
𝑔(𝑥) =𝑓(2) 𝑥 −𝑥
2−𝑥 3=5
4 12𝑥
12 −6𝑥 12−4𝑥
12=15
12 | ⋅12 12𝑥 −6𝑥 −4𝑥= 15
2𝑥= 15 | ∶2 𝑥=15
2
Vastaus: 𝑥=
Lavenna yhtälön kaikki termit samannimisiksi.
Selvitetään, millä muuttujan x arvolla funktion arvo on 87200.
𝑣(𝑥) = 87200 9000 + 0,34(𝑥 −30000) = 87200 9000 + 0,34𝑥 −10200 = 87200
0,34𝑥= 88400 | ∶0,34 𝑥= 260000 (€)
Vastaus: Pääomatulot olivat 260 000 €.
a)
Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan, millä muuttujan t arvolla lauseke saa arvon −20.
5
9(𝑡 −32) =−20 5
9𝑡 −160
9 = −20 | ⋅9 5𝑡 −160 = −180
5𝑡= −20 | ∶5 𝑡= −4 (∘F)
b)
Kun mittarit näyttävät samaa lukemaa, lausekkeen (𝑡 −32) arvo on sama kuin muuttuja t.
Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan t.
5
9(𝑡 −32) =𝑡 5
9𝑡 −160
9 = 𝑡 | ⋅9 5𝑡 −160 = 9𝑡
−4𝑡= 160 | ∶ (−4) 𝑡= −40
Kun lämpötila on −40 ∘F eli −40 ∘C, molemmat mittarit näyttävät samaa lukemaa.
Vastaus: a) −4 ∘F b) −40 ∘F eli −40 ∘C
Merkitään rahan kokonaismäärää kirjaimella x (euroa).
Kaksi viidesosaa kului kurssikirjoihin, eli 2
5⋅ 𝑥 =2𝑥 5
Puolet rahasta kului tietokoneeseen, eli 1
2⋅ 𝑥 =𝑥 2
Lisäksi 100 € kului tietokonelaukkuun, ja jäljelle jäi 20 €.
Rahaa oli siis yhteensä + + 100 + 20 Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan x.
2𝑥 5 +𝑥
2+ 120 =𝑥
𝑥 = 1200 (€)
Vastaus: Aino sai yhteensä 1200 euroa.
1.Merkitse kysyttyä asiaa kirjaimella.
2.Muodosta kirjaimen avulla lauseke.
3.Muodosta yhtälö ja ratkaise se CAS-laskimella.
Merkitään Joannan ikää kirjaimella x.
Vuosi ennen Joannan syntymää Tiina täytti 50, joten Tiinan ikä Joannan syntyessä oli 50 + 1 = 51. Tiinan ikä on siis nyt 51 +𝑥.
Markus on kolme kertaa niin vanha kuin Joanna eli 3𝑥.
Tiedetään, että Markuksen ja Joannan ikien summa on Tiinan ikä. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.
𝑥+ 3𝑥= 51 +𝑥 3𝑥= 51 | ∶ 3
𝑥= 17
Vastaus: Joanna on 17 vuotta vanha.
Merkitään tukkuhintaa kirjaimella x.
Kate on viidesosa tukkuhinnasta, eli . Kiinteät kulut ovat 25 €.
Arvonlisävero on 24 % tukkuhinnan, katteen ja kiinteiden kulujen summasta, eli 0,24 𝑥+𝑥
5+ 25 .
Muodostetaan kuluttajahinnalle funktio h, joka on edellisten arvojen summa:
ℎ(𝑥) =𝑥+𝑥
5+ 0,24 𝑥+𝑥
5+ 25 + 25 = 1,24 𝑥+𝑥
5+ 25 Selvitetään, millä muuttujan arvolla, funktio saa arvon 240 €.
ℎ(𝑥) = 240 1,24 𝑥+𝑥
5+ 25 = 240
𝑥 = 140,457. . .≈140 €
Vastaus: Tuotteen tukkuhinta on 140 euroa.
Ratkaise CAS-laskimella
a)
Kokonaishinta muodostuu perusmaksusta ja kulutetun sähkön sekä yksikköhinnan tulosta.
Olkoon x kulutettu sähkömäärä (kWh). Sähkön kokonaishintojen (€) lausekkeet ovat 𝑎(𝑥) = 0,0662𝑥+ 4,02
𝑏(𝑥) = 0,0799𝑥+ 3,75 b)
Jos kokonaishinnat ovat samat, ovat lausekkeiden 𝑎(𝑥) ja 𝑏(𝑥) arvot samat. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan x.
𝑎(𝑥) =𝑏(𝑥)
0,0662𝑥+ 4,02 = 0,0799𝑥+ 3,75 𝑥= 19,708. . .≈ 19,7 kWh c)
Kulutus on vuodessa 2000 kWh. Lisäksi vuodessa joudutaan maksamaan joka kuukausi perusmaksu. Lasketaan yhtiöiden sähkön kokonaishinnat.
Yhtiö A: 2000⋅0,0662 + 12⋅4,02 = 180,64 (€) Yhtiö B: 2000⋅0,0799 + 12⋅3,75 = 204,80 (€)
Kokonaishintojen ero on siis 204,80−180,64 = 24,16 €
Vastaus: a) 𝑎(𝑥) = 0,0662𝑥+ 4,02 ja 𝑏(𝑥) = 0,0799𝑥+ 3,75
b) Kokonaishinnat ovat yhtä suuret, kun kulutus on 19,7 kWh.
c) Yhtiö B veloittaa vuodessa 24,16 € enemmän.
Ratkaise CAS-laskimella
Merkitään El Salvador-papujen määrää kirjaimella x (kg).
Tällöin Ehtiopia-papuja on loput pavuista, eli 100 − x (kg).
Koska Ethiopia-papujen yksikköhinta on 60 euroa kilolta, on niiden hinta sekoituksessa 60(100− 𝑥) (€).
El Salvador-pavut maksavat 35 euroa kilolta, joten niiden hinta on sekoituksessa 35𝑥 (€).
Papusekoituksen kokonaishintaa kuvaa näiden summa, eli lauseke 60(100− 𝑥)+35𝑥= −25𝑥+ 6000
Sekoitus maksaa 4200 euroa. Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö.
−25𝑥+ 6000 = 4200 𝑥= 72 (kg)
El Salvador-papuja on noin 72 kg.
Vastaus: El Salvador-papuja on 72 kg.
Merkitse kysyttyä asiaa kirjaimella.
Muodosta kirjaimen avulla lauseke.
Muodosta yhtälö ja ratkaise se CAS- laskimella.
Arvioi vastauksen järkevyyttä:
ratkaisuksi saatu luku on positiivinen ja lisäksi pienempi kuin sekoituksen kokonaispaino (100 kg), joten se on suuruusluokaltaan järkevä.
Merkitään kullan tilavuutta (cm ) kirjaimella x.
Tällöin hopean tilavuus on loput metalliseoksen tilavuudesta, eli 10,0− 𝑥 (cm ).
Kullan massan lauseke metalliseoksessa on 19,2𝑥.
Hopean massan lauseke on 10,49⋅(10,0− 𝑥).
Tiedetään, että kullan ja hopean yhteismassa on 122,32 g. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan kullan tilavuus.
19,2𝑥+ 10,49(10,0− 𝑥) = 122,32 | ratkaistaan laskimella 𝑥= 2,00 (cm )
Vastaus: Kullan tilavuus on 2,00 cm
