x4321 b) Ratkaise yhtälö = x - 3 3 a) Ratkaise yhtälö 5

KURSSIKOE A: 2009 JUURI- JA LOGARITMIFUNKTIOT MAA8

VALITSE 8 TEHTÄVÄÄ

1. a) Laske yhdistetyn funktion f o g lauseke, kun f(x) = 2x - 1 ja g(x) = 3x - 2.

b) Olkoon f(x) = 3x + 4. Laske i) x, kun f ^-1(x) = -1 ii) f ^-1(10)

2. a) Derivoi _{2 3}¹_4x

b) Ratkaise yhtälö = x - 3

3 a) Ratkaise yhtälö 5^5x-5 = 125.(YOK08: 2b) b) 3 · 4^x < 96

4. a) Derivoi funktio f(x) = x · e^x b) Mikä on derivaatan nollakohta?

c) Milloin funktio on kasvava?

5. Milloin funktio a) f(x) = lg (x² - 4) on määritelty b) Sievennä log3 c) Ratkaise log2 (3x - 1) = 3

6. a) Ratkaise yhtälö lgx + lg(x + 20) = 3, missä lg on 10-kantainen logaritmi (YOK09: 5a) b) Sievennä lauseke log2 4x² - 2log2 x

7. Laske funktion f(x) = x² · ln x suurin ja pienin arvo välillä [½,2].

8. Vuoden 2000 alussa kaupungissa A oli 24500 ja kaupungissa B 45600 asukasta.

A:n asukasluku kasvoi 4,5 % ja B:n asukasluku väheni 3,6 % vuosittain.

Minä vuonna kaupungeissa on yhtä paljon asukkaista, jos kasvu- ja vähenemisprosentit pysyvät samana?

9. Määritä reaalinen vakio a siten, että funktion f(x) = e^a+x + e^-x minimiarvo on 2e.

RATKAISUT MAA8 / A: 2009

1 . a) (fog)(x) = f(g(x)) = f(3x - 2) = 2(3x - 2) - 1 = 6x - 5

. b) f ^-1(x) = - 1 ; f(-1) = x = 3·(-1) + 4 = 1 f ^-1(10) = x ; f(x) = 10 ; 3x + 4 = 10 ; 3x = 6 ; x = 2

2. a) D_{2 3}¹_4x = D ²

1

) 4 3 2(

1  x ^ = – ²

3

) 4 3 4(

1  x ^ ·(–4) = _(34x)¹ _34x

b) = x - 3 || ( )² ; x - 1 = x² - 6x + 9 ; x² - 7x + 10 = 0 x = = ; x = 5 tai x = 2

TARK: = 5 - 3 ; = 2 Tosi ; = 2 - 3 ; = -1 epätosi ; V : x = 5

3. a)

5 13

3 5 5

5 5^{5 5 3}







  x

x

x

b) 3 ·4^x < 96 ||:3 ; 4^x < 32 ; (2²)^x < 2⁵ ; 2^2x < 2⁵ ; 2x < 5 ; x < 2½

4. a) f(x) = xe^x ; f ´(x) = 1e^x + xe^x = e^x(1 + x) ; e^x > 0  (1 + x) määrää nk:n ja merkin b) f ´= 0 ; 1 + x = 0 ; x = - 1 c) f kasvava, kun f ´  0 ; 1 + x  0 ; x  - 1

5. a) x² - 4 > 0 NK: x = ± 2 ; Kuvaaja ylösp. auk. par. Merkit + -2 - 2 + V: x > 2 tai x < - 2 b) log3 = log3 3^¼ = ¼

c) c) log2 ( 3x - 1) = 3 ; 3x - 1 = 2³ ; 3x = 1 + 8 ; 3x = 9 ; x = 3

6. a) lgx(x + 30) = 3  x² + 30x = 10³  x² + 30x – 1000 = 0 x = -50 tai x = 20

MJ: x > -30 Vastaus: x = 20

b) log2 4x² - 2log2 x = log2 4 + log2 x² - log2 x² = log2 2² = 2

7. f(x) = x²·ln x on jatkuva suljetulla välillä [½,2], koska silloin x > 0. f DVA.

f´(x) = 2x·ln x + x²·(1/x) = 2x·ln x + x = x(2ln x + 1) f´= 0 ; x(2ln x + 1) = 0 ;

(x = 0 tai) 2ln x + 1 = 0 ; ln x = -½ ; ln x = ln e^-½ ; x = e^-½

f(½) = ¼ ln ½ ; f(2) = 4ln 2 SUURIN ; f(e^-½) = (e^-½)²·ln e^-½ = e^-1·(-½) = -½e^-1 PIENIN

8. 24500 ·1,055 ^x = 45600 · 0,934 ^x

Vastaus: Vuonna 2007

9. f(x) = e^a+x + e^-x ; f ´(x) = e^a+x - e^-x ;

f ´  0 ; e^a+x - e^-x  0 ; e^a+x  e^-x ; a + x  -x ; 2x  -a ; x  -½a

f ' : --- -½a +++

f :  _ 

 min = f(-½a) = e^a/2 + e^a/2 = 2e^a/2 ; min = 2e ;

2e^a/2 = 2e^3/2 ; e^a/2 = e^3/2 ; a/2 = 3/2 ;a = 3 ...

699 , 7 964 , 0

045 , lg1

24500 45600 lg

24500 45600 964 lg

, 0

045 , lg1

lg() 24500 ||

45600 964

, 0

045 , 1







 



 





x x

x