Diofantoksen yhtälö
10x + 4y = 36
Muotoa ax + by = c olevaa yhtälöä sanotaan Diofantoksen yhtälöksi,
jos sekä kaikki kertoimet a, b ja c että yhtälön ratkaisut ovat kokonaislukuja. Yhtälön yleinen ratkaisu on muotoa
missä n on kokonaisluku sekä
luvut x0 ja y0 ovat yhtälön ax0 + by0 = SYT(a,b), toteuttava eräs yksityisratkaisu.
Ratkaisujen olemassaoloehto Diofantoksen yhtälöllä ax + by
= c,
on ratkaisu silloin ja vain silloin, kun c on jaollinen SYT(a,b):llä.
E.1. Tutki, onko Diofantoksen yhtälöllä a) 21x - 6y = 2 b) 9x + 3y = 6 ratkaisua.
a) SYT(21,6): Siis SYT(21,6) = 3 ja c = 2 ei ole sillä jaollinen.
Yhtälöllä ei ole ratkaisua.
3
18
21 6
3
0
6
6 3
2
3
0 9 9 3
SYT(9,3) = 3 ja c = 6 on sillä jaollinen, joten yhtälöllä on ratkaisuja b)
E.2. Määritä Diofantoksen yhtälön 32x + 15y = 1 yksityisratkaisu.
SYT(32,15):
Siis SYT (32,15) = 1
2
30
32 15
2
1
14
15 2
7
0
2
2 1
2
32 = 2 15 + 2 15 = 7 2 + 1 2 = 2 1
1 = 15 – 7 2
= 15 - 7(32 – 2 15) = 15 15 – 7 32 x0 = - 7
y0 = 15
E.3. Määritä Diofantoksen yhtälön 10x + 4y = 36 kaikki ratkaisut. (Yo, s2000: 15)
1. YKSITYISRATKAISU
2
8
10 4
2
0
4
4 2
2 SYT(10, 4) = 2
10 = 4 2 + 2 4 = 2 2
2 = 10 1 – 4 2 36 = 10 18 – 4 36 x0 = 18
y0 = -36
2 36 10
2 18 4
n y
n x
n y
n x
5 36
2 18
2. YLEINEN RATKAISU
