Matematiikan johdantokurssi 6/2004
1. Todista, ett¨a kokonaisluku on jaollinen luvulla 6, jos ja vain jos se on jaollinen luvuilla 2 ja 3.
2. Olkoot A ja B perusjoukon E osajoukkoja. Todista, ett¨a A ⊂B, jos ja vain jos E\B ⊂E\A. (Joukko-opin kaava j).)
3. Osoita induktiolla, ett¨a jokaisella luonnollisella luvulla n p¨atee 1 + 2 + 3 +· · ·+n= n(n+ 1)
2 .
(Aritmeettisen sarjan osasumma.)
4. Osoita induktiolla, ett¨a jokaisella luonnollisella luvulla n p¨atee 1 +q+q2+· · ·+qn= 1−qn+1
1−q . (Geometrisen sarjan osasumma.)
5. Osoita induktiolla, ett¨an(n2+5) on jaollinen luvulla 6 aina, kunnon luonnollinen luku.
Vihje: Voit k¨aytt¨a¨a tietoa, ett¨a n2 +n =n(n+ 1) on aina parillinen.
6. Olkoon n luonnollinen luku. Paljonko on 1 + 3 + 5 + 7 +· · ·+ (2n−1)?
Vihje: Muodosta esimerkkien avulla yleinen kaava ja todista se induktiolla.
7. Olkoon (Fn) Fibonaccin lukujono. Osoita induktiolla, ett¨a jokaisella luonnollisella luvulla n p¨atee
F12+F22+F32+· · ·+Fn2 =FnFn+1.
8. Funktion f n:s derivaatta m¨a¨aritell¨a¨an rekursiivisesti asettamalla f(1) = f0 ja f(n) = (f(n−1))0, kun n ≥ 2. Etsi kokeilemallan:nnen derivaatan f(n)(x) yleinen kaava funktiollef(x) = 1
x ja todista n¨ain saatu kaava induktiolla. (Tavanmukaisia derivoimiskaavoja pidet¨a¨an tunnettuina.)
