Solmu 2/2004
Solmun teht¨ avi¨ a
Solmun t¨am¨ankertaiset nelj¨a teht¨av¨a¨a ovat vaatimus- tasoltaan peruskoulun yl¨aluokillekin sopivia. Teht¨avien ratkaisut julkaistaan Solmun seuraavassa numerossa.
1.OlkoonS1= 1,S2= 2 + 3,S3= 4 + 5 + 6,. . . . Laske S17.
2. Keskiaikaiset kivenhakkaajat k¨ayttiv¨at t¨at¨a meto- dia rakentaessaan tarkkoja kahdeksankulmioita anne- tun neli¨on sis¨alle. Avaa harppisi niin, ett¨a sen s¨ade on puolet neli¨on halkaisijasta. Piirr¨a ympyr¨an kaari siten, ett¨a sen keskipiste on neli¨on kulmassa. Merkitse ne kak- si kohtaa, jotka leikkaavat neli¨on sivut. Tee sama kai- kille neli¨on kulmille, jolloin saat 8 pistett¨a, jotka ovat kahdeksankulmion kulmia. Onko syntyv¨a kahdeksan- kulmio t¨aysin s¨a¨ann¨ollinen kahdeksankulmio? Todista.
3. Osoita, ett¨a jos kolme alkulukua, kaikki suurempia kuin 3, muodostavat aritmeettisen lukujonon, niin jo- non per¨akk¨aisten lukujen erotus on jaollinen kuudella.
Esit¨a joitakin esimerkkej¨a kolmesta alkuluvusta koos- tuvasta aritmeettisest¨a lukujonosta, jotka sis¨alt¨av¨at lu-
vun kolme, ja n¨ayt¨a, ett¨a jokaisessa tapauksessa jonon per¨akk¨aisten lukujen erotus ei ole jaollinen kuudella.
Vihje. Osoita ensin, ett¨a per¨akk¨aisten lukujen erotuk- sen on oltava parillinen, ja sitten, ett¨a sen on oltava jaollinen kolmella. Ajattele mahdollisia jakoj¨a¨ann¨oksi¨a, kun keskimm¨ainen luku jaetaan kolmella. Pohdi kahta tapausta.
4.Ota kolme yksikk¨oympyr¨a¨a, jotka koskettavat toisi- aan. Muodosta kolme ympyr¨a¨aC1,C2jaC3, joiden s¨a- teet ovatr1,r2jar3, kuten kuvassa alapuolella. Ympy- r¨at, jotka ovat tangenttina kaikille kolmelle yksikk¨oym- pyr¨alle, ovatC1jaC3, joistaC1on pienempi. Ympyr¨a, joka menee yksikk¨oympyr¨oiden tangenttien kolmen pis- teen l¨api, onC2. Etsi s¨ateetr1, r2 ja r3 ja n¨ayt¨a, ett¨a r1r3=r22.
Vihje. Piirr¨a suorat ympyr¨oiden keskipisteiden l¨api.
Kirjoita ja ratkaise joitakin yksinkertaisia yht¨al¨oit¨a, joissa s¨ateet esiintyv¨at. Muista k¨aytt¨a¨a tarkkoja arvoja neli¨ojuurissa (irrationaalilukuja).
L¨ahde:NRICH, University of Cambridge,http://nrich.maths.org.
