ALGEBRA I
Harjoitus 5, kev¨at 2009
1. Olkoon A={1,2,3,4}. Mitk¨a seuraavista ovat A:n ekvivalenssirelaatioita:
a) {(1,1),(2,2),(1,2),(2,1),(3,3),(4,4)}, b) {(1,1),(2,2),(2,4),(3,3),(3,4),(4,4)}, c) {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(4,4)}.
2. M¨a¨aritell¨a¨an relaatio ∼ joukossa Z seuraavasti:
a∼b⇔a=bm, m∈Z.
Onko ∼ ekvivalenssirelaatio?
3. M¨a¨aritell¨a¨an joukossa R relaatio ∼asettamalla x ∼ y ⇔ x−y ∈ Q. Osoita, ett¨a
∼ on ekvivalenssirelaatio. M¨a¨ar¨a¨a [
√ 2].
4. Tutki, onko operaatio (∗) bin¨a¨arinen operaatio seuraavissa tapauksissa a) a∗b= a+b3 joukossa Z,
b) a∗b=a+ ab7 joukossa Q.
5. Merkit¨a¨an 2Z={2n|n∈Z}. Osoita, ett¨a (2Z,+) on ryhm¨a.
6. Merkit¨a¨an S ={2n+ 1|n∈Z} ∪ {0}.Onko (S,+) ryhm¨a?
7. Osoita, ett¨a (Z,∗) on ryhm¨a, kun (∗) m¨a¨aritell¨a¨an seuraavasti:
a∗b=a+b−1. Onko (Z,∗) Abelin ryhm¨a?
8. Olkoon S ={x|x ∈ Q, x 6= 0, x 6= 1}. Olkoot funktiot f1(x) = x, f2(x) = 1−x1 ja f3(x) = x−1x ,jotka ovat m¨a¨aritelty joukossaS.Merkit¨a¨anG ={f1(x), f2(x), f3(x)}. Osoita, ett¨a (G,◦) on ryhm¨a, miss¨a (◦) on funktioiden yhdist¨amisoperaatio eli fi(x)◦fj(x) =fi(fj(x)) kaikillax∈S.
