Matematiikan yleisopintojakso Syksy 2001
Harjoitus 7
1. Ympyrä on niiden tason pisteiden ura, joiden etäisyys (säde) annettuun kiintopisteeseen (keskipiste) on vakio. Näin ollen, jos keskipiste ja yksi kehäpiste ovat tunnetut, niin ympyrä määräytyy yksikäsitteisesti.
Piirrä ympyräY, jonka keskipiste on (1,2)ja joka kulkee pisteen (1,0) kautta (eräs kehäpiste). Määrää kuvaajan avulla Y:n säde ja kirjoita Y:n yhtälö.
2. Ympyrä Y ja suora S leikkaavat toisensa kahdessa eri pisteessä. (Ylei- sessä tapauksessa leikkauspisteitä voi olla 0,1 tai 2.) Y:n yhtälö on x2 +y2 = 1 ja S:n yhtälö y = −x+ 1. Piirrä Y ja S samaan koordi- naatistoon ja laske leikkauspisteet (x1, y1) ja (x2, y2).
3. Ratkaise epäyhtälö
−x2+ 2x−3<0.
Vihje: Piirrä ensin funktion x7→ −x2+ 2x−3kuvaaja.
4. Ratkaise itseisarvoepäyhtälö
4x≤ |3−2x|.
Vihje: Itseisarvon määritelmän mukaan
|3−2x| =
3−2x, 3−2x≥0
−(3−2x),3−2x <0
=
3−2x, x≤3/2 2x−3, x >3/2
Tehtävän epäyhtälö kannattaa jakaa siis kahteen alatapaukseen: x ≤ 3/2ja x >3/2. Saatua ratkaisua tulkittaessa nämä alkuehdot on otet- tava huomioon.
5. Päättymättömät desimaaliluvut, joiden desimaaliosa koostuu äärettö- män monesta äärellisestä jaksosta, ovat itse asiassa rationaalilukuja.
Asiaa valaissee seuraava esimerkki: Luku 4,123123123. . . (missä . . .
tarkoittaa, että jakso 123 toistuu loputtoman monta kertaa) voidaan esittää rationaalisessa muodossa:
4,123123123. . .= 4123
999 = 4 41
333 = 4·333 + 41
333 = 1373 333 .
Jakajassa on yhdeksikköjä yhtä monta kuin jaksossa on numeroita luvun 4,123123123. . . tapauksessa niitä on 3 kpl.
Esitä seuraavat päättymättömät desimaaliluvut rationaalimuodossa.
(a) 7,242424. . . (b) 5,243243243. . .
Ilmoita vastauksesi supistetussa muodossa, kuten yo. esimerkissä. Tar- kista laskimella.
2
