x43 b) Ratkaise yhtälö + 2x = 03. a) Ratkaise yhtälö

KURSSIKOE B: 2009 JUURI- JA LOGARITMIFUNKTIOT MAA8

VALITSE 8 TEHTÄVÄÄ

1. a) Laske f o g ja g o f, kun f(x) = 2x + 1 ja g(x) = x².

b) Laske funktion f(x) = x³ + 9 käänteisfunktion arvo kohdassa x = 1 c) Muodosta käänteisfunktion lauseke funktiolle f(x) = x³ + 9 . 2. a) Derivoi a) ^34x

b) Ratkaise yhtälö + 2x = 0

3. a) Ratkaise yhtälö (e^x)³ e^x2 (YOK09: 2b) b) Ratkaise epäyhtälö 3^2x+1 > 27

c) · :

4. Laske funktion f(x) = 5e^x - 5ex + e ääriarvo.

5. Milloin funktio a) f(x) = lg (x² - 4) on määritelty b) Sievennä log4 16

c) Ratkaise log2 (3x - 1) = 3

6. a) Ratkaise yhtälö lgx + lg(x + 20) = 3, missä lg on 10-kantainen logaritmi (YOK09: 5a) b) Sievennä log3 18a - log3 2a

7. Olkoon funktio f (x) = x x

ln , missä x > 1. Määritä f (x):n pienin arvo.

8. Eräässä yhtiössä naisten keskipalkka on 2200 € ja miesten 2500 €.

Kuinka monessa vuodessa saavutettaisiin samapalkkaisuus, kun suunnitelmissa on korottaa naisten palkkoja vuosittain 4 % ja miesten 2 %

9. Osoita, että epäyhtälö e^x · x + 1 > 0 toteutuu kaikilla reaaliluvuilla x.

RATKAISUT MAA8 / B: 2009

1. a) (f o g)(x) = f(g(x)) = f(x²) = 2x² + 1 ; (g o f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)² b) f ^-1(1) = x ; f(x) = 1 ; x³ + 9 = 1 ; x³ = -8 ; x = -2

c) f: y = x³ + 9 ; x³ = y - 9 ; x = f ^-1: y = ; f ^-1(x) =

2. a) D ^34x = D 2

1

) 4 3

(  x = ²

1

) 4 3 2(

1  x ^ ·(–4) = – _3²_4x b) + 2x = 0 ; = -2x || ( )² EHTO: -2x > 0 ts. x < 0

3x+ 1 = 4x² ; 4x² - 3x - 1 = 0 ; x = = ; (x = 1) tai x = -¼

3. a)

5 13

3 5 5

5 5^{5 5 3}











x x

x

b) 3^2x+1 > 27 ; 3^2x+1 > 33 ; 2x + 1 > 3 ; 2x > 2 ; x > 1 c) · : = a^1/2 · a^2/3 : a^1/6 = a1/2 +2/3 - 1/6 = a¹ = a

4. f(x) = 5e^x - 5ex + e on JVA, DVA, ei reunoja. f´(x) = 5e^x - 5e ; f ´  0 ; 5(e^x - e)  0 ; e^x  e ; x  1

f ' : --- 1 +++

f :  _   Minimiarvo = f(1) = 5e - 5e + e = e

5. a) x² - 4 > 0 NK: x = ± 2 ; Kuvaaja ylösp. auk. par. Merkit + -2 - 2 + V: x > 2 tai x < - 2 b) log4 16 = log4 4² = 2

c) log2 ( 3x - 1) = 3 ; 3x - 1 = 2³ ; 3x = 1 + 8 ; 3x = 9 ; x = 3 6. a) lgx(x + 30) = 3  x² + 30x = 10³  x² + 30x – 1000 = 0 x = -50 tai x = 20

MJ: x > -30 Vastaus: x = 20

b) log3 18a - log3 2a = log3 18a:2a = log3 9 = log3 3² = 2

7. f (x) on määritelty ja jatkuva annetussa joukossa f '(x) = (ln )2

1 ln

x x

= 0, josta x = e

1 e

f '(x) – – – – – + + + + f (x)

f (x) saa pienimmän arvonsa, kun x = e.

f (e) = e Vastaus: e

8. Naisten palkkakehitystä kuvaa malli y 22001,04^x ja miesten y25001,02^x. Asetetaan yhtälö 2200^1,04^{x }

22 ) 25 02 , 1

04 , (1 2200 2500 02

, 1

04 , 02 1 , 1

2500 ^x  _x^x   ^x  .

Täten ^{6,583211... 6,6} 02

, 1

04 , lg1

22) lg(25







x vuotta.

9. Tutkitaan funktioa f(x) = e^x·x + 1 ,

f ' (x) = e^x·x + e^x·x = e^x(x + 1) ; f ' = 0 ; x + 1 = 0 ; x = - 1

f ' :n merkit määrää x + 1 , koska e^x > 0 x + 1 : n kuvaaja on nouseva suora, josta merkit f ' : --- -1 +++

f :  _ 

 pienin arvo = f(-1) = e^-1·(-1) + 1 = 1 - > 0  kaikki arvot ovat positiivisia.