2.2.1. Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön 2.2.1. Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön

2.2.1. Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön 2.2.1. Yhtälön ja epäyhtälön korottaminen neliöön

Olkoon a, b  0. Tällöin

a = b  a² = b², a < b  a² < b²

2.2.2. Neliöjuuriyhtälöt 2.2.2. Neliöjuuriyhtälöt

Neliöönkorotuksella saatu yhtälö ei aina ole yhtäpitävä alkuperäisen kanssa.

Tulos tarkistettava.

E.1. (t. 64a) E.1. (t. 64a)

a)

x  3  2

x + 3 = 4 x = 1 Tarkistus:

2 3

1  

Vastaus: x = 1

tai

Määritelty, kun x + 3  0 x  -3

2 3 



x

x + 3 = 4 x = 1x = 1

2

4 

E.2. (t. 67b)

E.2. (t. 67b) E.3. (t. 67c)E.3. (t. 67c)

( )²

rtk-

kaavalla

E.4. (t. 78a) E.4. (t. 78a)

2 2

2 )

2 (1 2 2 1 2

) 2 (

) 1

( x  x   x  

2.2.3. Neliöjuuriepäyhtälöt 2.2.3. Neliöjuuriepäyhtälöt

E.5. (t. 65a) E.5. (t. 65a)

 2

x



| ( )²

0 kun x

,

4 

 x

Vastaus: 0  x < 4

E.6. (t. 65c) E.6. (t. 65c)

5

2

 9  x

Määritelty, kun x² + 9  0 eli kaikilla x  R

5

2

 9 

x

x² + 9  25 x² – 16  0

-4 4

+ - +

Vastaus:

E.7. (t. 66a) E.7. (t. 66a)

x x1  5 Määritelty:

vp: x + 1  0  x  -1 op: 5 – x  0  x  5 eli kun -1  x  5

x

x 1 5 | ( )² x + 1 < 5 – x

2x < 4 x < 2

2.2.4. Muut juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt 2.2.4. Muut juuriyhtälöt ja -epäyhtälöt

E.8. (t. 72a) E.8. (t. 72a)

| ( )³ 2x – 1 = -125

2x = -124 x = -62x = -62

E.9. (t. 72b) E.9. (t. 72b)

molemmat puolet positiivisia

| ( )⁴

E.10. (t. 71a) E.10. (t. 71a)

4

4 2x 1  x5

Määritelty, kun 2x – 1  0

x  ½ x + 5  0 x  -5

eli kun x  ½

4

4 2x1 x5 | ( )⁴ 2x – 1 < x + 5

x < 6

Vastaus:

½  x < 6