0 b ,a ja b||a

(1)

Vektorin komponentit

2 vektoria määrittävää tason, kun

0 b

, a ja b

||

a  

E.1.

Vektorit ā ja b toteuttavat yhtälön 2ā - 3b = 0. Voivatko ā ja b olla tason kantavektoreita?

0 3

2 a  b 

2 b a 3

3 2



 b a

b a





^{V: EIVÄT}

(2)

b s a

r

v  

Tason kantavektorit

Erisuuntaisten vektorien

määräämän tason jokainen vektori v

voidaan esittää vektorien lineaarikombinaationa:

b ja a

b ja

a

tason kantavektoreita

) b , a

(

tason kanta

r ja s vektorin v koordinaatit kannassa

( a , b ) b

s ja a

r

vektorin v komponentit

a b

a r

b s v

(3)

Jos on kanta, on

( a , b )

2 1

2 2

1

a s b r a s b r r ja s s

r      

) b 4 a

( )

b 3 a

2 (

c    

c

E.2.

Mitkä ovat vektorin koordinaatit kannassa , kun

( a , b )

b 4 - a b

3 a

2 c   

b 7 a

c  

V: (1, -7)

(4)

E.4.

Määritä x, kun vektorit ovat yhdensuuntaisia ja on kanta

b 4 a

5 ja b 3 - a

x 

) b , a (

) b 4 a

t(5 b

3 - a

x  

b 4t a

5t b

3 - a

x  

3 - 4t ja 5t

x  

4) (- 3 5 x ja 4

t   3  

4 -33 4

x  15 

(5)

E.5. (Kirjan esimerkki 4, s.34) Olkoot

b 2 a 3 v

ja b a

2 u

, b 2 a

c       

sekä vektorit

( a , b )

erisuuntaiset Osoita, että on kanta

( u , v )

On osoitettava, että vektorit ovat erisuuntaiset ts.

löytyykö sellainen reaaliluku t, että

v a j u

v t u  v

| |

u  u  t v  2 a  b  t(3 a  2 b ) 2t

1 ja 3t

2  

 2

t 1 ja

3 2 



 t

epätosi kaikilla t:n arvoilla, joten vektorit ovat erisuuntaisia ja on kanta

) v , u ( )

v

,

u

(

(6)

E.5. (Kirjan esimerkki 4, s. 34) Olkoot

b 2 a 3 v

ja b a

2 u

, b 2 a

c       

sekä vektorit

( a , b )

erisuuntaiset

Määritä vektorin koordinaatit kannassa

c

⁽^u^,^v⁾

v y u x c  

) b 2 a y(3 )

b a x(2 b

2 - a

-    

b 2y a

3y b

a 2x b

2 - a

-   x   -a - 2b  (2x 3y)a (x 2y)b

















2 2

1 3

2

y x

y

x x = 4

y=-3