Ratkaise yht¨al¨ot a) sinx = sin 2x b) cos 2x = tanx+ 1 c) sinx =−cosx d) sinx = sin 5x−sin 3x

Matematiikan perusmetodit I/soveltajat

Harjoitus 5, syksy 2005 1. Ratkaise yht¨al¨ot

a) sinx = sin 2x b) cos 2x = tanx+ 1

c) sinx =−cosx d) sinx = sin 5x−sin 3x.

2. Olkoot m ja n ∈ R kiinteit¨a. Osoita, ett¨a

a) sinmxsinnx = ¹₂[cos(m−n)x−cos(m+n)x]

b) sinmxcosnx = ¹₂[sin(m+n)x+ sin(m−n)x]

aina, kun x ∈ R.

3. M¨a¨ar¨a¨a arcsin ¹₂, arccos

−

√ 3 2

ja arctan

−^√1

3

.

4. M¨a¨ar¨a¨a lauseke arccos(−x), x ∈ [−1,1], arccosx:n avulla.

5. Sievenn¨a lausekkeet sin(arccosx), arccos(sinx) ja sin(2arccosx).

6. Lausu f(x) muodossa f(x) = rsin(x+ϕ)(r > 0 ja ϕ ∈ R vakioita), kun

a) f(x) = −sinx + cosx b)f(x) = −sinx−

√

3 cosx, x ∈ R.

7. Funktio f(x) = arcsin(1−x²), x ∈ [0,1], on bijektio M(f) → A(f).

M¨a¨ar¨a¨a A(f) ja f⁻¹(x).