5.1. Tason yhtälö

(1)

5.1. Tason yhtälö

Pisteen (x₀, y₀. z₀) kautta kulkevan ja vektoria aib j ck vastaan kohtisuorassa olevan tason yhtälö on

a(x – x

₀

) + b(y – y

₀

) + c(z – z

₀

) = 0

E.1. Määritä jokin tason 2x – 3y + z + 6 = 0 jokin normaalivektori

k j i

n  2  3 

E.2. Taso kulkee pisteen (5, -1, -4) kautta ja on kohtisuorassa vektoria 4i3j 2k vastaan. Määritä tason yhtälö.

4(x – 5) - 3(y + 1) + 2(z + 4) = 0 4x – 20 – 3y – 3 + 2z + 8 = 0 4x – 3y + 2x – 15 = 0

TAPA 2

Tason yhtälö muotoa 4x – 3y + 2z + d = 0 Tason piste (5, -1, -4):

4  5 – 3  (-1) + 2  (-4) + d = 0 d = -15 4x – 3y + 2z + d = 0

(2)

5.2 Suoran asema tasoon nähden

Katso kuva s. 127

E.1.

Osoita, että suora _t _R

1 2 1 3

 



















t z

t y

t

x on tasossa 3x – 2y + z – 8 = 0

Sijoitetaan suoran mielivaltainen piste (3 + t, 1 + 2t, 1 + t) tason yhtälöön:

3(3 + t) – 2(1 + 2t) + (1 + t) – 8 = 0 9 + 3t – 2 – 4t + 1 + t – 8 = 0 0 = 0 tosi kaikilla parametrin t arvoilla.

Täten suora on tasossa.

(3)

E.2.

Osoita, että suora _t _R

2

2 















t z

t y

t

x on yhdensuuntainen tason 2x – y + z + 1 = 0

Suora on tason suuntainen, jos se on kohtisuorassa tason normaalivektoria vastaan.

Suoran suuntavektori:

kanssa, mutta ei ole tämän tason suora.

Suoran pisteessä (0, 2, 2) : 2  0 – 2 + 2 + 1 = 1 ≠ 0, joten suora ei ole tasossa.

k j i

s   

Tason normaalivektori:

n  2 i  j  k 0

1 1 ) 1 ( 1 2

1       



 n

s  s  n

 suora on tason suuntainen

(4)

E.3.

Määritä suoran _t _R

3 2 1

 



















t z

t y

t

x ja tason x + y + z - 4 = 0 leikkauspiste.

Koordinaatit toteuttavat tason yhtälön:

x + y – z – 4 = 0

1 – t + 2 – t + 3 + t – 4 = 0 -t + 2 = 0

t = 2

x = 1 – 2 = -1 y = 2 – 2 = 0 z = 3 + 2 = 5

Leikkauspiste: (-1, 0, 5)

(5)

5.3 Tasojen keskinäinen asema (katso s. 131)

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet.

Normaalivektorit:

a) 2x + y – z +1 = 0 ja x – y – 2z + 2 = 0

k j i

n

1

 2   n

2

 i  j  2 k

ovat erisuuntaisia, koska

1 1 1

2

  Tasot leikkaavat pitkin suoraa



















0 2 2

0 1 2

z y

x

z y x















2 2

1 2

z y

x

z y x

3x = 3z - 3 x = z - 1

Merkitään z = t

Tasojen leikkaussuoran yhtälö

R t 1

1

 



















t z

t y

t x

y = -2x + z – 1 = -2(z – 1) + z – 1 = -z + 1

Tasot leikkaavat pitkin suoraa, joka kulkee pisteen (-1, 1, 0) kautta ja on vektorin

suuntainen

k

j

i  

(6)

b) x – 2y – z + 2 = 0 ja – 2x + 4y + 2z + 5 = 0

T₁: x – 2y – z + 2 = 0 T₂: – 2x + 4y + 2z + 3 = 0

k j i

n

1

  2 

k j

i

n

2

  2  4  2

Koska

n

₂

  2n

₁ niin normaalivektorit ja täten myös tasot ovat yhdensuuntaiset

Piste (0, 1, 0) tasossa T₁, mutta ei tasossa T₂, sillä -2x + 4y + 2z + 3 = -2  0 + 4  1 + 2  0 + 5 = 9 ≠ 0.

Siis tasot ovat yhdensuuntaiset, mutta eivät yhdy, joten niillä ei ole yhtään yhteistä pistettä.

(7)

c) –x + 3y + z – 2 = 0 ja 3x – 9y – 3z + 6 = 0

-x + 3y +z - 2 = 0

Siis tasot ovat yksi ja sama taso ja yhteisiä pisteitä ovat kaikki tämän tason pisteet.

Jaetaan tason 3x – 9y – 3z + 6 = 0 yhtälö luvulla -3 saadaan

(8)

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat a) yhdensuuntaiset b) toistensa normaalitasot

a) Tasot ovat yhdensuuntaiset, jos niiden normaalivektorit ovat yhdensuuntaiset

k j a i

n

1

 2   n

2

 a i  8 j  2 k

Siis on olemassa luku t siten, että

n

¹

 t n

²

)

2 8

(

2 i  a j  k  t a i  j  k  ta i  8 t j  2 t k











 t t a

ta 2 1

8 2









 t t a

2 1

8













 4 2 1 a

t

Tutkitaan, toteuttaako ratkaisu myös kolmannen yhtälön:

2 = -½  (-4) 2 = 2

tosi, siis toteuttaa

Tasot yhdensuuntaiset, kun a = -4

(9)

E.2. Millä vakion a arvolla tasot 2x + ay + z – 4 = 0 ja ax + 8y – 2z – 1 = 0 ovat b) toistensa normaalitasot

Tasot ovat toistensa normaalitasoja, kun niiden normaalivektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan:

0 2 8 2

2

1

 n   a  a    n

5 a 1

2 10a



(10)

Tasojen välinen kulma

= tasojen normaalien välinen kulma

E.4. Laske tasojen 2x – y – 2z + 6 = 0 ja x + 2y – 2z – 8 = 0 välinen kulma

k j

i

n

1

 2   2 n

2

 i  2 j  2 k

2 1

2 1 2

1

, )

cos( n n

n n n

n  

₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂

) 2 ( 2 1

) 2 ( ) 1 ( 2

) 2 ( 2 2 1 1 2























 

9  4

6



, 63 )

,

(

1 2



 n n

(11)

Kolmen tason keskinäinen asema

(12)

E.1. Määritä tasojen yhteiset pisteet

a) 2x – 3y – z – 4 = 0, 3x + 4y + z – 5 = 0 ja 4x + 5y – 2z + 3 = 0

 

 





















0 3 2

5 4

0 5 4

3 0 4 3

2 z y

x

z y x

z y

x

^{ 1}

 1  2

 1

 













0 5 4

3 0 4 3

2 z y x

z y x

 

















0 3 2

5 4

0 10 2

8 6

z y

x

z y

x

5x + y - 9 = 0 10x +13y -7 = 0

 















0 7 13y 10x

0 9 y 5x

 (-2)

 













0 7 13y 10x

0 18 2y

- 10x -

11y + 11 = 0 y = -1

x sijoittamalla:

10x + 13  (-1) – 7 = 0 10x = 20 x = 2 z sijoittamalla:

3  2 + 4  (-1) + z – 5 = 0 z = 3

V: Yhtälöryhmän ratkaisu piste (2, -1, 3)

(13)

b) x + y + z – 1=0 , -2x + y -2z + 2 = 0 ja 4x + y +4z = 0

 

 























0 4 4

0 2 2

2 0 1 z y

x

z y

x z y

x

^{ 2}

 1  2

 1

 



















0 2 2z y

2x

0 2 2z 2y

2x

 

















0 4

4 0 4 4

2 4

z y

x

z y

x

3y - 1 = 0 3y + 4 = 0

 





 4 - 3y

0 3y



 





 4 - 3 y

0 y

V: Yhtälöryhmällä ei ole ratkaisua eikä tasoilla näin ollen yhtään yhteistä pistettä