1.1

(1)

1.1 Lukujoukot

1. a) 0

b) 25− ja 0 c) −25, 0, 7

9 ja 35,111…

d) kaikki

2. a) Merkitään alkuperäistä lukua 0,151515… kirjaimella x.

0,151515...

x =

Kerrotaan luku sellaisella luvulla, jolla saadaan yksi toistuva jakso (15) siirtymään pilkun vasemmalle puolelle.

100x=15,151515...

Vähennetään yhtälöiden molemmat puolet toisistaan.

100 15,151515...

0,151515...

99 15 :99

15 99 x

x x x

=

= 15 5 99 33 x = =

b) Luvun 1, 234 jakso on 234.

1, 234234234...

x =

Yksi jakso saadaan pilkun vasemmalle puolelle kertomalla luvulla 1000.

1000x=1234, 234234234...

(2)

Vähennetään yhtälöiden oikeat ja vasemmat puolet toisistaan.

1000 1234, 234 1, 234 999 1233

1233 999 x

x x

x

=

1233 133 26

999 111 1111

x = = =

c) x =3,555...

100 355,555...

3,555...

99 352 :99

352 99 x

x x

x

= −

352 55 5

3 3

99 99 9

x = − = − = −

Vastaus: a) 15 5 99 33 x = =

b) 1233 133 26

999 111 1111

x = = =

c) 352 55 5

3 3

99 99 9

x= − = − = −

(3)

3.

Luku Vastaluku Itseisarvo Käänteisluku 3

4

3

− 4 3

4

4 1 3

−2 1

2

1

2 2

7

− 2 7

2

7 2

2

−7

±3 ∓3 3 1

±3 4. a) vastaluku 5

−9, itseisarvo 5

9 ja käänteisluku 9 5

b) vastaluku ^{− − =}

( )

⁸ ⁸, itseisarvo 8 ja käänteisluku ¹

−8

c) vastaluku ⁻

(

²^π ⁻¹⁰

)

^{= −}²^π ^{− −}

(

¹⁰

)

^{= −}²^π ⁺^{10 10 2}⁼ ⁻ ^π

Koska 2π −10 0< , itseisarvo on

( ) ( )

2π −10 = − 2π −10 = −2π − −10 = −2π +10 10 2= − π käänteisluku ¹

2π −10 5. a) ⁸

(

^1,6

)

⁰

5 + − = ovat

b) ⁹ 2, 4 0

− +4 ≠ eivät ole

c) ^π ^{− +}²

(

²⁻^π

)

^{= − + − =}^π ^{2 2} ^π ⁰^ovat

(4)

6. a) 7

1,3 1

9⋅ ≠ eivät ole

b) ⁵

(

^{1, 2}

)

¹

− ⋅ −6 = ovat c) 2 2 ² 1

⋅ 4 = ovat 7. a) Luvun ³

7 käänteisluku on ⁷

3, jonka vastaluku on ⁷

− 3. b) Käänteisluku luvulle 5− on ¹

−5, jolle vastaluku on ¹ 5. c) 8

8. a) −3π =3π

b) Luku 1+ 3 2,732...= on positiivinen, joten itseisarvo on luku itse eli 1+ 3 = +1 3.

c) 1− 2 = −0, 414... on negatiivinen, joten sen itseisarvo on sen vastaluku ¹⁻ ² ^{= − −}

(

¹ ²

)

^{= − − −}¹

( )

² ^{= − +}¹ ² ⁼ ^{2 1}⁻

(5)

9. a) Itseisarvomerkkien sisällä oleva lauseke 2 10 3,716... on negatiivinen, joten sen itseisarvo on sen vastaluku.

 

2 10   2 10 10 2 

b) 4 5 7 1,944...  on positiivinen, joten itseisarvo on luku itse.

4 5 7 4 5 7

c) 1 3   0, joten ¹^ ³ ^^ ^{  }



¹ ³^^



^{  }^ ¹ ³

10. a) 2 9     7 1 7 8   7 8 15

b) 2 6

2 3 6 2 3 9 : 6 0 2 6 : 6 0 2

6

          

11. a) 2 1, 4142...  b) 4 2  c) 4 2

9  3 

d)  9  3  e)  1,772...  12. a) 1

2,5 2

 2

b) 64 16

5,64 5 5

100 25

 

c) Luvun x 2,3454545... jakso on 45. Kerrotaan ensin luku x luvulla 1000, jotta saadaan jakso pilkun vasemmalle puolelle.

1000x 2345, 454545...

(6)

Kerrotaan luku luvulla 10, jotta saadaan toinen sellainen luku, jossa pilkun jälkeen toistuu sama jakso.

10x= 23, 454545...

Vähennetään yhtälöiden molemmat puolet toisistaan.

(18

1000 2345, 454545...

10 23, 454545...

990 2322 :990

2322 990

342 19

2 2

990 55

x x x x x

=

= =

13. a) vastaluku − 3, käänteisluku ¹ 3 b) vastaluku −b, käänteisluku 1

, b 0

b ≠

c) vastaluku ^{− −}

(

^{b a}

)

^{= − + = −}^{b a a b}, käänteisluku ¹ , a b b a ≠

−

14. a) 3 2 2− = −1,096... on negatiivinen, joten itseisarvo on luvun vastaluku. ^{3 2 2}⁻ ^{= −}

(

^{3 2 2}⁻

)

⁼ ^{2 2}⁻ ³

b) π − =3 0,141... on positiivinen, joten itseisarvo on luku itse.

3 3

π − = −π

c) 2 ^{2 , kun 2} ^{0 eli kun} ⁰ 2 , kun 0

x x x

≥ ≥

= ⎨⎧⎩− <

(7)

15. a)

( ) ( )

0 0

2 2 4 3 5 2 2 4 3 5

2 2 4 3 5

4 8 3 15

7 15

π π π π π π

π π π

π

< <

− − − = ⋅ −⎡⎣ − ⎤⎦− −⎡⎣ − ⎤⎦

= − + − − +

= − + + −

= −

b) ⁰

(

^{3 2 6}

)

6 3 2

3 2 6 : 3 2 2

3 3

< − − −

− = = = −

16. Jos lausekkeen arvo on positiivinen tai nolla, sen itseisarvo on lauseke itse. Jos lausekkeen arvo on negatiivinen, itseisarvo on sen vastaluku.

a) 5 0 5 x

x + ≥

≥ − eli

( )

5, kun 5

5 5 5, kun 5

x x

x x x x

+ ≥ −

+ = ⎨⎧⎩− + = − − < −

b) 2 4 0

2 4 :2

2 x

x x

− ≥

≥

≥ eli

( )

2 4, kun 2 2 4

2 4 2 4 4 2 , kun 2

x x

x x x x x

− ≥

− = ⎨⎧⎩− − = − + = − <

(8)

17. OLETUS

Luku a on rationaaliluku.

VÄITE

Luku 1a+ on rationaaliluku. a+ ∈1 . TODISTUS

Rationaaliluku a voidaan esittää kahden kokonaisluvun osamääränä.

Olkoot nämä luvut x ja y.

a x

= y

Tällöin 1 x 1 x y x y

a y y y y

+ = + = + = +

Kahden kokonaisluvun summa on kokonaisluku eli x y+ ∈ . Tällöin 1 x y

a y

+ = + ∈

1.2 Reaaliluvuilla laskeminen

18. a) ⁴

( )

^ab ⁼ ⁴^ab

b) ⁷

(

^{a b}⁺

)

⁼⁷^a⁺⁷^b

c) ⁻²

(

^{a b}⁻

)

= − − ⋅ − = − +²^a ²

( )

^b ²^a ²^b

d) ^{− + = − −}

(

^x ¹

)

^x ¹

e) ^{− − +}⁹

(

^{x y}

)

^{= − ⋅ − −}⁹

( )

^x ⁹^y⁼⁹^x⁻⁹^y

f) ^{− − −}³

(

^{a b}

( ) )

^{= −}³

( )

^ab ^{= −}³^ab

19. a) ^{4 5}

(

⁻ ^x

)

^{= ⋅ −}^{4 5 4}^x⁼ ^{20 4}⁻ ^x

b) ⁻⁶

(

^a⁺²

)

= − − ⋅ = − −⁶^a ^{6 2} ⁶^a ¹² c) ⁻²

(

^b⁻⁸

)

= − − ⋅ − = − +²^b ²

( )

⁸ ²^b ¹⁶

(9)

20. a)

4) 3)

2 1 8 3 11

3 + 4 12 12 12= + = b)

2) 3)

5 3 10 9 1

6 − 4 12 12 12= − = c)

2) 5)

3 1 2 5 3 1 2 1 13 3 26 15 26 15 41 1

2 1 4

5 2 5 2 5 2 10 10 10 10 10

⋅ + ⋅ + +

+ = + = + = + = = =

21. a)

7 13 20(2 10 1 18 18 18+ = = 9 =19

b)

4) 2) 3)

2 5 1 3 3 2 5 1 11 5 1 44 10 1 35 11

3 2

3 6 4 3 6 4 3 6 4 12 12 12

⋅ + − +

− + = − + = − + = = =

c)

2) 3)

7 1 5 9 7 3 6 1 52 19 104 57 47 11

5 3 2

9 6 9 6 9 6 18 18 18

⋅ + ⋅ + −

− = − = − = = =

22. a)

2) 10) 5) (5

5 1 3 10 10 15 15 3

10 − 2 + 4 = 20 20 20− + = 20 = 4 b)

3) 6) 2)

1 1 8 5 6 1 1 8 31 1 8

56 3 9 6 3 9 6 3 9

93 6 16 103 13

18 18 18 18 518

− + = ⋅ + − + = − +

= − + = =

c)

2) 10) 5)

3 1 3 4 1 2 1 3 4 3

5 4 12 5 1 2 5 1 2

6 40 15 19 9

10 10 10 10 110

− + − = − + − ⋅ + = − + −

= − + − = =

(10)

23. a) 1 12

12 3

4⋅ = 4 = b) ^{2 1} ²

3 6⋅ =

1

1 3 6

⋅

3

1 1 1 3 3 9

= ⋅ =

⋅

c) ³ ³ 3 3 5 3 3 18 3 18 54 4

3 2

5 5 5 5 5 5 5 5 25 25

⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅ = = =

⋅

24. a) ^{2 9} ² 3 10⋅ =

1

⋅ 9³ 3

1⋅10

5

1 3 3 1 5 5

= ⋅ =

⋅

b) ^{5 6} 2 ^{5 6 2} 8 7

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

1

8

4

5 6 7

= ⋅

⋅

3

4

2

5 3 15 1 2 7 14 114 7

= ⋅ = =

⋅ ⋅

c) 4 3 3 5 4 2 4 3 19 11 19 11 209 9

3 2 10

5 4 5 4 5 4 5 4 20 20

⋅ + ⋅ + − ⋅ −

− ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = = = −

⋅

25. a) 6 ² ⁶

⋅ =3

2

2 1 3⋅

1

2 2 4 1 1 1 4

= ⋅ = =

⋅

3 1 5 3 5 8 5 8 5 b) 1 5

5 5 1 5 1

⋅ + ⋅

⋅ = ⋅ = ⋅ =

1

5

1

8 8 1 = =1

⋅

c) ^{2 10} 26 ^{2 10 26} ^{2 10} 5 13 5 13 1

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅

2

⋅ 26² 5

1

⋅13

1

2 2 2 8 1 1 1 1 8 1

= ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅ ⋅

(11)

26. a) ^{2 4}: ^{2 7} ² 5 7 = ⋅ =5 4

1

7 5 4

⋅

2

1 7 7 5 2 10

= ⋅ =

⋅

b) ^{12 4}: ^{12 5} ¹² 25 5 25 4

− = − ⋅ = −

3

⋅ 5¹ 25

5 ⋅ 4

1

3 1 3 5 1 5

= − ⋅ = −

⋅

c) 7 2 1 8 7 2 15 3 45 13

1 : : 2

8 3 8 3 8 2 16 16

= ⋅ + = ⋅ = =

27. a) 5 : ²⁰ ^{5 20}: ^{5 21} ⁵ 21 1 21 1 20= = ⋅ =

1

21 1 20

⋅

4

1 21 21 1 1 4 4 54

= ⋅ = =

⋅

b) ² : 4 ^{2 4}: ^{2 1} ² 5 = 5 1 = ⋅ =5 4

1

1 5 4

⋅

2

1 1 1 5 2 10

= ⋅ =

⋅

c) 1 1 3 1 1 3 3 6 3 3 6 54

3: : : : 54

3 6 1 3 6 1 1 1 1 1 1 1

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅

28. a) 6^{2 3} 2 ^{6 3 2 3 2} ^{20 3 2} ²⁰

3 4 3 4 1 3 4 1

⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

5

⋅ 3¹ 2 3

⋅

1 ⋅ 4

1

5 1 2 10 1 1 1 1 10 1

= ⋅ ⋅ = =

⋅ ⋅

⋅

b) 4 :¹ ⁹ ^{4 2 1}: ⁹ ⁹ ¹⁶ ⁹

2 16 2 16 2 9

⎛ ⎞ ⋅ + ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⎜⎝− ⎟⎠= − ⎜⎝− ⎟⎠= − ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠=

1

⋅16⁸ 2

1⋅ 9

1

1 8 8 1 1 1 8

= ⋅ = =

⋅

c) ³ 2 5 5 3 4 3 2 28 14 28 3 28 5 : 4 = ⋅ + : ⋅ + = : = ⋅ =

2

⋅3 2 3 6 1

⋅ 1

= = =

(12)

29. a)

1 1 2 7 1 4 2 10 1 4

: :

2 4 5 10 2 1 5 7

+ = ⋅ + ⋅ = ⋅

2

1

2 10 1

+ ⋅

⋅

2

5

1 7)

7

1 2 2 2 2 4 14 4 18 4

1 1 1 7 1 7 7 7 27

⋅

⋅ ⋅ +

= + = + = = =

⋅ ⋅

b)

3) 2)

3 1 2 3 6 1 2 3 6 3 4

: 6 : :

8 2 3 8 1 2 3 8 1 6

3 6 1 3 1 1 3

8 1: 6 8 6 6

⎛ ⎞ −

⎛ ⎞

− ⋅⎜⎝ − ⎟⎠ = − ⋅⎜⎝ − ⎟⎠= − ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠= − ⋅ ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠=

1

1 1 8 6 6

⋅ ⋅

2

1 1 1 1 8 6 2 96

= ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅

30. a) 1 2 4 1 3 9 3 9 1 9

2 : 3 : :

4 4 1 4 1 4 3

= ⋅ + = = ⋅ =

3

1 4 3

⋅

1

3 1 3 4 1 4

= ⋅ =

⋅

b) 2 5 1 5 2 5 7 5 5 25 4

5 :1 : : 3

5 1 5 1 5 1 7 7 7

= ⋅ + = = ⋅ = =

4 3 3 5 4 2 4 3 19 11

c) 3 : 2 : :

5 4 5 4 5 4

19 4 19 4 76 21

5 11 5 11 55 155

⋅ + ⋅ +

⎛− ⎞ = ⎛− ⎞ = ⎛− ⎞

⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⋅

= ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠ = − ⋅ = − = −

(13)

31. VÄITE Luvut 7

9 ja 2

17 ovat toistensa käänteislukuja.

TODISTUS

Luvut ovat käänteislukuja, jos niiden tulo on 1.

7 2 7 1 7 2 7 9

1 1

9 7 9 7 9 7

⋅ = ⋅ ⋅ + = ⋅ =

Siis luvut ovat toistensa käänteislukuja.

32. a) ⁵ ⁵ ⁶

6 6 6

a a a+ a

+ = =

1

6 a

1

=a

b) ⁴ ⁴ ³

9 9 9

b b− = b b− =

1

9 b

3

= b

c) : ⁴ ⁴

2 4 2 a a a

= ⋅ =a

2

a

1

2

1 a

1

= 2

33. a)

5) 3)

1 1 1 5 3 1 7

3+ 5 15 15 15 15 15− = + − =

5) 4) 2)

1 2 3 2 4 1 3 5 2 3 b) 2 3

4 5 10 4 5 10

9 17 3 45 68 6 17

4 5 10 20 20 20 20

⋅ + ⋅ +

− + = − +

= − + = − + = −

c)

5) 7) 7) (5

4−⎛⎜ 2 − 1⎞⎟= −4 ⎛⎜10 − 7 ⎞⎟= 4 − 3 = 28− 3 = 25 = 5

(14)

34. a)

2 5 2 3 2 3 6 5

2 3

3 6 3 6

8 23 8

3 6

⋅ + ⋅ +

⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠ = − ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠

⎛ ⎞

= − ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠=

4

23 3 6

⋅

3

4 23 92 2 3 3 9 109

= ⋅ = =

⋅

b) ^{2 4 1}: 2 ^{2 9 1 2} ² 9 9 3 9 4 3 1

− ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = −

1

⋅ 9¹ ⋅ ⋅1 2¹ 9

1 ⋅ 4

1

1 3 1 = −3

⋅ ⋅

c) 2 ^{3 6 1}: ^{2 3 7 1} ² 8 7 14 1 8 6 14

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

1

⋅ 3¹ ⋅ 7¹ 1 1 8

⋅

4

⋅ 6

2

⋅14

2

1 1 1 1 1 1 4 2 2 16

⋅ ⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅ ⋅ 35. a)

1 3 1 2 4 3 1 11 1 11

2 2 2 2 2

3 4 3 4 3 4 3 4

11 2 12 11 24 11 35 11

2 2

12 12 12 12 12 12

⋅ + ⋅

+ ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = +

⋅

⋅ +

= + = + = = =

b)

2) 5)

2)

2 1 4 5 9

5 2 10 10 10 9

2 5 7 10

1 5

6 6 6

3 6

+ +

= = =

+ + 5

⋅ 6

3

27 7 = 35

(15)

c)

1 2 1 3 1 3 3 3 8 3

3 : 3 3 3

4 3 4 2 4 2 8 8 8

3 2 3 2 3 6 6 8 4

2 8 8 8 8

4 1 4 1 4 4 4 4

24 3 21

21 4 21 4

8 8

6 32 26 8 26

4 4

⋅

− − ⋅ − ⋅ − −

= = ⋅ = =

⋅ ⋅

⋅ − ⋅ − − − −

⋅

− ⋅

= = = ⋅ = −

− − −

1

8

( )

2

21 52 26 = −

⋅ −

36. a) ⁵ 5 ¹ 8 = ⋅8

b) 1

9 9

a = ⋅a

c) ¹

3 3

x x

− = − ⋅

37. a) Luvun 2

3 käänteisluku on 3 2. Luvun 3^{3 3 5 3 18}

5 5 5

= ⋅ + = käänteisluku on ⁵ 18.

9)

3 5 27 5 32

2 18 18 18 18 32 27 5 22 3 5

18 18 18 2 18

+ +

= = =

− −

16

18

1

⋅ 18

1

22

11

16 5 11 111

= =

b) Vastalukujen tulo

2 3 2 3 5 3 2 18 2 18

3 35 3 5 3 5

⋅ + ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

− ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠= − ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠ = − ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠ =

6

3

1

12 5 = 5

⋅

(16)

Vastalukujen osamäärä

2 2

2 5 2 5 10 5

3 3

3 3 5 3 3 18 3 18 54 27

35 5

− = −⋅ + = − ⋅ −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ = ⋅⋅ = =

− −

Vastalukujen tulon ja osamäärän erotus

27) 5)

12 5 324 25 299 29

5 − 27 = 135 135 135− = = 2135

38. a) 2 ¹ 2 ³ ^{1 2} ³ ¹ ²

2 4 2 1 4 2

a− b = − ⋅ −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ = − ⋅ −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠ = +

1

3 1 4

⋅

2

1 3 4 2 2 2 2

= + = =

b)

1

1 4 1 4

23 2 3 4

a b

⎛ ⎞ ⋅

= − = ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠= −

2

1

1 2 2 1 3 3 3

= − ⋅ = −

⋅ ⋅

c)

1 3 2) 1 3 2 3 5

2 4 2 4 4 4 4 5

1 1 1 1 4

2 2 2 2

a b a

⎛ ⎞

− −⎜ ⎟ + +

− = ⎝ ⎠ = = = =

2

⋅ 2

1

5 1 5 1

1 2 1 2 22

= ⋅ = =

⋅

39. a)

3 4 4 3 16 3 13

4 4 4 4 4 4 4 13

3 2 3 4 6 4 10

2 1 2 1 4

4 1 4 4 4 4 4

x x

⋅ −

− −

− = = = = =

+ ⋅ + ⋅ + + ₁

⋅ 4

1

13 3 10 10= =110

(17)

b)

5 4 6 5 24 5 29

4 4 6 6 6 6 6

2 5 10 6

5 2 5

2 1 2 1 1 1

1 6 6 6

6 1 6

29

29 6 29 6

64 6 4 6

x x

⎛ ⎞ ⋅ +

− −⎜ ⎟ +

−+ = ⋅ −⎛⎜⎝ ⎝ ⎞⎟⎠+⎠ = ⋅ −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠+ = − ⋅⋅ + = − +

⎛ ⎞ ⋅

= − = ⋅ −⎜⎝ ⎟⎠ = −

1

6

1

29 1 4 7 4 4 = =

⋅

c)

2 3 3 2 11

4 3 4 4

4 3 3 3

2 3 3 2 11

2 1 2 3 1 2 1 2 1

3 3 3

11 4 3 11 12 11 12 11

4 3 3 3 3 3 3

2 11 22 3 22 3

2 11 1 1

1 3 3 3 3

1 3

23 3 23 19 3 3

x x

⎛ ⎞ ⎛ ⋅ + ⎞ ⎛ ⎞

− −⎜ ⎟ − −⎜ ⎟ − −⎜ ⎟

− = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠ = ⎝ ⎠

+ ⋅ −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠+ ⋅ −⎛⎜⎝ ⋅ + ⎞⎟⎠+ ⋅ −⎛⎜⎝ ⎞⎟⎠+

⋅ +

+ + +

= = = =

⋅ − +

⎛ ⎞ − + − +

⋅ −⎜⎝ ⎟⎠+ ⋅

= =

−

1

⋅ 3

1

23 4

19 = −19 = −119

−

40. Palkkioraha yhteensä 80 €, jolloin Jaakon osuus oli 1 80 € 26,666...€ 27 €

3⋅ = ≈ .

Hanna sai neljäsosan jäljelle jääneestä osasta:

( )

1 80 € 26,666...€ 13,333...€ 13 €

4⋅ − = ≈

(18)

Loppu jaettiin kahtia Kaisan ja Nikon kesken:

80 € 26,666...€ 13,333...€ 40 €

2 2 20 €

− − = =

Vastaus: Jaakko 27 €, Hanna 13 €, Niko 20 € ja Kaisa 20 € 41. a)

2) 2 2 3 1

3 6 6 6 6 6 2 2

x x x x x x x x

+ x

+ = + = = = =

b)

3) 5)

4 2 12 10 12 10 2

5 3 15 15 15 15

x x x x x− x x

− = − = =

c)

3) 2)

3 1 4 2 9 3 8 4 9 3 8 4 5 5

2 3 6 6 6 6

x− + − x = x− + − x = x− + − x = x+

42. a) 3a

1

5 7 ⋅ 6a

2

5

=14 b) 8 2 8

9 : 5

x x = x

4

5 9 ⋅ 2x

1

4 5 20 2

9 1 9 29

= ⋅ = =

⋅

c) 12 12

5 :10 3 x x y

y ⋅ =

4

x

1

5

1 y

1

⋅ 10

2

x

1

⋅ y

1

3

1

4 1 2 1 1 1 1 1 8

⋅ ⋅ ⋅

= =

⋅ ⋅ ⋅

43. VÄITE: a b 1 b a⋅ = TODISTUS

1 1 1 1

1 1

a b a b a b

b a b a b a

a b a a

b a a a

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

⋅ =⎜⎝ ⋅ ⎟ ⎜⎠ ⎝⋅ ⋅ ⎟⎠= ⎜⎝ ⎜⎝ ⋅ ⎟⎠⎟⎠

⎛⎛ ⎞ ⎞ ⎛ ⎞

= ⎜⎝⎜⎝ ⋅ ⎟⎠⋅ ⎟⎠= ⋅ ⋅⎜⎝ ⎟⎠= ⋅ =

(19)

44. a) Merkitään x= 0,99, jolloin 100x=99,99 100 99,99

0,99

99 99

99 99 1 x x x x x

=

− =

=

= b) Tapa1:

Merkitään x= 0,11, jolloin

0,11 0, 22 0,33 0, 44 0,55 0,66 0,77 0,88 0,99

2 3 4 5 6 7 8 9

45

x x x x x x x x x

x

+ + + + + + + +

= + + + + + + + +

=

0,11

x = murtolukumuodossa:

100 11,11 0,11

99 11

11 99 1 9 x x x x x

=

− =

=

1 45

45 45 5

9 9

x = ⋅ = =

(20)

Tapa 2:

Ryhmitellään summa

(

^{0,11 0,88}

) (

^{0, 22 0,77}

) (

^{0,33 0,66}

) (

^{0, 44 0,55}

)

^0,99

0,99 0,99 0,99 0,99 0,99 5 0,99

+ + + + + + + +

= + + + +

= ⋅

a-kohdan perusteella 0,99 1= , joten 5 0,99 5 1 5⋅ = ⋅ =

45. a)

3x2 6x x x

+ =

(

³^x ⁶

)

x

+ =3x+6

b) ₂ ₈ ² ^{2 1 4}

( )

1 4

x x

x

− = −

− 1 4− x = 2x c)

2 2 2

2 2

9 9 9

9 9

x x x

x x

− − −

= =

− − + ⁻

(

^x² ⁻⁹

)

⁼ ⁻¹¹^{= −}¹

(21)

2.1 Ensimmäisen asteen yhtälö

46. a)

( )

5 4 6 25 6

5 10 25 5

10 30 : 10

30 10 3

x x x

x x x x

− = − −

= −

−

=

b) ³

(

²

) (

^{2 1 2}

)

3 6 2 4

3 6 4 2

7 6 2 7 2 6

7 8 :7

8 1

7 17

x x

x x x x

− = −

− + =

− =

= +

=

= =

47. a)

( ) ( )

( )

2 3 2 3 4 4 6 4 3 4 4

6 4 1 4 4

10 4 1 4

10 5 : 10

5 1 10 2

x x

x x x

− − = − −

− + = − +

− + = − + −

− + = − −

− = − −

= − =

−

(22)

b) ^{6 2}

(

⁵

) (

^{2 4} ¹⁵

)

⁰

12 30 8 30 0

4 0 :4

0

x x

− − − =

− − + =

=

= 48. a)

( ) ( )

0,8 1, 2 3 1,6 0, 2 0,8 1, 2 3,6 1,6 0, 2

1, 2 2,8 1,6 0, 2 1, 2 0, 2 1,6 2,8

1, 2

x x

x

+ − = − −

+ − = − +

− = − +

=

b)

( ) ( )

( )

8 3 5 3 2 2 6

8 15 9 4 12

8 15 4 12 9

3 21 : 3

7

n n n

n n

− − = − +

− + = − −

− = − −

= 49. a)

(

³

) (

² ¹

)

3 2 2

2 2 3 0 5

x x x

x x x

− − = +

− + = + + − = +

=

Epätosi, ei ratkaisua

(23)

b) ^{5 2}

(

¹

)

⁴

(

^{5 6}

)

10 5 4 5 6

10 4 6 5 5

0 0

x x x

− − = − + −

− + = − + −

− + + = −

=

Tosi. Ratkaisuina kaikki reaaliluvut.

50. a)

(9

2 9 10

2 5

10 10

20 90

2 5

20 5 90 2

20 5 2 90

27 90 :27

90 10 1

27 3 33

x x

x

x x

x

x x x

x x

+ = − ⋅

+ = −

+ = − + + =

=

= = =

b)

( )

2 3 1 2

1 12

4 3 3

12 2 3 12 1 12 2 4 3 3 1 12 3 2 3 4 8 12

6 9 4 8 12

6 8 12 9 4

2 1 : 2

1

x x

x x x

− − = − ⋅

− − ⋅ = ⋅ − ⋅

− − = −

− = − + +

− = −

(24)

51. a)

( )

1 3 1

5 2

2 2

10 1 3 2 1

3 2 1 10 1

10 x x

x x

x

− − = − ⋅

− − = −

− + = −

− = − − +

= − b)

( ) ( )

( )

2 5 3 8

4 6 12 12

12 2 5 12 3 8 12

4 6 12

3 2 5 2 3 8

6 15 6 16

6 6 15 16

1 : 1

1

x x x

x x x

x x

− − − = ⋅

− −

− =

− − − =

− − + =

− − = −

− = − −

= 52. Sievennetään ensin yhtälöä.

( )

3 2 1 5 4

3 2 2 2 5 4

3 2 5 4 2 2

0 2 2

x k x x k

x k x x k

x x x k k

k

− − − = −

− + + = −

+ − = − + −

= − −

Jotta ratkaisuna ovat kaikki reaaliluvut, yhtälön pitää olla identtisesti tosi.

( )

2 2 0

2 2 : 2

1 k

k k

− − =

− = −

= −

(25)

53. Sievennetään ensin yhtälön molempia puolia poistamalla sulut.

( ) ( )

2 3 4 6 2

6 2 4 6 2

6 6 4 2 2

0 3 2

x c c x c

x c c x c

x x c c c

c

− − = − − +

− + = − + +

− + = + + −

= +

Yhtälöllä ei ole yhtään ratkaisua, kun se on identtisesti epätosi eli kun 3c+2 saa jonkin muun arvon kuin nolla.

3 2 0

3 2 :3

2 3 c

c c + ≠

≠ −

Eli yhtälöllä ei ole ratkaisuja, kun 2 c ≠ −3. 54. Merkitään lausekkeet yhtä suuriksi.

3 6

2 3

6 6

6 18

2 3

6 3 18 2

6 3 2 18

7 18 :7

18 4

7 27

x x

x

x x

x

x x x

x x

+ = + ⋅

+ = + + = + + − =

=

= =

(26)

55.

58 20

4 5

20 20

20 20 58

4 5

20 5 4 1160

29 1160 :29

1160 40 29

a a a

a a

a

a a a

a a

+ + = ⋅

+ + =

=

= =

56. a)

( )

2 3 6 3

2 3 9

ax x

a x

− = − + = +

+ =

Yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella 2a+3 vain, jos 2a+ ≠3 0 eli 3

a ≠ −2. Saadaan kaksi tapausta.

1° Yhtälö voidaan jakaa puolittain, kun 3 a ≠ −2.

(

² ³

)

⁹ ^{: 2}

(

³

)

⁰

9

2 3

a x a

x a

+ = + ≠

= +

2° Kun x:n kerroin 2a+3 on nolla eli kun 3

a = −2, yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan sijoittamalla toteutuuko yhtälö:

(

² ³

)

⁹ ² ^{3 0}

0 9

a x a

x

+ = + =

⋅ =

=

Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun 3 a = −2

(27)

b)

( ) ( )

( )

3 3 1

3 3 3

3 3 2

a x a x a x ax a x ax a a

x a a

− − = −

− + = −

− = −

− =

Yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella 3 3a− vain, jos 3 3− a ≠ 0 eli a ≠1. Saadaan kaksi tapausta.

1° Yhtälö voidaan jakaa puolittain, kun a ≠1.

(

^{3 3}

)

² ^{: 3 3}

( )

2 3 3

x a a a

x a

a

− = −

= −

2° Kun x:n kerroin 3 3a− on nolla eli kun a =1, yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan sijoittamalla

toteutuuko yhtälö:

(

^{3 3}

)

² ¹

0 2 1 0 2

x a a a

x

− = =

⋅ = ⋅

=

Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun 3 a = −2 Vastaus: a) ⁹

2 3 x = a

+ , kun ³

a ≠ −2. Ei ratkaisua, kun ³ a = −2

b) ²

3 3 x a

= a

− , kun ¹

a ≠ 3. Ei ratkaisua, kun a =1

(28)

57. Merkitään ensimmäistä lukua kirjaimella n. Tällöin toinen luku on 1

n+ ja kolmas n+2.

1 2 186

3 3 186

3 183 :3 61

n n n

n n n + + + + =

+ =

=

= Kun n= 60,

1 61 1 62 n+ = + = ja

2 61 2 63 n+ = + = . Vastaus: 61, 62, 63

58. Merkitään suorakulmion korkeutta kirjaimella h. Tällöin kannan pituus on h+18.

( )

suorakulmio

Piiri 376 (cm)

2 kanta 2 korkeus 376

2 18 2 376

2 36 2 376

4 340 :4

85 (cm)

h h

=

⋅ + ⋅ =

⋅ + + = + + =

=

Kannan pituus h+18cm 85cm 18cm 103cm= + = Vastaus: 85 cm x 103 cm

(29)

59. Merkitään euron kolikoiden määrää kirjaimella x.

2 euron kolikoita on määrä 1 2 x 20 sentin kolikoita x+4

50 sentin kolikoita x+ + = +4 5 x 9 10 sentin kolikoita x+ −9 10= −x 1

Yhteensä rahaa on 50 euroa. Saadaan yhtälö:

( ) ( ) ( )

2 1 0, 20 4 0,50 9 0,10 1 50

2

0, 20 0,80 0,50 4,50 0,10 0,10 50

2,8 44,8 :2,8 16

x x x x x

x x x x x

x x

+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + + ⋅ − =

+ + + + + + − =

=

= Euroja on siis 16 kpl, jolloin

2 euron kolikoita: ¹ ¹ 16 8 2 x= ⋅2 =

20 sentin kolikoita: x+ =4 16 4 20+ = 50 sentin kolikoita: x+ =9 16 9 25+ = 10 sentin kolikoita: x− =1 16 1 15− =

Yhteensä kolikoita on 16 8 20 25 15 84+ + + + = Vastaus: 84

60. Merkitään hämähäkkien määrää kirjaimella x.

Hyönteisiä on yhteensä 19, joten hepokattien määrä on 19− x. Jalkoja on yhteensä 128, joten saadaan yhtälö

( )

8 6 19 128

8 114 6 128

2 14 :2

7

x x

x x + ⋅ − =

+ − =

=

(30)

61. Merkitään ensimmäisen vuoden opiskelijoiden määrää kirjaimella x.

Englanti 5

8x, ranska 1

5 x, ruotsi 1

6 x, saksa 1

15) 24) 20)

5 1 1

8 5 6 1

5 1 1

8 5 6 1

120 75 24 20

120 120 120 120 1

1 1 120

120

x x x x

x x

+ + + =

− − − =

= ⋅

= Vastaus: 120 opiskelijaa

62.

a) s

v t

t s vt

= ⋅

=

b) 3

3

3 :

3

p

p p

p

V A h

V A h A

h V A

= ⋅

=

c)

2 2

2

:

E mc c

m E c

=

d)

:

n pV RT

RT

nRT pV p

V nRT p

= ⋅

=

(31)

63. a)

2 : 2

: 2

2 2

a b a b

A h

h A a b h A A

a b a b

+ ⎛ + ⎞

= ⋅ ⎜⎝ ⎟⎠

= +

= ⋅ =

+ +

b)

( )

2 2 2

2

2 :

2 2

A a b h A a b h A ah bh

bh A ah h

b A ah h A a h b h

= + ⋅ ⋅

= +

= −

h

2A h a

= −

64.

( )

2

2 2 5

2 4

4 2

8 2 2 4

x x

x

− +

− = ⋅

− − = ²

(

⁵

)

2 x + x

(

¹

)

2

2 2 2

8 2 2 2 5

6 2 10 2 2

6 10 :10

x x x

x x x x

x

− + = +

+ = + −

=

(32)

65. a)

( )

2 3 2

2 6 3

2 3 6

2 2 6

x xy y xy

x xy y xy x xy xy y

x y y y

x y y

− = −

− + =

+ =

Kun 2 2+ y ≠ 0 eli kun y≠ −1, yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella 2 2+ y:

(

^{2 2}

)

⁶ ^{: 2 2}

( )

6 2 2

6

x y y y

x y

y x

+ = +

= +

=

3

2 y

( )

1

3 1 1

y y y =

+ +

Kun 2 2+ y =0 eli kun y = −1 yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan ratkaisu sijoittamalla:

( )

( ( ) ) ^{( )}

2 2 6 1

2 2 1 6 1

0 6

x y y y

x

+ = = −

+ ⋅ − = ⋅ −

= −

Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun y = −1.

b)

( )

2 3 2

2 6 3

2 6 2

x xy y xy

x xy y xy x y xy xy

x y x x

x y x

− = −

= − +

= −

(33)

Kun 6 2− x ≠0 eli kun x ≠3, yhtälö voidaan jakaa puolittain lausekkeella 6 2x− :

( ) ( )

2 6 2 : 6 2

2 6 2

2

x y x x

y x

x y

= − −

= −

= 2 x

(

³⁻^x

)

⁼ ³⁻^x^x

Kun 6 2− x =0 eli kun x =3 yhtälöä ei voida jakaa puolittain tällä lausekkeella. Tutkitaan ratkaisu sijoittamalla:

( )

2 6 2 3

2 3 6 2 3 6 0

x y x x

y

= − =

⋅ = − ⋅

=

Väite on epätosi eli yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun x =3. Vastaus: a) ³

1 x y

= y

+ , kun y ≠ −1. Ei ratkaisua, kun y = −1

b)

3 y x

= x

− , kun x ≠3. Ei ratkaisua, kun x=3.

(34)

66. Koska x = −2 on yhtälön ratkaisu, voidaan se sijoittaa yhtälöön (yhtälön molempien puolien pysyessä yhtä suurina).

( )

² ¹

( )

2 2

3 2

2 1

2 2 6

3 2

12 6

k k

− − + − = − ⋅ −

− − − = + ⋅

− − ²

(

²

)

3 k −

(

¹

)

6 12 2 12 2 2 3 12

12 2 4 3 12

14 11 :14

11 14

k

k k

= +

− − − = +

− − + = +

= −

67. OLETUS: a b x, , ∈\

VÄITE: Yhtälöllä a x b² − ² = −2 x on ratkaisu kaikilla vakioiden a ja b arvoilla.

TODISTUS:

( ) ( )

2 2

2 2 2

2 2

1 2 : 1

2 1

a x b x

a x x b

x a b a

x b a

− = − + = +

+ = + +

= + +

Koska a² + ≠1 0 kaikilla a:n arvoilla, yhtälöllä on ratkaisu kaikilla vakioiden a ja b arvoilla.

,

(35)

68. Merkitään painavamman pussin painoa kirjaimella a ja kevyemmän kirjaimella b.

Kun pussista a siirretään 100 g pussiin b, pussit painavat saman verran.

100 100 200

a b

a b

− = +

= +

Yhteensä pussit painavat 1100 g.

1100 sij. 200 200 1100

2 900 :2

450 (g)

a b a b

b b

+ = = +

+ + =

=

200 450 200 650 (g) a b= + = + =

69. Merkitään lopullista matkan hintaa/henkilö kirjaimella x.

( )

22 10 24 22 220 24

2 220 : 2

110

x x

x x + =

+ =

− = − −

= Vastaus: 110 €

70. Kun luvun loppuun merkitään kymmenjärjestelmässä luku 9, lukua kasvatetaan kymmenkertaiseksi ja lisätään tulokseen yhdeksän.

10 9 13

3 9 :3

3

x x

x x + =

=

(36)

71. Keskivauhti aamulla v1

(

km h

)

, aika aamulla t₁ (h)

Keskivauhti iltapäivällä v1+5 km h

( )

, aika iltapäivällä ₁ 10 60 (h) t − Määritetään työmatkan pituus (matka keskivauhti aika= ⋅ )

( )

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

5 10

60

10 50

60 5 60

10 50

5 60

60 60

10 300 50 :10

30 5

v t v t

v t v t v t

v t

⎛ ⎞

⋅ = + ⋅⎜ − ⎟

⎝ ⎠

= − + −

= − ⋅

= −

2.2 Verrannollisuus

72. a) b)

(3

4

3 9

9 3 4

9 12 :9

12 4 1

9 3 13

x x x x

=

= ⋅

=

= = =

18,75 3

5 4

3 5 18,75 4

15 75 :15

5 x x

x x

=

⋅ = ⋅

=

c)

( )

1

4 8

8 1 4 : 8

4 1

8 2

x x x

− =

− = ⋅ −

= − = −

(37)

73. a) b)

( )

1

2 5

5 1 2

5 5 2

3 5 :3

5 2

3 13

x x

− =

=

= =

( ) ( )

( )

2 1 4 2

3 4

4 2 1 3 4 2 8 4 12 6

4 10 : 4

10 1

4 22

x x

− +

=

− = +

− = −

= − = −

74. a)

( )

3 2 4

5

5 3 2 4

15 2 4

15 30 4

11 30 :11

30 8 11 211 x

x

x x

− =

⋅ − =

− =

=

= = b)

( ) ( )

2 3 2

3 3

3 2 3 2 3

6 9 2 6

4 3 :4

3 4 x

x

x x

− =

−

− = −

=

(38)

75. a) Suoraan verrannolliset eli osamäärä ^x

y vakio.

1 2

2 2

2

2 5 6

2 5 6 30 15

2 x x y y y y y



 

 

b) Kääntäen verrannolliset eli tulo xy vakio.

1 1 2 2

1 1 2

2

2 6 12 2

5 5 25

x y x y y x y

x y



   

76. a) G mg b)

2

736 N 75 kg

736 kg m 75kg : 75kg s

736kg ms 736 kg 75 kg 75

g g

g

 

  



  m

kg

 ₂

2 9,81 m s s 



(39)

77. Määritetään verrannollisuuskerroin k.

:

9 9 3

6 2

36

d k t t

k d t

=

= = = =

100 vuorokauden ikäisenä varren paksuus on

3 3

100 10 15 (mm)

2 2

d k t= = ⋅ = ⋅ = 78.

Nopeuden 2. potenssi (km h )² ² Jarrutusmatka (m)

1002 60

602 x

2 2

2 2 2

3 2

100 60 60

100 60 60 :100

60 21,6 22 (m) 100

x x x

=

⋅ = ⋅

= = ≈

Vastaus: 22 m

(40)

79. Merkitään a₁ yhden pumpun pumppaamaa vesimäärää/aikayksikkö ja a2 sitä vesimäärää/aikayksikkö, joka tulee suuremmasta reiästä.

Suoraan verrannollisuus:

( )

4 2 4

1

4

2 4 1 1

1,9 cm 1, 2 cm

1,9cm 1, 2cm 6,3 a

a

a a a

=

= ≈

Vastaus: 7 pumppua 80.

Nestepinnan

korkeus (cm) Mehun määrä (cl)

4 14

6,5 x

4 14 6,5

4 14 6,5 :4 14 6,5 91

22,75 23 (cl)

4 4

x x x

=

= ⋅

= ⋅ = = ≈

81. a) Kootaan tiedot taulukkoon.

Merkitään kysyttyä syvyyttä kirjaimella x.

Paine (MPa) Syvyys (km)

45 4,5 x 11

Koska paine ja syvyys ovat suoraan verrannolliset, niiden suhde on vakio. Muodostetaan verranto ja ratkaistaan se kertomalla ristiin.

(41)

45

4,5 11

4,5 11 45 :4,5 110

x x x

=

= ⋅

=

11 kilometrin syvyydessä paine on siis 110 MPa.

b) Olkoon kysytty syvyys y (km). Tällöin 45 1,0

4,5

45 4,5 :45

0,1 y y y

=

Kysytty paine kohdistuu kappaleeseen 0,1 km eli 100 m syvyydessä.

Vastaus: a) 110 MPa b) 0,1km 100 m= 82. a)

Pistemäärä Arvosana 42 8,0

x 10

42 8,0 10

8,0 42 10 :8,0 420 52,5

8,0 x

x x

=

= ⋅

= =

(42)

b)

Pistemäärä Arvosana 42 8,0

34 x

42 8,0 34

42 34 8,0 :42 272 6, 476... 6,5

42 x x x

=

= ⋅

= = ≈

Vastaus: a) 52,5 p b) 6,5 83.

Ala (cm )² Paine (bar)

12 1,8

8,0 p

Ala ja paine kääntäen verrannollisia:

12

8,0 1,8

8,0 12 1,8 :8,0 21,6 2,7 (bar)

8,0 p p p

=

= ⋅

= =

Vastaus: 2,7 bar

(43)

84. 0,5l 0,5dm= ³

Kaasun tiheys (kg dm )³ Astian tilavuus (dm )³

2,8 V

2,2 ^V ⁺^0,5

Kaasun tiheys ja astian tilavuus kääntäen verrannollisia:

( )

3

2,8 0,5 2, 2

2,8 2, 2 0,5 2,8 2, 2 1,1 2,8 2, 2 1,1

0,6 1,1 :0,6

1,833... 1,8 (dm ) V

V

V V

= +

− =

=

= ≈

1,8dm3 =1,8 l

Vastaus: 1,8dm (l)³ 85. a)

0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20

t (min) s (km)

(44)

b) Suureet ovat suoraan verrannollisia. Muodostetaan verranto 5

7,5 30

7,5 5 30 :7,5 150 20 (min)

7,5 t t t

=

= ⋅

= =

c) Koska auto kulkee vakionopeudella, voidaan nopeus laskea yhdestä mittapisteestä.

20 min 20h

= 60

matka nopeus

= aika 30 km

90 km h 20h

60

v= =

86.

0 50 100 150 200 250

0 10 20 30 40

t (s) P (Js^-1)

Kuvaaja on hyperbeli, joten kyseessä on kääntäen verrannollisuus.

Kun aika on 20 s, teho on noin 170 Js^-1. Vastaus: P₂₀ ≈170 Js^-1

(45)

87.

Pituuden neliö

( )

^m² Vyötärönympärys (cm)

1, 42 71

1, 22 x

Kääntäen verrannollisuus:

2 2

2 2 2 2

2 2

2

1, 4

1, 2 71

1, 2 1, 4 71 :1, 2 1, 4 71

1, 2

96,63... 97 (cm) x

x x x

=

⋅ = ⋅

= ⋅

= ≈

Vastaus: 97 cm

88. Merkitään apurien määrää kirjaimella x.

Jakajien määrä Aika (minuuttia)

2 180

2+ x 72

Jakajien määrä ja kulunut aika kääntäen verrannollisia:

( )

2 72

2 180

72 2 2 180 144 72 360

72 216 :72

3 x x

x x x + =

⋅ + = ⋅

+ =

=

= Vastaus: 3

(46)

89.

Etäisyyden neliö (m )² Valaistusvoimakkuus (luksia)

1,8 2 52

2, 4 2 x

2 2

1,8

2, 4 52 2, 4 52 1,8

5,76 168, 48 :5,76 29, 25

x x x x

=

⋅ = ⋅

=

Vastaus: 29 luksia

90. a) ~E It, verrannollisuuskerroin U E UIt=

b)

:

7920 220 (V) 1, 2 30

E UIt It U E

It

=

= = =

⋅ 91. a)

0

0 0

0

a v v t

t at v v at v v

v v at

= − ⋅

= − + =

= −

(47)

b) Tapa 1:

: :

1 F E l

A l l

F l E l l

A

F l l E A

F l Fl

E A l A l

= Δ ⋅

⋅ = Δ Δ

⋅ Δ =

= ⋅ ⋅ =

Δ Δ

Tapa 2:

Kerrotaan ristiin

: F E l

A l

E l A Fl lA

E Fl

lA

= Δ

Δ ⋅ = Δ

= Δ c)

: :

1

Fd A

Av A Fd

v A Fd

v

Fd Fd

A v v

η

η η

η

η η

= ⋅

=

= ⋅ =

(48)

92. I ~ ¹₂

r eli intensiteetti I kääntäen verrannollinen etäisyyden neliön r² kanssa.

Etäisyyden neliö (m )² Intensiteetti

1502 I

302 kI

Kääntäen verrannollisuus:

2 2

150 30

= k I I

2 2

150 25 k = 30 =

Vastaus: 25-kertaiseksi

93. Merkitään uuden veneen vauhtia kirjaimella x, jolloin vanhan veneen vauhti on x−10 solmua.

Vauhti (solmua) Aika (minuuttia) 10

x− 20

x 20 7 13− =

Vauhti ja aika kääntäen verrannolliset:

( )

10 13 20 20 10 13

20 200 13

7 200 :7

200 28,571... 29 7

x x

− =

⋅ − =

− =

=

= = ≈

Vastaus: 29 solmua

(49)

94. Valaistusvoimakkuus E k ^P₂

= ⋅d

Valaistusvoimakkuus 1,2 m päässä ₁ ₂ 1, 2 E = ⋅k P

Valaistusvoimakkuus etäisyydellä d, kun teho on 3P

2

k 3P

⋅ d

Valaistukset yhtä voimakkaat:

2 2

2

3 :

1, 2

3 :

1, 2

1 3

1, 2

3 1, 2

3 1, 2 4,32 2,1 (m)

P P

k k k

d

P P

d P

d d

d

⋅ = ⋅

=

= ⋅

= ⋅ = ≈

95. ^{g x}

( )

kääntäen verrannollinen muuttujan x neliöjuureen

( ) ( )

^{5 )}

3 5

5 3

3 3 5 5 : 5

3 3 3 7 7 15

5 5 5 5

g g

=

⋅ = ⋅

⋅ ⋅

= = =

(50)

96. Merkitään lämmityskustannuksia a, kun ulkolämpötila on 2,0 C− ° ja sisälämpötila 22,0 C° . Tällöin sisä- ja ulkolämpötilojen erotus on

( )

22,0 C° − −2,0 C° = 22,0 C 2,0 C 24 C° + ° = ° .

Kun sisälämpötila pudotetaan 21,0 C:seen° , lämpötilojen erotus on

( )

21,0 C° − −2,0 C° = 21,0 C 2,0 C 23 C° + ° = ° . Merkitään lämmityskustannuksia tällöin kirjaimella b.

Lämpötilojen erotus C° Lämmityskustannukset

24 a

23 b

Lämmityskustannukset suoraan verrannollisia:

23 24

0,958... 95,8... % b

a b a

=

= =

Lämpötilan pudottamisen jälkeen lämmityskustannukset ovat

95,8... % alkuperäisestä. Lämmityskustannukset pienenevät tällöin 100% 95,8... % 4,16... % 4, 2%− = ≈

Vastaus: 4,2 % 97. r ~ ³ A

3 3

: 3, 205

12 1, 4

r k A A

k r

A

= ⋅

= = ≈

(51)

3.1 Prosenttilaskennan peruskäsitteitä

98. a) 0,03 4000 120⋅ = b) 0,008 20 0,16⋅ = c) 15

0, 2727... 27 %

55 = ≈

99. a) 24

0,857... 86%

28 = ≈

b) Luku 28 on 28 24 4− = yksikköä suurempi kuin 24.

4 0,166... 17 %

24 = ≈

c) Luku 24 on 28 24 4− = yksikköä pienempi kuin 28.

4 0,142... 14%

28 = ≈

100. a) 1 ¹⁸ 150 € 1,18 150 € 177 € 100

⎛ + ⎞⋅ = ⋅ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

b) 1 ⁷⁰ 150 € 0,30 150 € 45 € 100

⎛ − ⎞⋅ = ⋅ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

101. a) ^{12 €} ^{12 €} 0,0458... 4,6 % 250 € 12 € = 262 € = ≈

+

b) 1 ^3,5 320 € 1,035 320 € 331, 20 € 100

⎛ + ⎞⋅ = ⋅ =

⎜ ⎟

⎝ ⎠

c) ^{331, 20 €} =1, 264... eli 26 % suuremmat

(52)

102. a) Osinko oli 4,2 % osakkeen kurssista eli 0,042 14,80 € 0,6216 € 0,62 €⋅ = ≈

b) Osakkeen arvo alussa 14,80 €

Kurssi putosi 0,70 € eli ^{0,70 €} 0,047... 4,7 % 14,80 € = ≈

c) Uusi kurssi 14,80 € 0,70 € 14,10 €− = oli vanhasta kurssista 14,10 €

0,9527... 95,3%

14,80 € = ≈

d) Vanha kurssi oli 0,70 € suurempi eli 0,70 €

0,0496... 5,0 %

14,10 € = ≈

103. a) 0,8 32 min 25,6 min⋅ = b) ^{32 min} 1, 25 125%

25,6 min = =

Vastaus: a) 25,6 min b) 25 % suurempi

104. Merkitään kinkkujen hintaa alussa kirjaimella h. Hinnan korotuksen jälkeen hinta on 100% 15% 115%+ = alkuperäisestä eli 1,15h. Alennuksen jälkeen hinta on 100% 40% 60%− = sitä edeltävästä hinnasta eli 1,15 0,60 0,69h⋅ = h. Viimeisin hinta on siis 69 % alkuperäisestä eli 100% 69 % 31%− = halvempi.

105. Merkitään koulutarvikkeiden alkuperäistä hintaa kirjaimella a.

Elokuussa hinnat ovat tällöin 0,90a. Lokakuussa hinnat ovat 0,75 0,90⋅ a = 0,675a

eli

(

1 0,675 100 % 32,5%−

)

⋅ = halvemmalla.

(53)

106. Merkitään meriveden massaa kirjaimella a. Tällöin suolaa on 0,04a.

Veden haihdutuksen jälkeen meriveden massa on 28 % pienempi eli 72% alkuperäisestä massasta 0,72a

Suolan määrä säilyy, joten sen osuus haihduttamisen jälkeen on 0,04 0,0555... 5,6%

0,72 a

a = ≈

107. Merkitään rypäleen massaa kirjaimella a, jolloin sokeria on 0,085a. Kun massasta poistuu nestettä 80 %, jäljelle jää alkuperäisestä

massasta 20 % eli 0, 20a. Sokerin määrä säilyy, jolloin sen osuus on 0,085

0, 425 42,5%

0, 20 a

a = =

108. Viikkomyynti 12 000 €

Raaka-ainekulut 12 000 € 0, 28 3360 €⋅ = Jäljelle jäävä osa raaka-ainekulujen jälkeen

12 000 € 3360 € 8640 €− = , josta kiinteisiin kuluihin menee 11 % eli 0,11 8640 € 950, 40 €⋅ =

Loppuosasta 8640 € 950, 40 € 7689,60 €− = käytetään puolet palkkoihin eli 1

7 689,60 € 3844,8 €

⋅ =2

Kulut yhteensä 3360 € 950, 40 € 3844,80 € 8155, 20 €+ + =

Leipomolle jää kulujen jälkeen 12 000 € 8155, 20 € 3844,80 €− =

(54)

109. Merkitään opiskelijoiden määrää kirjaimella a.

Pitkää matematiikkaa opiskelee 63 % eli 0,63a ja lyhyttä 100% 63% 37 %− = eli 0,37a.

Pitkän matematiikan opiskelijoista 75 % opiskelee pitkää fysiikkaa eli 0,75 0,63⋅ a =0, 4725a. Lyhyen matematiikan opiskelijoista fysiikan jatkokursseja on valinnut 12 % eli 0,12 0,37⋅ a =0, 0444a. Yhteensä fysiikan jatkokursseja on valinnut 0, 4725a+0,0444a = 0,5169a. Fysiikkaa valinneiden osuus kaikista ensimmäisen vuoden

opiskelijoista on 0,5169

0,5169 52%

a

a = ≈

110. Merkitään tuloja kirjaimella b.

Vuokramenot alussa olivat 0, 25b, jolloin muihin menoihin jäi rahaa 0, 25 0,75

b− b = b.

Vuokran korotuksen jälkeen vuokra oli 1,15 0, 25⋅ b =0, 2875b, jolloin rahaa jäi b−0, 2875b =0,7125b.

Rahaa jäi siis 0,75b−0,7125b= 0,0375b vähemmän käyttöön korotuksen jälkeen.

Verrattuna alkuperäiseen käyttörahaa jäi 0,0375

0,05 5%

0,75 b

b = = vähemmän.

Vastaus: 5 % vähemmän

(55)

111. a) ^1,35^a ^⋅^0,83^b

a b⋅ =1,1205 1,12≈ eli kasvaa 12 %

b) 1,35 0,83 1,35

a b a a b

= ⋅ b

0,83b a⋅ ≈1,63 eli kasvaa 63 % Huom! Jos suhde lasketaan toisin päin niin:

0,83 1,35 0,83 b a b b a

= ⋅ a

1,35a b⋅ ≈0,61 eli pienenee 39 %

112. Merkitään lipun hintaa kirjaimella h ja matkustajamäärää kirjaimella a. Tällöin lipunmyynnin tulot ovat a h⋅ .

Hinnan noston jälkeen hinta on 1,18h ja matkustajamäärä 0,80a. Tällöin tulot ovat 0,80 1,18a⋅ h =0,944⋅ ⋅a h.

Muutos on ah−0,944ah= 0,056ah eli 5,6 % laskua.

Vastaus: Laskevat 5,6 %

113. Merkitään tuotteen verotonta hintaa kirjaimella a. 22 %

arvonlisäverolla kuluttajahinta on 1, 22a. Alennetulla verolla kuluttajahinta olisi 1,17a.

Kuluttajahinnan muutos 1, 22a−1,17a =0,05a, joka on alkuperäisestä hinnasta 0,05

0,0409... 0,041 1, 22

a

a = ≈ eli 4,1 %.

Vastaus: 4,1 %

(56)

114. Merkitään vuoden 2003 kokonaisvientiä kirjaimella a. Tällöin viennit toimialoittain vuosina 2003 ja 2004:

2003

Puu- ja paperiteollisuus 0, 254a Kemianteollisuus 0,087a

Kone- ja metalliteollisuus 0, 251a Sähkötekninen teollisuus 0, 243a Muut 0,165a

2004

Puu- ja paperiteollisuus 1,136 0, 254⋅ a =0, 288544a Kemianteollisuus 1,044 0,087⋅ a = 0,090828a

Kone- ja metalliteollisuus 0,956 0, 251⋅ a =0, 239956a Sähkötekninen teollisuus 1,019 0, 243⋅ a =0, 247617a Muut 1,146 0,165⋅ a =0,18909a

Vuoden 2004 vienti yhteensä:

0, 288544 0,090828 0, 2399956 0, 247617 0,18909 1,0560746 1,056

a a a a a

a a

+ + + +

= ≈

Eli kasvua 5,6 %

115. a) Vuodessa korkoa maksetaan 5,12 % eli 0,0512 6000 € 307, 20 €⋅ = Pääomituksen jälkeen laina on 6 000 € 307, 20 € 6307, 20 €+ = . b) 5,12 % vuosikorolla laina kasvaa joka vuosi 1,0512-kertaiseksi.

Ensimmäisen vuoden jälkeen laina on 1,0512 6000 €⋅ .

Toisen vuoden jälkeen 1, 0512 1, 0512 6000 € 1, 0512 6000 €⋅ ⋅ = ² ⋅ Kolmannen jälkeen 1,0512 6000 € 6969,59 €³⋅ ≈

c) 1,0512 6000 € 8095,87 €⁶ ⋅ ≈