2.4.1. Geometrinen jono Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla Määritelmä Jono (a

2.4.1. Geometrinen jono

Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla

Määritelmä

Jono (a_n) on geometrinen, jos kaikilla n:n arvoilla pätee, että a_n+1 / a_n = q = vakio, jonka arvo ei riipu n:stä

E.1.Voiko jono

a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81,…

olla geometrinen a) Kyllä

q = 2 b) Ei

Lukujonon osoittaminen geometriseksi

Lasketaan a_n+1 / a_n mielivaltaisella kohtaa n.

Jos tämä arvo ei riipu kohdasta n, on jono geometrinen.

E.2. Osoita, että jono a_n = 4·5ⁿ on geometrinen



 n n

a a

n:stä riippumaton vakio, joten lukujono on geometrinen

n n

5 4

5 4





 5

Geometrisen jonon yleinen termi a_n a_n = aq^n-1

missä

a = jonon ensimmäinen termi q = suhdeluku

Geometrisen jonon ratkaiseminen

Lasketaan kaavan a_n = aq^n-1 yhtälöstä kysytyn suureen (a_n, a, n tai q) arvo

TAI ratkaistaan a ja q eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla,

sillä geometrinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja q.

E.3. Mikä on geometrisen jonon 3, 6, 12, 24, … kymmenes termi?

a = 3

q = 6 / 3 = 2

a₁₀ = 3  2^10-1 = 1536

E.4. Luku 8 on geometrisen jonon …, 4, 8, … kahdeksas termi.

Mikä on ensimmäinen termi?

q = 8/4 = 2 a₈ = 8

8 = a  2⁷ a = 1/16

a = aq^n-1

E.5. Monesko termi on luku 1 geometrisessa jonossa 256, 128, 64, …?

a = 256

q = 128/256 = ½ 1 = 256  (½)^n-1 (½)^n-1 = 1/256

lg(½)^n-1 = lg(1/256)

n - 1 = lg(1/256)/lg(½) n – 1 = 8

n = 9 a_n = aq^n-1

TAI

(½)^{n – 1} = (½)⁸ n – 1= 8 n = 9

E.6. Geometrisessa jonossa a₁ = 8 ja a₁₃ = 1/8.

Mikä on jonon suhdeluku?

a = aq^n-1 1/8 = 8  q ^{13- 1}

q ¹² = 1/64 q = ^{12 (}₆₄^{1 )}

12 12

64

 1



q ₁₂

64

 1

 q

2 1 2

1 2

1

12 6   ½  



 q

E.7. Geometrisen jonon suhdeluku on ½ ja a₇ = 3.

Mikä on jonon ensimmäinen termi?

a_n = aq^n-1

1 7 7

 aq

a

1

(½)

3  a

(½)

3  a 64 3

1 a 

a = 192

E.8. Geometrisen jonon a₃ = 6 ja a₇ = 24.

Määritä a₁ ja q.

a = aq^n-1













 1 7 7

1 3 3

aq a

aq a











6 2

24 6

aq aq











6 2

24 6

aq

a q ₆

2

24 6 q

 q

24 6q⁴ 

4  4

q q   2

) 3 2 (

6 6

2  2 

 q

a 3

) 2 (

6 6

2 2 

 

 q a

E.9. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1,… on geometrinen.

x x x

x 2

2 1

2  





2x² – x = x² – 4x +4 x² + 3x – 4 = 0

Ratkaisukaavalla x = 1 tai x = -4

a_n = aq^n-1

2.4.2. Geometrinen summa

= on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon

S_n = a₁ + a₁q+ a₁q² + … + a₁q^n-1 =



 n  k

qk

a

1

1 1

missä (a_k) on päättyvä geometrinen jono

ks. E.1. s. 106



  10

1

07 1

, 1 100

k

k 1,07

07 , 1 100

07 , 1 100

1

1 



  _



k k

k k

a a EI KIRJOITETA

Onko summa geometrinen a) 8 + 16 + 32 + 64

on b)

k:sta riippumaton vakio on

c) 4 + 6 + 9 + 13 ei

q q aq a

n n k

k



 





1

) 1

(

1

1

na a

a a a a

n k















...

1

Geometrisen summan kaava

S_n =

S_n =

missä

a = ensimmäinen yhteenlaskettava q = suhdeluku

n = yhteenlaskettavien lkm

kun q ≠ 1

kun q = 1

E.10. Laske S₁₀ summasta 2 + 4 + 8 + … a = 2

q = 4 : 2 = 2

q q S a



 

1

) 1

(

10

2 2046 1

) 2 1

(

2





 

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

E.11. Geometrisessa summassa S₁₀ = 1000 ja q = 2.

Mikä on ensimmäinen termi?

2 1

) 2 1

1000 (

10



 a 

a(1 – 2¹⁰) = -1000 a = 1000/1023

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

2 1

) 2 1 ( 5 1

) 1

(



 



  ^{n n}

n q

q

S a

5115

2 1

) 2 1

(

5 





E.12. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava, jotta summa ylittäisi 5115?

a = 5 q = 2

5(1 – 2ⁿ) = -5115 1 – 2ⁿ = -1023 -2ⁿ = -1024 2ⁿ = 1024 2ⁿ = 2¹⁰

n = 10

V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 108 - 109

1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 40 senttiä jne.

a) Kuinka paljon 10:ssä päivässä b) Kuinka paljon syyskuun lopussa?

a = 10 q = 2

a) n = 10 b) n = 30

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

10230 2

1

) 2 1

(

10

10





  S

V: 102,30 €

0 1073741823 2

1

) 2 1

(

10

30





  S

V: 107 374 182,30 €

E.3. Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille Vuotuinen korko 3,0 %.

Korko tilille kuukausittain a) Kolmen vuoden kuluttua?

b) Milloin 41 000 €?

Korko kuukautta kohden 3/12 = 0,25 %

1. talletus 500  1,0025³⁶ (36 kuukautta tilillä) 2. talletus 500  1,0025³⁵ (35 kuukautta tilillä)

…

viimeinen 500  1,0025 (kuukauden tilillä)

3. vuoden kuluttua rahaa tilillä:

500  1,0025³⁶ + 500  1,0025³⁵ +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,0025² +…+1,0025³⁶ )

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

31 , 18857 0025

, 1 1

) 0025 ,

1 1 ( 0025 ,

500 1

36 



 

 ⁿ

q q

a ⁿ



 1

) 1

b) (

Säästämisaika n kuukautta

1. talletus 500  1,0025ⁿ 2. talletus 500  1,0025^n-1

…

Viimeinen 500 1,0025

500  1,0025ⁿ + 500  1,0025^n-1 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,0025² +…+1,0025ⁿ )

) 0025 ,

1 1 ( 200500 0025

, 1 1

) 0025 ,

1 1 ( 0025 ,

500 1 ⁿ

n   



 

-200 500(1 - 1,0025ⁿ) = 41000 1 - 1,0025ⁿ = -82/401

-1,0025ⁿ = -483/401 1,0025ⁿ = 483 / 401

n = lg (483/401)/lg 1,0025  74,5