2.3.1. Aritmeettinen jono 2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono 2.3.1. Aritmeettinen jono

-jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,…

Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio:

Siis a_n+1 – a_n = d (vakio)

Jonon yleinen termi: a_n = a + (n - 1)d missä

a = jonon ensimmäinen termi d = erotusluku

Aritmeettisen jonon ratkaiseminen

Lasketaan kaavan a_n = a + (n - 1)d yhtälöstä kysytyn suureen (a_n, a, n tai d) arvo

TAI ratkaistaan a ja d eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä aritmeettinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja d.

E.1. Mikä on aritmeettisen jonon 2, 5, 8, … sadas termi

a = 2

d = 5 - 2 =3

a₁₀₀ = 2 + (100 - 1)3 = 299

E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen

(x – 2) – x = (2x – 1) – (x – 2) -2 = x + 1

x = -3

E.3. Luku 10 on aritmeettisen jonon …, 8, 10, … kahdeksas termi.

Mikä on ensimmäinen termi?

a₈ = 10

a + (8-1)  2 = 10 a = -4

a_n = a + (n - 1)d E.4. Monesko termi on aritmeettisessa jonossa 1, 4, 7, … luku 1000?

a = 1

d = 4 – 1 = 3

1 + (n – 1)3 = 1000 1 + 3n – 3 = 1000 3n = 1002 n = 334

E.5. Aritmeettisen jonon kolmas termi on 12 ja yhdeksäs 30.

Määritä jonon 10. termi.

 











30 8

12 2

d a

d a

 















30 8

12 2

d a

d a

6d = 18 d = 3 a = 6

a₁₀ = 6 + (10-1)  3 = 33

a_n = a + (n - 1)d a₃ = a + (3 – 1)  d

a₉ = a + (9 – 1)  d

2.3.3. Aritmeettinen summa 2.3.3. Aritmeettinen summa

= summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n =



 n k

ak 1

missä (a_k) on päättyvä aritmeettinen jono

ks. esimerkit 1 & 2 s. 94 - 95



k

k

1

3

4 ^{ak+1 – ak}

= (4(k+1) – 3 ) – (4k – 3)

= 4k + 4 – 3 – 4k + 3 = 4 on, k:stä riippumaton

EI KIRJOITETA

Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9)

2 + 4 + 7 + 11 + 16

Aritmeettisen summan kaava S_n =

2 ) (a₁ a_n

n 



missä

a₁ = ensimmäinen termi a_n = viimeinen termi

n = termien lukumäärä

E.6. Laske S₁₀, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d = 3 – 1 = 2

a₁₀ = 1 + 9  2 = 19

2 100 ) 19 1

10 (

10  



 S

2 ) (a₁ a_n n 

E.7. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7:llä jaollisten kokonaislukujen summa.

a₁ = 7 d = 7 a_n = 98 98 = 7 + (n – 1)  7

7n = 98 n = 14

2 735 ) 98 7

14 (

14  



 S

2 ) (a₁ a_n n 

2 1000 ) 1

(  n  n

2

8000 1

1 

  n

E.8. Mistä n:n arvosta alkaen n:n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000?

a₁ = 1 d = 1 a_n = 1 + (n-1) 1 = n

n + n² > 2000 n² + n – 2000 > 0 n² + n – 2000 = 0 RTK-kaavalla

n  44,2 (n  -45,2)

V: n:n arvosta 45 alkaen









 





2

)) 8 (

( 99 9

3 9

1 1

1

d a

a d a

2

)) 8 3

9 ( ) 3 9 9 ((

99  d   d  d





E.9. Määritä aritmeettisen jonon a₁ ja d, kun a₄ = 9 ja S₉ = 99.

a₁ = 9 – 3d

18d + 162 = 198 18d = 36

d = 2

a₁ sijoittamalla a₁ = 9 – 6 = 3 a₁ = 3, d = 2

Kirjan esimerkki 2 ja 4 sivut 97, 98

E.2. s.97

1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 30 senttiä jne.

Kuinka paljon syyskuun lopussa?

Talletukset: aritmeettinen jono, a₁, a₂, a₃, …, a₃₀ a₁ = 10

d = 10

a₃₀ = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt)

2 4650 ) 300 10

30 (

30  



 S

V: 46,50 €

E.4. s.98

60 000 € lainaa / 15 vuotta

Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15  2 = 30

Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€)

Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7,5 / 2 = 3,75 %

Korot

1. 0,0375  60 000 2. 0,0375  58 000 3. 0,0375  56 000

…

30. 0,0375  2 000 Korot yhteensä

0,0375  60 000 + 0,0375  58 000 + … + 0,0375  2 000

= 0,0375(60 000 + 58 000 + … + 2000) 34875

2

) 2000 60000

30 ( 0375 ,

0  







Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa

Johdanto

S₇ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19

S₇ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S₇ = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1 2S₇ = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 2S₇ = 7  20

7 2 2

7 20

7

a

S a 









Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n S_n = a_n + a_n-1 + … + a₂ + a₁ 2S_n = (a₁ +a_n) + (a₂ + a_n-1) +….+ (a_n-1+a₂) + (a_n +a₁)

a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n

) (

2 S

 n a

 a

2

) (

n

a a

S n 



2.4.1. Geometrinen jono

Jonon seuraava termi saadaan kertomalla edellinen termi samalla luvulla

Määritelmä

Jono (a_n) on geometrinen, jos kaikilla n:n arvoilla pätee, että a_n+1 / a_n = q = vakio, jonka arvo ei riipu n:stä

E.1.Voiko jono

a) 3, 6, 12, 24, … b) -1, -8, -27, -81,…

olla geometrinen a) Kyllä

q = 2 b) Ei

Lukujonon osoittaminen geometriseksi

Lasketaan a_n+1 / a_n mielivaltaisella kohtaa n.

Jos tämä arvo ei riipu kohdasta n, on jono geometrinen.

E.2. Osoita, että jono a_n = 4·5ⁿ on geometrinen



 n n

a a

n:stä riippumaton vakio, joten lukujono on geometrinen

n n

5 4

5 4





 5

Geometrisen jonon yleinen termi a_n a_n = aq^n-1

missä

a = jonon ensimmäinen termi q = suhdeluku

Geometrisen jonon ratkaiseminen

Lasketaan kaavan a_n = aq^n-1 yhtälöstä kysytyn suureen (a_n, a, n tai q) arvo

TAI ratkaistaan a ja q eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla,

sillä geometrinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja q.

E.3. Mikä on geometrisen jonon 3, 6, 12, 24, … kymmenes termi?

a = 3

q = 6 / 3 = 2

a₁₀ = 3  2^10-1 = 1536

E.4. Luku 8 on geometrisen jonon …, 4, 8, … kahdeksas termi.

Mikä on ensimmäinen termi?

q = 8/4 = 2 a₈ = 8

8 = a  2⁷ a = 1/16

a_n = aq^n-1

E.5. Monesko termi on luku 1 geometrisessa jonossa 256, 128, 64, …?

a = 256

q = 128/256 = ½ 1 = 256  (½)^n-1 (½)^n-1 = 1/256

lg(½)^n-1 = lg(1/256)

n - 1 = lg(1/256)/lg(½) n – 1 = 8

n = 9 a_n = aq^n-1

TAI

(½)^{n – 1} = (½)⁸ n – 1= 8 n = 9

E.6. Geometrisessa jonossa a₁ = 8 ja a₁₃ = 1/8.

Mikä on jonon suhdeluku?

a_n = aq^n-1 1/8 = 8  q ^{13- 1}

q ¹² = 1/64 q = ^{12 (}₆₄^{1 )}

12 12

64

 1



q ₁₂

64

 1

 q

2 1 2

1 2

1

12 6   ½  



 q

E.7. Geometrisen jonon suhdeluku on ½ ja a₇ = 3.

Mikä on jonon ensimmäinen termi?

a_n = aq^n-1

1 7 7

 aq

a

1

(½)

3  a

(½)

3  a 64 3

1 a 

a = 192

E.8. Geometrisen jonon a₃ = 6 ja a₇ = 24.

Määritä a₁ ja q.

a_n = aq^n-1













 1 7 7

1 3 3

aq a

aq a











6 2

24 6

aq aq











6 2

24 6

aq

a q ₆

2

24 6 q

 q

24 6q⁴ 

4  4

q q   2

) 3 2 (

6 6

2  2 

 q

a 3

) 2 (

6 6

2 2 

 

 q a

E.9. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1,… on geometrinen.

x x x

x 2

2 1

2  





2x² – x = x² – 4x +4 x² + 3x – 4 = 0

Ratkaisukaavalla x = 1 tai x = -4

a_n = aq^n-1

2.4.2. Geometrinen summa

= on summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat geometrisen jonon

S_n = a₁ + a₁q+ a₁q² + … + a₁q^n-1 =



 n  k

qk

a

1

1 1

missä (a_k) on päättyvä geometrinen jono

ks. E.1. s. 106



  10

1

07 1

, 1 100

k

k 1,07

07 , 1 100

07 , 1 100

1

1 



  _



k k

k k

a a EI KIRJOITETA

Onko summa geometrinen a) 8 + 16 + 32 + 64

on b)

k:sta riippumaton vakio on

c) 4 + 6 + 9 + 13 ei

q q aq a

n n k

k



 





1

) 1

(

1

1

na a

a a a a

n k















...

1

Geometrisen summan kaava

S_n =

S_n =

missä

a = ensimmäinen yhteenlaskettava q = suhdeluku

n = yhteenlaskettavien lkm

kun q ≠ 1

kun q = 1

E.10. Laske S₁₀ summasta 2 + 4 + 8 + … a = 2

q = 4 : 2 = 2

q q S a



 

1

) 1

(

10

2 2046 1

) 2 1

(

2





 

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

E.11. Geometrisessa summassa S₁₀ = 1000 ja q = 2.

Mikä on ensimmäinen termi?

2 1

) 2 1

1000 (

10



 a 

a(1 – 2¹⁰) = -1000 a = 1000/1023

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

2 1

) 2 1 ( 5 1

) 1

(



 



  ^{n n}

n q

q

S a

5115

2 1

) 2 1

(

5 





E.12. Montako termiä summan 5 + 10 + 20 + … alusta on otettava, jotta summa ylittäisi 5115?

a = 5 q = 2

5(1 – 2ⁿ) = -5115 1 – 2ⁿ = -1023 -2ⁿ = -1024 2ⁿ = 1024 2ⁿ = 2¹⁰

n = 10

V: 11 termiä, jotta summa ylittäisi 5115

Ks. kirjan esimerkit 2 – 3, s. 108 - 109

1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 40 senttiä jne.

a) Kuinka paljon 10:ssä päivässä b) Kuinka paljon syyskuun lopussa?

a = 10 q = 2

a) n = 10 b) n = 30

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

10230 2

1

) 2 1

(

10

10





  S

V: 102,30 €

0 1073741823 2

1

) 2 1

(

10

30





  S

V: 107 374 182,30 €

E.3. Joka kuukauden alussa 500 euroa tilille Vuotuinen korko 3,0 %.

Korko tilille kuukausittain a) Kolmen vuoden kuluttua?

b) Milloin 41 000 €?

Korko kuukautta kohden 3/12 = 0,25 %

1. talletus 500  1,0025³⁶ (36 kuukautta tilillä) 2. talletus 500  1,0025³⁵ (35 kuukautta tilillä)

…

viimeinen 500  1,0025 (kuukauden tilillä)

3. vuoden kuluttua rahaa tilillä:

500  1,0025³⁶ + 500  1,0025³⁵ +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,0025² +…+1,0025³⁶ )

q q

a ⁿ



 1

) 1

(

31 , 18857 0025

, 1 1

) 0025 ,

1 1 ( 0025 ,

500 1

36 



 



q q

a ⁿ



 1

) 1

b) (

Säästämisaika n kuukautta

1. talletus 500  1,0025ⁿ 2. talletus 500  1,0025^n-1

…

Viimeinen 500 1,0025

500  1,0025ⁿ + 500  1,0025^n-1 +…+500  1,0025 = 500(1,0025 + 1,0025² +…+1,0025ⁿ )

) 0025 ,

1 1 ( 200500 0025

, 1 1

) 0025 ,

1 1 ( 0025 ,

500 1 ⁿ

n   



 

-200 500(1 - 1,0025ⁿ) = 41000 1 - 1,0025ⁿ = -82/401

-1,0025ⁿ = -483/401 1,0025ⁿ = 483 / 401

n = lg (483/401)/lg 1,0025  74,5