2.3.1. Aritmeettinen jono 2.3.1. Aritmeettinen jono

(1)

2.3.1. Aritmeettinen jono 2.3.1. Aritmeettinen jono

-jono, jossa seuraava termi saadaan edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+2d, a +3d,…

Aritmeettisessa jonossa kahden peräkkäisen termin erotus on aina vakio:

Siis a_n+1 – a_n = d (vakio)

Jonon yleinen termi: a_n = a + (n - 1)d missä

a = jonon ensimmäinen termi d = erotusluku

Aritmeettisen jonon ratkaiseminen

Lasketaan kaavan a_n = a + (n - 1)d yhtälöstä kysytyn suureen (a_n, a, n tai d) arvo

TAI ratkaistaan a ja d eo. yhtälöstä saatavan yhtälöparin avulla, sillä aritmeettinen jono on täsmälleen määrätty, jos tunnetaan a ja d.

(2)

E.1. Mikä on aritmeettisen jonon 2, 5, 8, … sadas termi

a = 2

d = 5 - 2 =3

a₁₀₀ = 2 + (100 - 1)3 = 299

E.2. Määritä x siten, että jono x , x - 2, 2x – 1, … on aritmeettinen

(x – 2) – x = (2x – 1) – (x – 2) -2 = x + 1

x = -3

(3)

E.3. Luku 10 on aritmeettisen jonon …, 8, 10, … kahdeksas termi.

Mikä on ensimmäinen termi?

a

₈

= 10

a + (8-1)  2 = 10 a = -4

a

_n

= a + (n - 1)d E.4. Monesko termi on aritmeettisessa jonossa 1, 4, 7, … luku 1000?

a = 1

d = 4 – 1 = 3

1 + (n – 1)3 = 1000

1 + 3n – 3 = 1000

3n = 1002

n = 334

(4)

E.5. Aritmeettisen jonon kolmas termi on 12 ja yhdeksäs 30.

Määritä jonon 10. termi.

 











30 8

12 2

d a

 













30 8

12 2

d a

6d = 18 d = 3 a = 6

a

₁₀

= 6 + (10-1)  3 = 33

a

_n

= a + (n - 1)d a

₃

= a + (3 – 1)  d

a

₉

= a + (9 – 1)  d

(5)

2.3.3. Aritmeettinen summa 2.3.3. Aritmeettinen summa

= summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon:

S_n = a₁ + a₂ + a₃ + … + a_n =



 n k

ak 1

missä (a_k) on päättyvä aritmeettinen jono

(6)

ks. esimerkit 1 & 2 s. 94 - 95



 n 

k

1

3

4

^a^k+1^{– a}^k

= (4(k+1) – 3 ) – (4k – 3)

= 4k + 4 – 3 – 4k + 3 = 4 on, k:stä riippumaton

EI KIRJOITETA

Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9)

2 + 4 + 7 + 11 + 16

(7)

Aritmeettisen summan kaava S_n =

2 ) (

a₁ a_n

n 



missä

a₁ = ensimmäinen termi a_n = viimeinen termi

n = termien lukumäärä

(8)

E.6. Laske S₁₀, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d = 3 – 1 = 2

a₁₀ = 1 + 9  2 = 19

2 100 ) 19 1

10 (

10

 



 S

2 )

(

a₁ a_n n 

(9)

E.7. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7:llä jaollisten kokonaislukujen summa.

a₁ = 7 d = 7 a_n = 98 98 = 7 + (n – 1)  7

7n = 98 n = 14

2 735 ) 98 7

14 (

14  



 S

2 )

(

a₁ a_n n 

(10)

2 1000 ) 1

(  n  n

2 8000 1

1  

  n

E.8. Mistä n:n arvosta alkaen n:n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000?

a₁ = 1 d = 1 a_n = 1 + (n-1) 1 = n

n + n² > 2000 n² + n – 2000 > 0 n² + n – 2000 = 0 RTK-kaavalla

n  44,2 (n  -45,2)

V: n:n arvosta 45 alkaen

(11)



 





 





2 )) 8 (

( 99 9

3 9

1 1

1

d a

a d a

2 )) 8 3

9 ( ) 3 9 9 ((

99  d   d  d





E.9. Määritä aritmeettisen jonon a₁ ja d, kun a₄ = 9 ja S₉ = 99.

a₁ = 9 – 3d

18d + 162 = 198 18d = 36

d = 2

a₁ sijoittamalla a₁ = 9 – 6 = 3 a₁ = 3, d = 2

Kirjan esimerkki 2 ja 4 sivut 97, 98

(12)

E.2. s.97

1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 30 senttiä jne.

Kuinka paljon syyskuun lopussa?

Talletukset: aritmeettinen jono, a₁, a₂, a₃, …, a₃₀ a₁ = 10

d = 10

a₃₀ = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt)

2 4650 ) 300 10

30 (

30  



 S

V: 46,50 €

(13)

E.4. s.98

60 000 € lainaa / 15 vuotta

Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15  2 = 30

Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€)

Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7,5 / 2 = 3,75 %

Korot

1. 0,0375  60 000 2. 0,0375  58 000 3. 0,0375  56 000

…

30. 0,0375  2 000 Korot yhteensä

0,0375  60 000 + 0,0375  58 000 + … + 0,0375  2 000

= 0,0375(60 000 + 58 000 + … + 2000)

34875

2 ) 2000 60000

30 ( 0375 ,

0

 





(14)

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa

Johdanto

S₇ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19

S₇ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S₇ = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1 2S₇ = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 2S₇ = 7  20

7 2 2

7 20

¹ ⁷

7

a

S a 









(15)

Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n S_n = a_n + a_n-1 + … + a₂ + a₁

2S_n = (a₁ +a_n) + (a₂ + a_n-1) +….+ (a_n-1+a₂) + (a_n +a₁)

a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n

) (

2 S

_n

 n a

₁

 a

_n

2 ) (

₁ _n

n

a a

S n 

