 2.3.3. Aritmeettinen summa2.3.3. Aritmeettinen summa

2.3.3. Aritmeettinen summa 2.3.3. Aritmeettinen summa

= summa, jonka yhteenlaskettavat muodostavat aritmeettisen jonon:

S

= a

+ a

+ a

+ … + a

= 

 n k

a

missä (a

) on päättyvä aritmeettinen jono

ks. esimerkit 1 & 2 s. 58

ks. esimerkit 1 & 2 s. 58





k

k

1

3

4 ^a

^{– a}

= (4(k+1) – 3 ) – (4k – 3)

= 4k + 4 – 3 – 4k + 3 = 4 on, n:stä riippumaton

EI KIRJOITETA

Onko summa aritmeettinen 7 + 3 + (-1) + (-5) + (-9)

2 + 4 + 7 + 11 + 16

Aritmettisen summan kaava

S

= 2 ) ( a

a

n 



missä

a₁ = ensimmäinen termi a_n = viimeinen termi

n = termien lukumäärä

E.1. Laske S

, kun summa on 1 + 3 + 5 + … d = 3 – 1 = 2

a

= 1 + 9  2 = 19

2 100 ) 19 1

10 (

10

 



 S

2

)

( a

a

n  

E.2. Laske kaikkien positiivisten alle 100 olevien 7:llä jaollisten kokonaislukujen summa.

a

= 7 d = 7 a

= 98 98 = 7 + (n – 1)  7

7n = 98 n = 14

2 735 ) 98 7

14 (

14

 



 S

2

)

( a

a

n  

2 1000 ) 1

(  n  n

2

8000 1

1  

  n

E.3. Mistä n:n arvosta alkaen n:n ensimmäisen luonnollisen luvun summa on suurempi kuin 1000?

a

= 1 d = 1 a

= 1 + (n-1) 1 = n

n + n

> 2000 n

+ n – 2000 > 0 n

+ n – 2000 = 0 RTK-kaavalla

n  44,2 (n  -45,2)

V: n:n arvosta 45 alkaen



 





 





2

)) 8 (

( 99 9

3 9

1

1

a d

a d a

2

)) 8 3

9 ( ) 3 9 9 ((

99  d   d  d





E.4. Määritä aritmeettisen jonon a

ja d, kun a

= 9 ja S

= 99.

a = 9 – 3d

18d + 162 = 198 18d = 36

d = 2

a

sijoittamalla a

= 9 – 6 = 3 a

= 3, d = 2

Kirjan esimerkki 2 ja 2 sivut 61, 62

E.2. s.97

1.9. 10 senttiä 2.9. 20 senttiä 3.9. 30 senttiä jne.

Kuinka paljon syyskuun lopussa?

Talletukset: aritmeettinen jono, a₁, a₂, a₃, …, a₃₀ a₁ = 10

d = 10

a₃₀ = 10 + (30 – 1) 10 = 300 (snt)

2 4650 ) 300 10

30 (

30

 



 S

V: 46,50 €

E.4. s.98

60 000 € lainaa / 15 vuotta

Lainaa lyhennetään 2 krt / v maksaen joka kerta edellisen puolen vuoden korko Lyhennyseriä 15  2 = 30

Lyhennyserän suuruus = 60 000 / 30 = 2 000 (€)

Jäljellä olevat lainamäärät: 60 000, 58 000, 56 000, …, 2000 Puolen vuoden korko 7,5 / 2 = 3,75 %

Korot

1. 0,0375  60 000 2. 0,0375  58 000 3. 0,0375  56 000

…

30. 0,0375  2 000 Korot yhteensä

0,0375  60 000 + 0,0375  58 000 + … + 0,0375  2 000

= 0,0375(60 000 + 58 000 + … + 2000)

34875

2

2000 60000

30 ( 0375 ,

0  







Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa

Johdanto

S₇ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19

S₇ = 1 + 4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 S₇ = 19 + 16 + 13 + 10 + 7 + 4 + 1 2S₇ = 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 + 20 2S₇ = 7  20

7 2 2

7 20

7

a

S a 









Summakaavojen todistaminen Aritmeettinen summa

S_n = a₁ + a₂ + … + a_n-1 + a_n S_n = a_n + a_n-1 + … + a₂ + a₁

2S_n = (a₁ +a_n) + (a₂ + a_n-1) +….+ (a_n-1+a₂) + (a_n +a₁)

a₂ + a_n-1 = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n

) (

2 S

 n a

 a

2

) (

n

a a

S n 

