Matematiikan olympiavalmennus: valmennustehtävät, syyskuu 2020 Helpommatkin tehtävät ovat vaikeampia kuin
koulutehtävät, eikä ole oletettavaa että niitä pys- tyisi ratkomaan ilman vaivannäköä.Sinnikäs yrit- täminen kannattaa. Vaikka tehtävää ei saisi val- miiksi asti tehtyä, sitä pitkään miettinyt oppii malliratkaisuista enemmän. Helpommissakin teh- tävissä olennaista on kirjoittaa perustelut eikä vain laskea lopputulosta esim. laskimella.
Olemme hyvin tietoisia siitä, että netissä on mo- nenlaisia lähteitä, joista ratkaisuja voi löytää –
https://aops.com ja https://math.stackexchange.com
lienevät tunnetuimpia. Näiden käyttäminen ei ole haitaksi ja niistä voi oppia paljonkin, mutta suo- sittelemme yrittämään ensin itse. Myös tehtä- vien pohtiminen muiden valmennettavien kanssa, jos siihen tarjoutuu tilaisuus, lienee opettavaista.
Kuuleman mukaan ainakin Maunulassa on järjes- tetty ryhmäratkomistilaisuuksia.
Tehtäviin pujahtaa joskus virheitä. Havaituista virheistä kerrotaan valmennuksen sivulla
https://matematiikkakilpailut.fi/valmennus/. Ratkaisuja toivotaan 16.10.2020 mennessä henkilökohtaisesti ojennettuna tai sähköpostitse.
Helpommat tehtävät: n.palojarvi@gmail.com, vaa- tivammat:anne-maria.ernvall-hytonen@helsinki.fi. Joukkuevalinnat perustuvat kokonaisharkintaan, jossa otetaan huomioon palautetut tehtävät ja menestyminen kilpailuissa ja valintakokeissa.
Huomioi tietosuojalauseke:
https://matematiikkakilpailut.fi/tietosuoja/
Helpompia tehtäviä
1. Laske, kuinka monta sellaista kasvavaa lukujonoa on, jotka täyttävät seuraavat kolme ehtoa:
• Jonossa on seitsemän alkiota.
• Jonon alkiot ovat1,2,3,4ja5 jossain järjestyksessä.
• Kukin luvuista1,2,3,4,5esiintyy luvuista vähintään kerran lukujonossa.
2. Tasasivuisen kolmion sisään on piirretty neliö (”sisään piirtäminen” tarkoittaa, että neliön kaikki kärjet ovat kolmion sivuilla). Selvitä neliön pinta-alan suhde kolmion pinta-alaan.
3. Luku on palindromi, jos se on sama oikealta vasemmalle luettuna. Esimerkiksi 2002 on palindromi.
Montako palindromia on välillä1. . .99999? Perustele!
4. Tarkastellaan funktiota f(x) = 2x+3cx , joka on määritelty kunx6=−32. Millä luvun c arvoilla pätee f(f(x)) =xkaikille määrittelyjoukon arvoillex?
5. Kahden luvun kuutioiden summa on 5 ja neliöiden summa on 3. Selvitä lukujen summa.
6. Yhtälön x3+ 3x2+ 4x−11 = 0ratkaisut ovat a,b jac, ja yhtälönx3+rx2+sx+t= 0ratkaisut ovat a+b, b+c jac+a. Selvität:n arvo.
7. Matemaatikkojen tapaamisessa yksi matemaatikko huomautti toiselle: ”Meitä on paikalla yhdek- sän vähemmän kuin kaksinumeroisen lukumäärämme numeroiden tulo.” Montako matemaatikkoa oli paikalla?
8. Ratkaise reaaliluvuilla√
x2−x+ 2 +√
x2−x−2 = 1.
9. Kaksi samansäteistä ympyrää kulkee toistensa keskipisteiden kautta. Mikä on ympyröiden muodos- taman kuvion pinta-ala ja piiri?
10. Jaetaan8×8-šakkilauta p:hen erilliseen suorakulmioon niin, että seuraavat ehdot täyttyvät:
• Jokaisessa suorakulmiossa on yhtä monta mustaa ja valkoista ruutua.
• Missään kahdessa suorakulmiossa ei ole keskenään yhtä monta ruutua.
Mikä on suurinp:n arvo, jolla jako on mahdollinen? Selvitä myös, mitkä ovat kaikki mahdolliset tavat jakaa šakkilauta tällä p:n arvolla.
11. Koulun käytävällä on 1024 suljettua lokeroa, jotka on numeroitu 1, . . . ,1024. Oppilas maleksii käy- tävässä, avaa lokeron 1, ohittaa lokeron 2, avaa lokeron 3, ja jatkaa avaten aina joka toisen lokeron, kunnes hän päätyy käytävän loppuun. Sitten hän kääntyy ympäri, avaa ensimmäisen löytämänsä suljetun lokeron ja taas vuorotellen ohittaa ja avaa suljettuja lokeroita. Oppilas jatkaa maleksimista edestakaisin, kunnes hän on avannut kaikki lokerot. Mikä on viimeisenä avatun lokeron numero?
Vaativampia tehtäviä
12. Kutsutaan kokonaislukua n mielenkiintoiseksi, jos luku 2018 jakaa luvun d(n) (joka on luvun n positiivisten tekijöiden lukumäärä). Etsi kaikki sellaiset positiiviset kokonaisluvutk, että on olemas- sa ääretön aritmeettinen jono, jossa peräkkäisten termien erotus on k ja jonka kaikki termit ovat mielenkiintoisia.
13. Korttipakassa osa korteista on kuvapuoli alaspäin. Voidaan ottaa kuinka monta tahansa peräkkäistä korttia, kunhan niistä ylin ja alin ovat kuvapuoli alaspäin, kääntää poistetut kortit ja palauttaa pakkaan samaan kohtaan josta ne poistettiin. Todista, että lopuksi kaikkien korttien kuvapuoli on ylöspäin.
14. Kuution jokaiseen kärkipisteeseen on kirjoitettu joko +1 tai −1 ja kuution jokaiselle tahkolle on kirjoitettu sen kärkipisteiden lukujen tulo. Voiko näiden neljäntoista luvun summa olla 0?
15. On n tyyppiä karkkia, kutakin k kappaletta. Karkit jaetaan k:lle lapselle, kullekinn karkkia. Jos lapsilla Aja B on kummallakin karkki, jonka tyyppistä toisella ei ole, he voivat vaihtaa nämä kar- kit keskenään. Onko aina mahdollista suorittaa sellaiset vaihdot, että lopuksi jokaisella lapsella on kaikentyyppisiä karkkeja?
16. Etsi kaikki sellaiset reaalilukuparit(a, b), että polynomien6x2−24x−4ajax3+ax2+bx−8kaikki juuret ovat ei-negatiivisia reaalilukuja.
17. Mille kokonaisluvuilleaon olemasssa kaksi eri äärellistä lukujonoai1< i2<· · ·< ikjaj1<· · ·< j`, jotka koostuvat positiivisista kokonaisluvuista ja joille
(ai1+ 1)(ai2+ 1)· · ·(aik+ 1) = (aj1+ 1)(aj2+ 1)· · ·(aj`+ 1)?
18. Reaaliluvut xjay toteuttavat ehdot (sinx+cosy= 1,
cosx+siny=−1.
Todista, että cos2x=cos2y.
19. Reaalikertoiminen polynomip(x)onalmerialainen, jos se on muotoa p(x) =x3+ax2+bx+a
ja jos sen nollakohdat ovat kolme positiivista reaalilukua, jotka muodostavat aritmeettisen jonon.
Etsi kaikki almerialaiset polynomit p(x), joille p(7/4) = 0. 20. Määritellään lukujono f(n)∞
n=1 seuraavasti:
• f(1) = 1.
• Josnon parillinen,f(n) =f(n/2).
• Josn >1on pariton jaf(n−1)on pariton,f(n) =f(n−1)−1.
• Josn >1on pariton jaf(n−1)on parillinen,f(n) =f(n−1) + 1. a) Laske f(22020−1).
b) Todista, että f(n)∞
n=1 ei ole jaksollinen, ts. ei ole olemassa sellaisia positiivisia kokonaislukuja t jan0, ettäf(n+t) =f(n)kaikillan≥n0.
21. Teräväkulmaisen kolmionABCsivunABkeskipiste onM ja pisteestäApiirretty korkeusjana kohtaa sivun BC pisteessäP. Todista, että jos AC+BC = √
2AB, niin kolmionBM P ympäri piirretty ympyrä sivuaa suoraaAC.
22. Kun S on kokonaislukujen joukonZäärellinen osajoukko, määritelläänd2(S)jad3(S)seuraavasti:
• d2(S)on niiden alkioidena∈Slukumäärä, joille on olemassa sellaisetx, y∈Z, ettäx2−y2=a.
• d3(S)on niiden alkioidena∈Slukumäärä, joille on olemassa sellaisetx, y∈Z, ettäx3−y3=a.
a) Olkoon mkokonaisluku jaS={m, m+ 1, . . . , m+ 2019}. Todista, että d2(S)> 13
7 d3(S).
(b) Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja olkoon Sn = {1,2, . . . , n}. Todista, että on olemassa sellainen luku N, että josn > N,
d2(Sn)>4d3(Sn).
