Kotitehtävät, joulukuu 2011 Vaikeampi sarja
Palauta ratkaisusi 13.1. mennessä valmennusviikonlopun yhteydessä tai postitse Jouni Seppäselle.
Tiedustelut:jks@iki.fi, 050–524 9019.
1. Etsi kaikki positiivisten rationaalukujen parit(a, b), joille
√a+
√ b=
q 2 +√
3.
2. Paroni von Münchhausen väittää keksineensä likimääräisen kaavan neliöjuurten laskemiseen. Kaavassa on joitakin vakioita ja yksi muuttuja (juurrettava), mutta erikoisinta on, että vakioille ja muuttujalle tehdään vain kaksi lasku- toimitusta: yksi yhteenlasku ja yksi kertolasku. ”Jokaiselle reaaliluvulle välillä[1000,2000]kaavani virhe on alle1/2”, ylpeilee von Münchhausen. Voitko osoittaa, että paroni valehtelee?
3. Todista epäyhtälö
sin4(x−y) + cos4(x+y)≤1 + sin22xsin22y reaaliluvuillex, y.
4. Etsi kaikki funktiotf :R→R, joille
f(x+y) =f(x)f(y+ 1) +f(x+ 1)f(y)−1 kaikilla x, y∈R.
5. Olkoon n positiivinen kokonaisluku ja s= (a1, a2, . . . , a2n)jono ei-negatiivisia kokonaislukuja. Asetetaan f(s) = (|a1−a2|,|a2−a3|, . . . ,|a2n−a1|). Merkitäänfk:lla funktiotaf sovellettunakkertaa, siisf1(s) =f(s)jafk+1(s) = f(fk(s)), kun k = 1,2, . . .. Osoita, että näillä oletuksilla fk(s) = (0,0, . . . ,0) jollain k, mutta vastaava tulos ei välttämättä päde, jos jononspituus ei ole kahden potenssi.
6. KolmiossaABCon∠B6=∠C. Kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste onIja kulmanAvastaisen sivuympy- rän1 keskipisteJ. Piste O on kulmanA sisäisen puolittajan ja sivunBC keskinormaalin leikkauspiste, ja piste P on suoranBO leikkauspiste pisteenC kautta piirretyn suoranBC normaalin kanssa. Todista, ettäIP kBJ.
7. KolmionABC sivuillaBC,CAjaAB on tässä järjestyksessä pisteetD,E jaF. JanatAD,BE jaCF leikkaavat pisteessäP. Todista, että
|AP|
|P D|· |BP|
|P E| ·|CP|
|P F|− |AP|
|P D| +|BP|
|P E|+|CP|
|P F|
= 2.
8. Mille positiivisille kokonaisluvuilleajab on
a3+b3 11 alkuluvun potenssi?
9. Etsi kaikki kokonaisluvutn >1, joilla on seuraava ominaisuus: luvunn6−1 jokainen alkutekijä jakaa luvunn2−1 tain3−1.
10. Todista, että lukujono
2002 2002
, 2003
2002
, 2004
2002
, . . . on jaksollinen modulo2002ja selvitä sen jakson pituus.
1Jon siis kulmanAsisäisen puolittajan ja kulmienBjaCulkoisten puolittajien leikkauspiste. Nämä ulkoiset puolittajat puolittavat ne kulmat, jotka sivuBCmuodostaa sivujenABjaACjatkeiden kanssa.
