Osoita, ett¨a jono

Analyysi III 1. harjoitus 2003

1. Osoita M¨a¨aritelm¨an 1.1. nojalla, ett¨a jono (xn) suppenee, kun x_n = 2

n³.

2. Osoita M¨a¨aritelm¨an 1.1. nojalla, ett¨a jono (xn) suppenee kohti raja-arvoa 2, kun

xn = 2n²+n+ 1 n²−3 .

3. Osoita, ett¨a jono (1,¹₂,1,¹₃,1,¹₄,1,¹₅,1, ...) hajaantuu.

4. Olkoon xn = 1−n⁽⁻¹⁾ⁿ. Suppeneeko jono (xn)?

5. Olkoon xn = sin (n+ ¹₂)π. Suppeneeko jono (xn)? Suppeneeko osajono (yk) = (xnk),

kun a) nk = 2k, b) nk = 3k, c) nk=k², d) nk = 2^k? 6. Laske

n→∞lim

6n⁴−n²+ 3

−3n⁴−n³+ 2. 7. Laske

n→∞lim n²£¡

3 + 1 n⁴

¢₅ + 2¤

.