(1)Analyysi III 5

Analyysi III 5 . harjoitus 2004

Laske seuraavat integraalit:

1. Z ₄

1

dx x+√

x

2. Z ¹

2

−¹₂

x²dx

√1−x²

3. Z _e

1

x³lnx dx

4. Z ₁

0

arctanx dx

5. Osoita raja-arvon ∞ m¨a¨aritelm¨an nojalla, ett¨a

n→∞lim

n²+ 1 n+ 2 =∞.

6. Olkoon xn = sin (n+ ¹₂)π. Suppeneeko jono (xn)? Suppeneeko osajono (yk) = (xnk), kun a) nk = 2k, b) nk= 3k, c) nk =k², d) nk = 2^k?

7. M¨a¨aritell¨a¨an jono (xn) rekursiivisesti asettamalla x₁ = 2, x_n+1 =x_n− x²_n−2

2xn

= xn

2 + 1 xn

.

Osoita, ett¨a (xn) on v¨ahenev¨a. Mik¨a on raja-arvo?

8. Jonolle (xn) on voimassa

|xn+1−xn|< cqⁿ,

n= 1,2, ..., miss¨ac ja q ovat vakioita ja 0< q <1. Osoita, ett¨a jono suppenee.