• Ei tuloksia

Sarjat ja Integraalit Loppukoe 26.11.2012

N/A
N/A
Info
Lataa
Protected

Academic year: 2022

Jaa "Sarjat ja Integraalit Loppukoe 26.11.2012"

Copied!
1
0
0

Ladataan.... (näytä koko teksti nyt)

Lataa nyt ( 1 sivua )

Kokoteksti

(1)

Sarjat ja Integraalit Loppukoe 26.11.2012

Kokeessa saa käyttää luentomonistetta ja luentomuistiinpanoja.

1. Tutki, esimerkiksi suppenemistestien avulla, suppenevatko sarjat a)

∞

X

k=1

ln( k2

k2+ 2k+ 1) b)

∞

X

k=1

(cos(2k+ 1))k k3+ 3 .

2. Perustele määritelmään nojautuen, onko funktio

f(x) =





−1, kunx∈[−2,−1], x, kunx∈[−1,1], 1, kunx∈[1,2], Riemann-integroituva välillä [−2,2].

3. Onko funktio f tasaisesti jatkuva välilläI, kun (a) f(x) =x2 ja I =]0,1[?

(b) f(x) = 2 + sin(3x+ 1) ja I =R? Perustele vastauksesi.

4. Laske funktion f(x) = cos(4x2)kertaluvun 999 derivaatta pisteessä x= 0. Perustele vastauksesi.

5. Anna esimerkki funktiojonosta(fn),fn: [0,1]→[0,1], n= 1,2, . . ., jossa kaikki funktiotfnovat aidosti kasvavia ja epäjatkuvia, mutta jono (fn) suppenee tasaisesti kohti jatkuvaa funktiota.

Viittaukset

Lataa nyt ( PDF - 1 sivua - 116.41 KB )

LIITTYVÄT TIEDOSTOT

800653S Matriisiteoria Loppukoe 26.11.2012

Osoita, että matriisi A ∈ C n×n on positiivisesti definiitti jos ja vain jos A on hermiittinen ja kaikki sen ominaisarvot ovat

=JHEEIEJAHE=  LEA !# %

Osoita, että matriisi A ∈ C n×n on positiivisesti deniitti jos ja vain jos A on hermiittinen ja kaikki sen ominaisavot ovat aidosti

Sarjat ja integraalit

Kokeessa saa käyttää luentomonistetta ja luentomuistiinpanoja.. (Kannattaa piirtää

Osoita, ett¨a sarja X∞ n=1 (−1)n nx suppenee tasaisesti arvoilla x≥m >0

Johda funktiolle arctan x v¨alill¨a ]−1, 1[ voimassa oleva sarjakehitelm¨a l¨ahtem¨all¨a sen derivaatan

Osoita, ett¨a sarja X∞ n=1 (n2+n)(x 3)n suppenee tasaisesti v¨alill¨a [−2,2]

Johda funktiolle arctan x v¨alill¨a ]−1, 1[ voimassa oleva sarjakehitelm¨a l¨ahtem¨all¨a sen derivaatan kehitelm¨ast¨a5. Mill¨a x:n arvoilla sarja suppenee ja

Answers to Exercise 8

contradictory to the fact that {f n } converges to a measurable function f in the measure

(1)Matematiikan yleisopintojakso Syksy 2001 Harjoitus 8 Tehtävät 4 ja 5 kannattaa tehdä samanaikaisesti

Keksi (tai etsi kurssimateriaalista) ei-vakio funktio f : R −→ R, joka ei ole kasvava eikä vähenevä millään reaalilukuvälillä.. Millä reaalilukuväleillä f on aidosti kasvava

Pitk¨a matematiikka 19.9.2007, ratkaisut: 1. a)

Kolmesta per¨ akk¨ aisest¨ a kokonaisluvusta on aina yksi jaollinen kolmella ja ainakin yksi jaollinen kahdella.. N¨ ain ollen f on