3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio E.2. Laske funktion f(x) = 4x - 3 arvo, kun x = 2 f(2) = 4 · 2 - 3 = 5

3.2. Ensimmäisen asteen polynomifunktio

E.2. Laske funktion f(x) = 4x - 3 arvo, kun x = 2 f(2) = 4 · 2 - 3 = 5

3.2.2 Funktion määrittelyjoukko (MJ)

Ne muuttujan arvot, joilla funktion arvot voidaan laskea E.4. Mikä on funktion määrittelyjoukko, kun

x x

f ( ) 

a) f(x) = x + 1 b) c)

a) R b) x ≥ 0 c) x ≠ 1

E.5. Piirrä funktion f(x) = x + 1 kuvaaja

b) Määritä funktion nollakohta x + 1 = 0

x = -1

Lineaarinen funktio y = kx + b Kuvaaja on suora

k = kulmakerroin

jos k > 0, niin suora on nouseva jos k < 0, niin suora on laskeva jos k = 0, niin suora on x-akselin suuntainen

ilmoittaa myös jyrkkyyden b = vakiotermi

suoran ja y-akselin leikkauspisteen y- koordinaatti

E.7. Suorien yhtälöt ovat 6x + 2y = 2 ja 2x + 4y - 4 = 0.

a) Määritä suorien kulmakertoimet

b) Ovatko suorat nousevia vai laskevia c) Kumpi suora on jyrkempi

a) 2y = -6x + 2 4y = -2x + 4 y = -3x + 1 y = -½ x + 1

k = -3 k = -½

b) laskevia, koska k < 0

c) y = -3x + 1 on jyrkempi

Kirjan esimerkki 3, s. 75

Määritä pisteiden (-1, 1) ja (2, 0) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Suoran yhtälö muotoa y = kx + b

Suoralla olevat pisteet toteuttavat yhtälön:

1 = -k + b 0 = 2k + b

 













0 2

1

b k

b k

3k = -1 k = -1/3 sijoitus:

2*(-1/3) + b = 0 b = 2/3

3 2 3

1 



 x

y

E.1. Ratkaise yhtälöpari

 











10 3

5

7 2

4

y x

y

x

| (-2)

 









20 - 6y - 10x -

21 6y

12x

2x = 1

x = ½

V: x = ½, y =2½

y sijoittamalla:

4·½ + 2y = 7

2y = 7 – 2 2y = 5

y = 2½

Tarkistus:

4 ½ + 2  2½ = 7 ./.

E.2. Ratkaise yhtälöpari

T1

  











0 5

3

0 2

y x

y x

 













5 3

0 2

y x

y x

5x = -5 x = -1

y sijoittamalla:

y = 2  (-1) = – 2 V: x = -1, y = -2

T.2.

Ratkaistaan ensin y:

2x – y = 0 y = 2x

Sijotetaan alempaa yhtälöön:

3x + 2x + 5 = 0 5x = – 5 x = -1 y sijoittamalla:

y = 2  (-1) = – 2 V: x = -1, y = -2

 













0 5

3

0 2

y x

y

x

T.3.

Ratkaistaan ensin molemmista y:

2x – y = 0 y = 2x

3x + y + 5 = 0

y = -3x – 5

Merkitään y:n lausekkeet yhtä suuriksi:

2x = -3x – 5 2x + 3x = -5

5x = -5 x = -1 y sijoittamalla:

y = 2  (-1) = – 2 V: x = -1, y = -2

 













0 5

3

0 2

y x

y

x

E.3. Ratkaise E.2. graafisesti

2x – y = 0 y = 2x

V: x = -1, y = -2 Huom:

Aina likiarvo!

Laske aina, jos ei nimenomaan pyydetä graafista ratkaisua

3x + y + 5 = 0

y = -3x – 5

E.5. Ratkaise yhtälöpari

 















0 7

4 8

0 7

2 4

y x

y

x

| 1

 

















0 7 4y 8x

0 14

4y 8x

-21 = 0 epätosi

V: Yhtälöllä ei ole ratkaisua

E.6. Ratkaise yhtälöpari

 













1 2

0 1 2

x y

y x

0 = 0 tosi

V: Kaikki suoran x – 2y + 1 = 0 pisteet

 

















0 1 2y x

0

1

2y

x

Yhtälöparin sovelluksia

E.1. Kuinka monta kanaa ja kania on miehen säkissä, kun päitä on yhteensä 8 ja jalkoja 22?

x = kanojen lkm y = kanien lkm

 











22 4y

2x

8 y

x

| 1

 











22 4y

2x

16 2y

- 2x -

2y = 6 | :2 y = 3

Sijoittamalla:

*)

x + 3 = 8

x = 8 – 3 x = 5

V: 5 kanaa ja 3 kania

*

Reaalilukuvälit E.2. Esitä epäyhtälöin väli

a) 1,4 b) ]0,3] c) [-2,  [ a) 1 ≤ x ≤ 4

b) 0 < x ≤ 3 c) x ≥ -2

E.3. Esitä hakasuluin väli

a) 6 < x < 8 b) 4  x < 10 c) x < 4 a) ]6, 8[

b) [4, 10[

c) ]-

∞,

EPÄYHTÄLÖN RATKAISEMINEN

E.4. Ratkaise epäyhtälö

a) 3x + 2 < x + 8 b) 2x – 3 < 4x + 5 a) 3x + 2 < x + 8

3x – x < 8 – 2 2x < 6 x < 3

b) 2x – 3 < 4x + 5 2x – 4x < 5 + 3 -2x < 8 x > -4

E.5.

a)

4 1 2

2

 x  x

| *4

2x < 2x + 1 2x -2x < 1

0 < 1 tosi x  R

b) x(x – 4) < (x – 5)(x+1) x² – 4x < x² + x – 5x – 5 x² – 4x – x² – x + 5x < -5

0 < -5 epätosi

V: ei ratkaisua

Kaksoisepäyhtälö

1. ”JA”-ryhmän ratkaiseminen

Ratkaise JA sanan molemmilla puolilla olevat epäyhtälöt Merkitse kummankin epäyhtälön ratkaisujoukot

lukusuorataulukkoon omille riveilleen.

Ratkaisujoukko (omalle riville) on näiden leikkausjoukko ts. alue, missä molemmat epäyhtälöt toteutuvat

Ratkaise a) 2x > 2 ja x - 4 < 0 2x > 2 | :2

x > 1 x - 4 < 0

x < 4

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

V: 1 < x < 4

Kaksoisepäyhtälön hajotus osaepäyhtälöiksi

a < b < c



a < b JA b < c

Esimerkki

x - 3x < 0 < 1 - x

x - 3x < 0 JA 0 < 1 - x -2x < 0 x < 1 x > 0

Lukusuoralle

”leikkausalue” on vastaus

V: 0 < x < 1

Eksponenttifunktio y = k

Kuvaaja on koko ajan x-akselin yläpuolella, kulkee pisteen (0,1) kautta (k > 0)

Määrittelyjoukko on koko R

Arvojoukko

on R

eli positiivisten reaalilukujen joukko

k

on kasvava, jos k > 1 ELI kantaluku on > 1

k

on vähenevä, jos 0 < k < 1 eli kantaluku välillä ]0,1[

k

on vakiofunktio, jos k = 1

Eksponenttiyhtälöitä

Yhtälö, jossa kaksi termiä ja sama kantaluku Siirrä termit eri puolelle yhtälöä

k

= k

 x = y Esimerkki

3

= 9 3

= 3

x = 2

7

= 49

7

= (7

)

7

= 7

Eksponenttiepäyhtälöitä

Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä suurempi kantaluku Siirrä termit eri puolille epäyhtälöä.

k

< k

 x < y (kun k > 1)

Epäyhtälö, jossa kaksi termiä ja sama ykköstä pienempi kantaluku Muuten samoin kuin yllä, mutta

Käytä sääntöä k

< k

 x > y (kun 0 < k < 1) Esimerkki

3

> 81 3

> 3

x > 4

4

< 8

(2

)

< 2

2

< 2

2(x - 1) < 3  2x - 2 < 3

 2x < 5  x < 2,5

Esimerkki

Bakteerikanta kolminkertaistuu tunnissa Jos kannan suuruus nyt on 25 miljardia Kuinka paljon bakteereja on

a) Neljän tunnin kuluttua b) Neljä tuntia sitten

c) Puoli tuntia sitten

a) 3

* 25 = 2000 (miljardia)

b) 3

* 25 = 0,31 (miljardia)

c) 3

* 25 = 14 (miljardia)

Esimerkki

Radioaktiivisen aineen määrä pienenee kahdeksassa päivässä neljännekseen alkuperäisestä.

Kuinka monta prosenttia aineesta hajoaa vuorokaudessa?

k

* a = 0,25a k

= 0,25

a = alkuperäinen määrä

84 , 0 25

, 0

8



 k

Vuorokaudessa aineen määrä tulee 0,84-kertaiseksi eli

aineesta hajoaa 16%

POLYNOMIT

E.1. Mitkä ovat polynomin P(x) = 5x³ – 2x + a

a) termit b) termien kertoimet c) asteluku d) Onko polynomi monomi, binomi vai trinomi?

a) 5x³, -2x ja a (vakiotermi) b) 5, -2, a

c) 3

d) trinomi

E.2. Polynomin 2x + 1 aste on 1

kuvaaja on suora

E.3. Polynomin x² – 1 aste on 2

kuvaaja on paraabeli

POLYNOMIN ARVON LASKEMINEN

Sijoitetaan muuttujan paikalle se luku, jolla polynomin arvoa ollaan laskemassa E.4. Laske P(1), P(-2)

kun a) P(x) = x² – 2

b) P(x) = -x² + 2x + a a) P(1) = 1² – 2 = -1

P(-2) = (-2)² – 2 = 4 – 2 = 2

b) P(1) = -1² + 2· 1 + a = -1 + 2 + a = 1 + a P(-2) = -(-2)² + 2 · (-2) + a

= -4 – 4 + a = -8 + a

E.5. a) Millä x:n arvolla P(x) = 2x – 4 saa arvon 6 b) Ratkaise yhtälö P(x) = 0, kun P(x) = 2x + 1

a) P(x) = 6:

2x – 4 = 6 2x = 10 x = 5 b) P(x) = 0

2x + 1 = 0

2x = -1 x = -½

POLYNOMIN YHTEEN- JA VÄHENNYSLASKU

E.7. Laske a) 4x³ + 3x³ = 7x³

b) 7x³ + 3x² – 2x² = 7x³ + x²

c) 4x³ – 2x² + 1 + 4x² –3x³ –2 = x³ + 2x² - 1

E.8. Määritä polynomin P(x) = -x² – 5x + 2 vastapolynomi -P(x) = -(-x² – 5x + 2) = x² + 5x - 2

E.9. Laske polynomien p(x) = 3x² – 2x + 1 ja q(x) = -x² + 2x – 1 erotus p(x) – q(x) = (3x² – 2x + 1) – (-x² + 2x – 1)

= 3x² – 2x + 1 + x² – 2x + 1

= 4x² – 4x + 2

POLYNOMIEN KERTOLASKU

E.10. Laske a) –3x²  4x³

= -12x⁵

b) 4  5x - 10x

= 20x – 10x = 10x c) 4(3x – 2)

=12x - 8

d) 4x(2x + 2)

=8x² + 8x

e) (2x – 1) (3x + 2)

=6x² + 4x – 3x – 2 = 6x² + x - 2

POLYNOMIN JAKAMINEN MONOOMILLA Jokainen polynomin termi jaetaan monomilla E.11. Laske

2

2 4

2 3

6

12 ) 18

8 24 )16

6 )12 3

) 6

x

x d x

c x x b x

a x   



Tekijöihin jako

Esimerkkejä Jaa tekijöihin 6x + 12

=6(x + 2)

4x

- 12x

=4x(x -3)

5.2. Binomin laskusääntöjä

5.2.1. Summan ja erotuksen tulo

(a + b)(a – b) = a

– b

E.1.

a) (x + 2) (x – 2) = x

– 2

= x

– 4

b) (y - 4) (y + 4) = y

– 4

= y

- 16

c) (3x - 5) (3x + 5) = (3x)

– 5

= 9x

- 25

d) (x

+ 3) (x

– 3) = (x

)

– 3

= x

- 9

e) (3 + x) (x – 3) = (x + 3)(x – 3) = x

- 9

f) 4(x + 1) (x – 1)

= 4(x

– 1) = 4x

- 4

a

– b

= (a+b)(a – b)

E.2. Jaa tekijöihin a) x

– 9

= x

– 3

= (x + 3)(x -3) b) 4x

– 25

= (2x)

– 5

= (2x – 5)(2x + 5) c) x

– 4x

= x

(x

-4)

E.3. Poista neliöjuuret nimittäjästä

2 3

5

 ( 3 2 )( 3 2 ) )

2 3

( 5





 

2

2

( 2 )

) 3 (

) 2 3

( 5



 

2 3

) 2 3

( 5



 

) 2 3

(

5 



BINOMIN NELIÖ

(a + b)

= a

+ 2ab + b

(a - b)

= a

- 2ab + b

E.4.

a) ( x + 3)

= x

+ 2  x  3 + 3

= x

+ 6x + 9

b) ( x - 4)

= x

- 2  x  4 + 4

= x

- 8x + 16

c) (3 x + 1)

= (3x)

- 2 3x  1 + 1

= 9x

- 6x + 1

d) ( - ½x + 5)

= (5 - ½x)

= 5

- 2  5  ½x + (½x)

= 25 - 5x + ¼ x

a

+ 2ab + b

= (a + b)

a

- 2ab + b

= (a - b)

E.5. Jaa tekijöihin esittämällä binomin neliönä a) x

+ 8x + 16

= x

+ 2  x  4 + 4

= (x + 4)

b) x

+ 20x + 100

= x

+ 2  x  10 + 10

= (x + 10)

c) 4x

+ 12x + 9

= (2x)

+ 2 2x  3 + 3

= (2x + 3)

Neliöjuuren määritelmän käyttöä

a b

a   b  0 ja b



Luvun a neliöjuuri:

17 2

3 34

6

35   

Osoita likiarvoja käyttämättä, että

17 2

3 17

2

3  

 

i)

 18  17 > 0

)

17 2

3

(  ^{ 9  2  2  3 2  17  17  18  6 34  17  35  6 34}

ii)

6.1.1. Polynomifunktion perusmuoto

E.1.

= (x² – 9)(9x² – 24x + 16)

= 9x⁴ – 24x³ + 16x² - 81x² + 216x -144 = 9x⁴ – 24x³ - 65x² + 216x -144

(perusmuoto) asteluku: 4

aste myös: 1 + 2 + 1 = 4

laskemalla yhteen tulon tekijöiden asteet

6.1.2 Polynomifunktion tutkiminen graafisesti

E.1.

f(x) = x – 1

g(x) = –x² + 2x + 1

a) g(x) = -2 b) f(x) = g(x) c) f(x) < 2

d) g(x) ≥ f(x)

x = -1 ja x = 3

x = -1 ja x = 2

x < 3

-1 ≤ x ≤ 2

6.1.3. Polynomifunktio matemaattisena mallina

E.1. Tuotteiden hinta riippuu lineaarisesti niiden hinnasta Kuukausittainen menekki astioille kuukaudessa:

Yksikköhinta menekki

10 150

15 110

a) f, joka ilmoittaa astioiden menekin hinnasta f(x) = kx + b

f(10) = 150 f(15) = 110













110 15

150 10

b k

b

k _(-1)

















110 15

150 10

b k

b k

5k = -40 k = -8

10(-8) + b = 150 b = 230 f(x) = -8x + 230

b) Mikä on funktion määrittelyehto

Hinta positiivinen

=> x > 0

Menekki positiivinen:

-8x + 230 > 0 -8x > -230

x < 28,75 0 < x < 28,75

c) Millä hinnalla menekki on 180?

-8x + 230 = 180

-8x = 180 – 230 -8x = -50

x = 6,25

V: yksikköhinta 6,25 €

d) Kuvaaja