Luku 8 – Tehtävien malliratkaisut

(1)

8.1

Merkitään suurempaa luvuista kirjaimella 𝑥. Tällöin pienempi luvuista on 𝑥 −6.

Lukujen tuloa kuvaava lauseke on tällöin 𝑥(𝑥 −6).

Lukujen tulo on 91. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan 𝑥.

𝑥(𝑥 −6) = 91

𝑥= −7 tai 𝑥= 13

Luvut ovat positiivisia, joten ratkaisuista vain 𝑥= 13 kelpaa.

Pienempi luku on tällöin 13−6 = 7.

Vastaus: 7 ja 13

Yhtälö ratkaistu CAS- laskimella.

(2)

a)

Jos merkitään suurempaa lukua kirjaimella 𝑥, pienempi luvuista on 𝑥 −7.

Tällöin lukujen tulon yhtälö on 𝑥(𝑥 −7) = 330.

Jos merkitään pienempää lukua kirjaimella 𝑥, suurempi luvuista on 𝑥+ 7.

Tällöin lukujen tulon yhtälö on 𝑥(𝑥+ 7) = 330.

Yhtälöistä oikein ovat siis B ja D.

b) Tapa 1

Ratkaistaan luvut yhtälön B avulla.

𝑥(𝑥+ 7) = 330

𝑥= −22 tai 𝑥= 15

Koska luvut olivat positiivisia, vain ratkaisu 𝑥= 15 käy. Toinen luku on 15 + 7 = 22.

Luvut ovat siis 15 ja 22.

Tapa 2

Ratkaistaan luvut yhtälön D avulla.

𝑥(𝑥 −7) = 330

𝑥= −15 tai 𝑥= 22

Koska luvut olivat positiivisia, vain ratkaisu 𝑥= 22 käy. Toinen luku on 22−7 = 15.

Vastaus: a) B ja D b) 15 ja 22

(3)

a)

Suorakulmion pinta-ala on kannan ja korkeuden tulo, eli pinta-alan lauseke on 𝐴(𝑥) =𝑥(𝑥+ 5) (cm ).

b)

Merkitään lauseke yhtä suureksi kuin 204 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

𝐴(𝑥) = 204 𝑥(𝑥+ 5) = 204

𝑥= −17 tai 𝑥= 12

Koska pituus on aina positiivinen, vain ratkaisu 𝑥= 12 cm käy. Toinen sivu on 12 + 5 = 17 cm.

Sivujen pituudet ovat 12 cm ja 17 cm.

Vastaus: a) 𝐴(𝑥) =𝑥(𝑥+ 5) (cm ) b) 12 cm ja 17 cm

(4)

Merkitään lukua kirjaimella 𝑥.

Jos kahden luvun summa 27, tulee toisen luvun olla 27− 𝑥.

𝑥(27− 𝑥) = 152

𝑥= 8 tai 𝑥= 19

Jos 𝑥= 8, niin toinen luku on 27−8 = 19.

Jos 𝑥= 19, niin toinen luku on 27−19 = 8.

Vastaus: 8 ja 19

(5)

Suorakulmion pinta-alan lauseke on (cm ) (𝑥+ 20)(𝑥 −15).

Merkitään lauseke yhtä suureksi kuin 135 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

(𝑥+ 20)(𝑥 −15) = 135

𝑥= −23,5059. . .≈ −23,506 tai 𝑥= 18,5059. . .≈ 18,506

Koska pituus on aina positiivinen, niin 𝑥 −15≥0

𝑥 ≥15

Valitaan siis ratkaisu 𝑥 ≈ 18,506 (cm) Sivujen pituudet ovat tällöin

18,506−15 = 3,506≈ 3,5 cm ja 18,506 + 20 = 38,506≈ 38,5 cm.

Vastaus: 3,5 cm ja 38,5 cm

x - 15

x + 20

(6)

a)

Koska aitaa on käytettävissä 10 m, on suorakulmion kannan ja korkeuden summa on 10 m.

Merkitään korkeutta kirjaimella x (m).

Nyt kannan lauseke on 10− 𝑥 (m).

Tällöin erisuuntaisten sivujen aidan pituus on 𝑥+ (10− 𝑥) = 10 Erisuuntaisen sivun lauseke on siis 10− 𝑥 (m).

b)

Altaan pinta-ala saadaan kannan ja korkeuden tulona.

Pinta-alan lauseke on siis 𝑥(10− 𝑥). Koska sivujen yksiköt ovat metriä, on pinta-alan yksikkö m .

Altaan pinta-ala on suurimmillaan 21,5 m .

Merkitään pinta-alan lauseke yhtä suureksi kuin 21,5 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

𝑥(10− 𝑥) = 21,5

𝑥= 3,129… tai 𝑥= 6,870…

Lasketaan saaduilla ratkaisuilla toisen sivun pituus:

10−3,129. . . = 6,870. . .≈6,9 m ja 10−6,870. . . = 3,129. . .≈3,1 m.

Uima-altaan sivujen pituudet ovat siis 6,9 m ja 3,1 m.

Vastaus: a) 10− 𝑥 (m) b) 3,1 m ja 6,9 m

10 – x

x

(7)

a)

Koska ympärysmitta on 8 m, on suorakulmion kannan ja korkeuden summan oltava puolet tästä eli 4 m.

Merkitään korkeutta kirjaimella x (m).

Nyt kannan lauseke on 4− 𝑥 (m).

Tällöin ympärysmitta on 𝑥+𝑥+ (4− 𝑥) + (4− 𝑥) = 8 (m) Erisuuntaisen sivun lauseke on siis 4− 𝑥 (m).

b)

Hiekkalaatikon pinta-ala saadaan kannan ja korkeuden tulona.

Pinta-alan lauseke on siis 𝑥(4− 𝑥) (m ). Laatikon pinta-ala on 3,5 m .

Merkitään pinta-alan lauseke yhtä suureksi kuin 3,5 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

𝑥(4− 𝑥) = 3,5

𝑥= 1,292. . . tai 𝑥= 2,707. ..

4−1,292. . . = 2,707. . .≈2,7 m ja 4−2,707. . . = 1,292. . .≈1,3 m.

Vastaus: a) 4− 𝑥 (m) b) 1,3 m ja 2,7 m

4 – x

x

(8)

Merkitään poisleikattavan kaistaleen leveyttä kirjaimella x (cm).

Jäljelle jääneen julisteen sivujen pituudet ovat tällöin 50− 𝑥 (cm) ja 70− 𝑥 (cm).

Muodostetaan lauseke jäljelle jääneen julisteen pinta-alalle.

(50− 𝑥)(70− 𝑥) (cm )

Jäljelle jääneen julisteen pinta-ala on

2600 cm . Merkitään pinta-alan lauseke yhtä suureksi kuin 2600 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

(50− 𝑥)(70− 𝑥) = 2600

𝑥= 8,038. . .≈ 8,0 (cm) tai 𝑥= 111,961. . .≈ 112,0 (cm)

Yhtälöllä on kaksi ratkaisua. Pois leikattava kaistale ei voi olla kuitenkaan pidempi kuin sivu, joten ratkaisu 𝑥= 112,0 ei kelpaa.

Näin ollen pois leikattavan kaistaleen leveys on 8,0 cm.

Vastaus: 8,0 cm

(9)

Tuotteen myyntitulot saadaan kertomalla tuotteen hinta myydyllä määrällä.

Näin ollen tuotteen myyntitulojen lauseke on 𝑥(50 + 12𝑥) (€).

Tiedetään, että myyntitulot ovat 1650 €. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan kilohinta x.

𝑥(50 + 12𝑥) = 1650

𝑥=−13,993. . . tai 𝑥= 9,826. ..

Kilohinta ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisuksi käy ainoastaan 𝑥= 9,826. . .≈ 9,83 (€ kg⁄ )

Vastaus: 9,83 € kg⁄

(10)

Merkitään peilin kehyksen leveyttä kirjaimella x (cm).

Koska kehys on sivujen molemmissa päissä, ovat peiliosan sivujen pituudet 75−2𝑥 (cm) ja 165−2𝑥 (cm).

Muodostetaan lauseke jäljelle jääneen julisteen pinta-alalle.

(75−2𝑥)(165−2𝑥) (cm )

Jäljelle jääneen julisteen pinta-ala on 9630 cm . Merkitään pinta-alan lauseke

yhtä suureksi kuin 9630 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

(75−2𝑥)(165−2𝑥) = 9630

𝑥= 6,020. . .≈ 6,0 (cm) tai 𝑥= 113,979. . .≈ 114,0 (cm)

Yhtälöllä kaksi ratkaisua. Kehyksen leveys ei voi olla kuitenkaan pidempi kuin peilin sivu, joten ratkaisu 𝑥 ≈114,0 ei kelpaa.

Näin ollen pois peilin kehyksen leveys on 6,0 cm

Vastaus: 6,0 cm

(11)

Päivittäiset myyntitulot saadaan kertomalla myyntihinta myyntimäärällä.

Tällä hetkellä myyntimäärä on 230 kg päivässä kilohinnalla 3,80 € kg⁄ .

Merkitään hinnan muutosta kirjaimella x (euroa). Jos x on positiivinen, hinta kasvaa.

Jos x on negatiivinen, niin kilohinta laskee.

Hinnan muutoksen jälkeen uusi hinta on 3,80 +𝑥. Myyntimäärä muutoksen jälkeen on 230−52𝑥 (kg).

Päivittäisten myyntitulojen lauseke on tällöin (3,80 +𝑥)(230−52𝑥) (euroa).

Myyntitulojen pitää olla 800 euroa. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan hinnan muutos x.

(3,80 +𝑥)(230−52𝑥) = 800

𝑥=−0,921. . . tai 𝑥= 1,544. ..

Lasketaan kilohinnat saaduilla hinnan muutosten arvoilla.

3,80−0,921. . . = 2,878. . .≈2,88 € kg⁄ 3,80 + 1,544. . . = 5,344. . .≈5,34 € kg⁄ .

Myyntitulot ovat 800 euroa, kun kilohinnat ovat 2,88 € kg⁄ tai 5,34 € kg⁄ Vastaus: 2,88 € kg⁄ tai 5,34 € kg⁄

(12)

Merkitään pienempää luvuista kirjaimella 𝑥. Koska luvut ovat peräkkäiset kokonaisluvut, on suurempi luvuista 𝑥+ 1.

Lukujen tuloa kuvaava lauseke on tällöin 𝑥(𝑥+ 1).

𝑥(𝑥+ 1) = 992

𝑥= −32 tai 𝑥= 31

Kun 𝑥=−32, on suurempi luku −32 + 1 =−31.

Kun 𝑥= 31, on suurempi luku 31 + 1 = 32.

Luvut ovat joko −32 ja −31 tai 31 ja 32.

Vastaus: −32 ja −31 tai 31 ja 32

(13)

a)

Merkitään toista lukua kirjaimella x. Koska lukujen summan tulee olla 20, on toinen luku 20− 𝑥.

Lukujen tuloa kuvaava lauseke on tällöin 𝑥(20− 𝑥).

Lukujen tulon tulisi olla 96. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan 𝑥.

𝑥(𝑥 −20) = 96

𝑥= 8 tai 𝑥= 12

Kun 𝑥= 8, on suurempi luku 20−8 = 12.

Kun 𝑥= 12, on suurempi luku 20−12 = 8.

Lukujen 8 ja 12 lukujen summa on 20 ja tulo 96.

b)

Lukujen tulon tulisi olla 98. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan 𝑥.

𝑥(𝑥 −20) = 98

𝑥= 8,585. . . tai 𝑥= 11,414. ..

Koska kumpikaan ei ole kokonaisluku, ei ole olemassa kokonaislukuja, joiden summa on 20 ja tulo 98.

Vastaus: a) Kyllä on. Luvut ovat 8 ja 12. b) Ei ole.

(14)

Koska ympärysmitta on 24 m, on laiturin

pituuden ja leveyden summan oltava puolet tästä eli 12 m.

Merkitään leveyttä kirjaimella x (m).

Nyt pituuden lauseke on 12− 𝑥 (m).

Tällöin ympärysmitta on 𝑥+𝑥+ (12− 𝑥) + (12− 𝑥) = 24 (m) Hiekkalaatikon pinta-ala saadaan pituuden ja leveyden tulona.

Pinta-alan lauseke on siis 𝑥(12− 𝑥). Koska sivujen yksiköt ovat metriä, on pinta-alan yksikkö m . Laatikon pinta-ala on 23 m .

𝑥(12− 𝑥) = 23

𝑥= 2,394. . .≈2,4 (m) tai 𝑥= 9,605. . .≈9,6 (m)

12−2,394. . . = 9,605. . . . .≈9,6 m ja 12−9,605. . . = 2,394. . .≈2,4 m.

Vastaus: 2,4 m ja 9,6 m.

12 – x

x

(15)

Merkitään leveyttä kirjaimella 𝑥 (m).

Nyt pituuden lauseke on 𝑥+ 30 (m).

Tontin pinta-ala on pituuden ja leveyden tulo.

Pinta-alan lauseke on siis 𝑥(𝑥+ 30). Koska sivujen yksiköt ovat metriä, on pinta-alan yksikkö m .

Tontin pinta-ala on 2800 m . 𝑥(𝑥+ 30) = 2800

𝑥=−70 tai 𝑥= 40

Pituus ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisu 𝑥 = 40 metriä ainoastaan kelpaa.

Vastaus: 40 m

(16)

Merkitään taulun kehyksen leveyttä kirjaimella x (cm).

Koska kehys on sivujen molemmissa päissä, on kehystetyn taulun sivujen pituudet 40 + 2𝑥 (cm) ja 30 + 2𝑥 (cm).

Muodostetaan lauseke taulun kokonaispinta-alalle.

(40 + 2𝑥)(30 + 2𝑥) (cm )

Kehystetyn taulun pinta-ala on 1420 cm .

Merkitään pinta-alan lauseke yhtä suureksi kuin 1420 ja ratkaistaan muuttuja 𝑥.

(40 + 2𝑥)(30 + 2𝑥) = 1420

𝑥= −36,506. . .≈ −36,0 tai 𝑥= 1,506. . .≈ 1,5

Yhtälöllä kaksi ratkaisua. Kehyksen leveys ei voi olla negatiivinen, joten ratkaisu 𝑥 ≈ −36,0 ei kelpaa.

Näin ollen pois peilin kehyksen leveys on 1,5 cm

Vastaus: 1,5 cm

(17)

Jaetaan talon pohja kahteen suorakulmioon kuvan mukaisesti.

Toisen suorakulmion pituus on 15 m ja leveys 𝑥. (metriä)

Toisen suorakulmion pituus on 𝑥 ja leveys 20− 𝑥. (metriä)

Koska pinta-ala on pituuden ja leveyden tulo, saadaan suorakulmioiden pinta-alojen lausekkeiksi 15𝑥 ja 𝑥(20− 𝑥) (m ). Talon pinta-alan lauseke on näiden summa eli 15𝑥+𝑥(20− 𝑥).

Kokonaispinta-alan tulee olla rakennusoikeiden suuruinen, eli 200 m . Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan 𝑥.

15𝑥+𝑥(20− 𝑥) = 200

𝑥 = 7,192. . .≈7,2 (m) tai 𝑥 = 27,807. . .≈27 (m)

Jos 𝑥 ≈ 27 olisi suorakulmion sivun pituus 20−27 =−7 negatiivinen, mikä ei ole mahdollista. Näin ollen ainoa ratkaisu on 𝑥 ≈7,2 m.

Vastaus: 7,2 m

(18)

Aitauksen leveys on siis 𝑥 (m) ja pituus 2𝑥 (m).

Verkko-osa koostuu neljästä suorakulmiosta:

• Kaksi sivua, joiden molempien pinta-alat ovat 2𝑥 (m ),

• Päätyseinä, jonka pinta-ala on 2⋅2𝑥= 4𝑥 (m ),

• Katto, jonka pinta-ala on 𝑥 ⋅2𝑥= 2𝑥 (m )

Näin ollen koko verkko-osan pinta-alan lauseke on 2⋅2𝑥+ 4𝑥+ 2𝑥 = 2𝑥 + 8𝑥.

Verkkoa on käytettävissä 26 m . Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan 𝑥.

2𝑥 + 8𝑥= 26

𝑥=−6,123. . .≈ −6,1 tai 𝑥= 2,123. . .≈2,1

Leveys ei voi olla negatiivinen, joten vain ratkaisu 𝑥 ≈2,123. . .≈2,1 m käy.

Tällöin aitauksen pituus on 2⋅2,123. . . = 4,246. . .≈4,2 m.

Aitauksen leveys on 2,1 m ja pituus 4,2 m.

Vastaus: leveys 2,1 m ja pituus 4,2 m

(19)

Porkkanan hinta on 𝑥 € kg⁄ ja myyntimäärää (kg) kuvaa lauseke 245,5−80,4𝑥.

Päivittäisten myyntitulojen lauseke on tällöin 𝑥(245,5−80,4𝑥) (euroa).

Myyntitulojen pitää olla 180 euroa. Muodostetaan lauseke ja selvitetään hinta x.

𝑥(245,5−80,4𝑥) = 180

𝑥= 1,223. . .≈ 1,22 (€ kg)⁄ tai 𝑥= 1,830. . .≈ 1,83 (€ kg)⁄

Koska kilohinta ei saa olla yli 1,50 € kg⁄ ei ratkaisu 𝑥= 1,83 (€ kg)⁄ kelpaa.

Kilohinnan on siis oltava 𝑥= 1,223. . .≈ 1,22 € kg⁄

Vastaus: 1,22 € kg⁄

(20)

a)

Lounasajan myyntitulot saadaan kertomalla myyntihinta myyntimäärällä.

Tällä hetkellä myyntimäärä on 36 kg päivässä kilohinnalla 14,90 € kg⁄ .

Merkitään hinnan muutosta kirjaimella x (euroa). Jos x on positiivinen, hinta kasvaa. Jos x on negatiivinen, niin kilohinta laskee.

Hinnan muutoksen jälkeen uusi kilohinta on 14,90 +𝑥. Myyntimäärä muutoksen jälkeen on 36−2,5𝑥 (kg).

Lounasajan myyntitulojen lauseke on tällöin (14,90 +𝑥)(36−2,5𝑥) (€).

Myyntitulot ovat 540 euroa. Muodostetaan lauseke ja selvitetään hinnan muutos x.

(14,90 +𝑥)(36−2,5𝑥) = 520

𝑥=−2,823. . . tai 𝑥= 2,323. ..

Lasketaan kilohinnat saaduilla hinnan muutosten arvoilla.

14,90−2,823. . . = 12,076. . .≈12,08 € kg⁄ 14,90 + 2,323. . . = 17,223. . .≈17,22 € kg⁄ Kilohinta on joko 12,08 € kg⁄ tai 17,22 € kg⁄ b)

Salaattia on myyty 520 eurolla.

Jos hinta on 12,08 € kg⁄ , on salaattia myyty _, _...≈ 43,060≈43,1 kg.

Jos hinta on 17,22 € kg⁄ , on salaattia myyty _, _...≈ 30,192. . .≈ 30,2 kg.

Vastaus: a) 12,08 € kg⁄ tai 17,22 € kg⁄ b) 43,1 kg tai 30,2 kg

(21)

Tapahtuman myyntitulot saadaan kertomalla lettujen myyntihinta myyntimäärällä.

Kun letun hinta on 4,00 €, niitä myydään 120 kpl.

Merkitään hinnan muutosta kirjaimella x (euroa). Jos x on positiivinen, hinta kasvaa.

Jos x on negatiivinen, niin kilohinta laskee.

Hinnan muutoksen jälkeen uusi hinta on 4,00 +𝑥. Jokainen 10 sentin korotus pienentää myyntimäärä 5 kpl, jolloin euron korotus pienentää myyntimäärä 50 kpl.

Lettujen myyntimäärä hinnanmuutoksen jälkeen on siis 120−5⋅10𝑥= 120−50𝑥 kpl.

Tapahtuman myyntitulojen lauseke on tällöin (4,00 +𝑥)(120−50𝑥) (euroa).

Myyntitulot voivat olla maksimissaan 512 euroa. Muodostetaan lauseke ja selvitetään hinnan muutos x.

(4,00 +𝑥)(120−50𝑥) = 512 𝑥=−0,8 (€)

Yhtälöllä on yksi ratkaisu 𝑥 =−0,8 (€), eli hintaa pitää laskea 80 senttiä.

Tällöin hinta on 4,00−0,80 = 3,20 €.

Myyntitulot ovat 512 euroa, kun letun kappalehinta on 3,20 €.

Vastaus: 3,20 €