Osoita: Jos |x− 12|<10−2, niin |x2− 14|&lt

Analyysi I

Harjoitus 4/2002

1. Osoita: Jos |x− ¹₂|<10⁻², niin |x²− ¹₄|< ³₂ ·10⁻².

2. Osoita: Jos |x−4|<10⁻⁴, niin |x³+ 2x²−(4³+ 2·4²)|<10⁻². 3. Osoita: Jos 0< ε <1 ja |x−2|<2ε, niin

¯¯

¯¯1

x− 1

2

¯¯

¯¯< ε.

4. Olkoon 0< ε <1 ja |x−3|< ε. Tutki, kuinka suuri korkeintaan on

¯¯

¯¯ 1

2x+ 1 − 1 2·3 + 1

¯¯

¯¯

luvun ε avulla ilmaistuna.

5. Osoita: Jos 0< ε <1 ja |x+ 2|<10⁻²ε, niin

¯¯

¯¯ 1

3x+ 5 + 1

¯¯

¯¯<10⁻¹ε.

(Vihje! Kirjoita 1 =−_3·(−2)+5¹ .)

6. Osoita ε, δ-m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a

x→−5lim 1

2x+ 1 =−1 9.

7. Osoita ε, δ-m¨a¨aritelm¨a¨a k¨aytt¨aen, ett¨a

x→0limx³² = 0.