5.1
Päätellään funktion kuvaajan aukeamissuunta kertoimen a merkistä. Jos a < 0, niin kuvaaja aukeaa alaspäin, ja jos a > 0, niin kuvaaja aukeaa ylöspäin.
Funktio
f(x) = ax2 + bx + c a b c kuvaajan
aukeamissuunta f(x) = 3x2 – 4x – 2 3 −4 −2 Ylöspäin
g(x) = x2 + x 1 1 0 Ylöspäin
h(x) = –2x2 + 9 −2 0 9 Alaspäin
k(x) = 3x – x2 – 5 −1 3 −5 Alaspäin
a)
Yhtälö 𝑥 −6𝑥 5 0 on muotoa 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0, jossa 𝑎 1,𝑏 −6 ja 𝑐 5. Sijoitetaan luvut toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan.
𝑥 −6𝑥 5 0
𝑥 − −6 −6 −4⋅1⋅5 2⋅1
𝑥 6 √16 2
6 4
2 𝑥 6 4
2
10
2 5 tai 𝑥 6−4 2
2 2 1 Yhtälön ratkaisu on 𝑥 1 tai 𝑥 5.
b)
Yhtälö 𝑥 𝑥 −6 0 on muotoa 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0, jossa 𝑎 1,𝑏 1 ja 𝑐 −6. Sijoitetaan luvut toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaan.
𝑥 𝑥 −6 0
𝑥 −1 1 −4⋅1⋅ −6 2⋅1
𝑥 −1 √25 2
−1 5 2
𝑥 −1 5 2
4
2 2 tai 𝑥 −1−5 2
−6
2 −3
Yhtälön ratkaisu on 𝑥 −3 tai 𝑥 2.
Vastaus: a) 𝑥 1 tai 𝑥 5 b) 𝑥 −3 tai 𝑥 2
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
1. Sijoita kertoimien lukuarvot
ratkaisukaavaan. Laita negatiiviset luvut sulkeisiin.
2. Laske juuren sisällä oleva neliö ja kertolaskut.
3. Laske juuren sisällä oleva summa.
4. Laske juuren arvo.
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
a)
Toisen asteen yhtälön 4𝑥 5𝑥 1 0 kertoimet ovat 𝑎 4,𝑏 5 ja 𝑐 1.
Sijoitetaan ne ratkaisukaavaan.
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
𝑥 −5 √5 −4⋅4⋅1 2⋅4
𝑥 −5 √9 8
−5 3 8
𝑥 −5 3 8
−2
8 −1
4 tai 𝑥 −5−3 8
−8
8 −1
Yhtälön ratkaisu on 𝑥 −1 tai 𝑥 − . b)
Toisen asteen yhtälön −6𝑥 𝑥 2 0 kertoimet ovat 𝑎 −6,𝑏 1 ja 𝑐 2.
𝑥 −1 1 −4⋅ −6 ⋅2 2⋅ −6
𝑥 −1 √1 48
−12 𝑥 −1 √49
−12
−1 7
−12
𝑥 −1 7
−12
6
−12 −1
2 tai 𝑥 −1−7
−12
−8
−12 2 3 Yhtälön ratkaisu on 𝑥 − tai 𝑥 .
Vastaus: a) 𝑥 −1 tai 𝑥 − b) 𝑥 − tai 𝑥
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
a)
Toisen asteen yhtälön 2𝑥 7𝑥 −15 0 kertoimet ovat 𝑎 2,𝑏 7 ja 𝑐 −15.
𝑥 −7 7 −4⋅2⋅ −15 2⋅2
𝑥 −7 √49 120 4
𝑥 −7 √169 4
−7 13 4
𝑥 −7 13 4
6 4
3
2 tai 𝑥 −7−13 4
−20
4 −5
Yhtälön ratkaisu on 𝑥 −5 tai 𝑥 . b)
Toisen asteen yhtälön 𝑥 −17𝑥 16 0 kertoimet ovat 𝑎 1,𝑏 −17 ja 𝑐 16.
𝑥 − −17 −17 −4⋅1⋅16 2⋅1
𝑥 17 √289−64 2
𝑥 17 √225 2
17 15 2
𝑥 17 15 2
32
2 16 tai 𝑥 17−15 2
2 2 1 Yhtälön ratkaisu on 𝑥 1 tai 𝑥 16.
Vastaus: a) 𝑥 −5 tai 𝑥 b) 𝑥 1 tai 𝑥 16
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
Neliöjuuri voidaan laskea peruslaskimella.
a)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0.
𝑥 1 2𝑥 𝑥 −2𝑥 1 0
Tässä yhtälössä 𝑎 1,𝑏 −2 ja 𝑐 1.
𝑥 − −2 −2 −4⋅1⋅1 2⋅1
𝑥 2 √4−4 2 𝑥 2 √0
2
2
2 1
Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu 𝑥 1.
b)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐 0.
𝑥 −3 𝑥
−𝑥 𝑥 −3 0
Tässä yhtälössä 𝑎 −1,𝑏 1 ja 𝑐 −3.
𝑥 −1 1 −4⋅ −1 ⋅ −3 2⋅ −1
𝑥 −1 √1−12
−2 𝑥 −1 √−11 −2
Juurrettava −11 on negatiivinen luku, joten neliöjuurella √−11 ei ole arvoa.
Yhtälöllä ei ole tällöin ratkaisua.
Vastaus: a) 𝑥 1 b) ei ratkaisua
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
𝑥 −𝑏 √𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
Siirrä termejä niin, että yhtälön oikealle puolelle tulee nolla.
Järjestä termit.
Luvun 0 neliöjuuri on nolla.
Juurrettavaksi tuli negatiivinen luku –11.
a)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
𝑥 +5= 3𝑥 −2 𝑥 −3𝑥+7= 0
𝑥 =−3 ± (−3) −4⋅1⋅7 2⋅1
𝑥=−3 ±√9−28 2 𝑥=−3 ±√−19
2
Juurrettava −19 on negatiivinen luku, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.
b)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
2− 𝑥 =5𝑥 − 𝑥
−6𝑥 +𝑥+2=0
𝑥=−1 ± 1 −4⋅(−6)⋅2 2⋅(−6)
𝑥=−1 ±√1+48
−12 𝑥=−1 ±√49
−12 =−1 ± 7
−12
𝑥=−1+7
−12 = 6
−12=−1
2 tai 𝑥= −1−7
−12 = −8
−12= 2 3 Yhtälön ratkaisu on 𝑥=− tai 𝑥= .
Vastaus: a) ei ratkaisua b) 𝑥=− tai 𝑥=
a = 1, b = -3, c = 7
a = -6, b = 1, c = 2
a) Nollakohdat ovat ne muuttujan x arvot, jolla funktion arvo on nolla. Muodostetaan yhtälö, jossa funktio on nolla.
𝑓(𝑥) =0
−2𝑥 +5𝑥+3=0.
𝑥 =−5 ± 5 −4⋅(−2)⋅3 2⋅(−2)
𝑥=−5 ±√25+24
−4 𝑥=−5 ±√49
−4 =−5 ± 7
−4
𝑥 =−5+7
−4 = 2
−4=−1
2 tai 𝑥= −5−7
−4 =−12
−4 =3 Funktion nollakohdat ovat 𝑥=− tai 𝑥=3.
b) Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, jossa funktion arvo on merkitty yhtä suureksi kuin 6.
𝑓(𝑥) =6
−2𝑥 +5𝑥+3=6
−2𝑥 +5𝑥 −3=0
𝑥 =−5 ± 5 −4⋅(−2)⋅(−3) 2⋅(−2)
𝑥=−5 ±√25−24
−4 𝑥=−5 ±√1
−4 =−5 ± 1
−4
𝑥 =−5+1
−4 =−4
−4=1 tai 𝑥=−5−1
−4 = −6
−4= 3 2 Funktion arvo on 6, kun 𝑥=1 tai 𝑥= .
Vastaus: a) 𝑥=− tai 𝑥=3 b) 𝑥=1 tai 𝑥=
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎 a = -2, b = 5, c = 3
Sievennetään yhtälö muotoon ax2 + bx + c = 0.
a = -2, b = 5 ja c = -3
Nollakohdissa funktion arvo on nolla. Muodostetaan yhtälö, jossa funktion arvo on merkitty nollaksi.
a)
𝑓(𝑥) =0 𝑥 +𝑥+1= 0
𝑥 =−1 ±√1 −4⋅1⋅1 2⋅1
𝑥=−1 ±√1−4 2 𝑥=−1 ±√−3
2
Juurrettava −3 on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua. Funktiolla ei ole nollakohtia.
b)
𝑔(𝑥) =0 2− 𝑥 − 𝑥 =0
−𝑥 − 𝑥+2=0
𝑥 =−(−1)± (−1) −4⋅(−1)⋅2 2⋅(−1)
𝑥=1 ±√1+8
−2 𝑥=1 ±√9
−2 = 1 ± 3
−2
𝑥 =1+3
−2 = 4
−2= −2 tai 𝑥=1−3
−2 =−2
−2=1 Funktion nollakohdat ovat 𝑥=−2 tai 𝑥= 1
Vastaus: a) ei nollakohtia b) 𝑥= −2 tai 𝑥=1
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎 a = 1, b = 1, c = 1
a = -1, b = -1, c = 2
a) Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, jossa funktio on merkitty yhtä suureksi kuin 1.
𝑓(𝑥) =1 3𝑥 +5𝑥 −1= 1 3𝑥 +5𝑥 −2= 0
𝑥 =−5 ± 5 −4⋅3⋅(−2) 2⋅3
𝑥=−5 ±√25+24 6
𝑥=−5 ±√49
6 =−5 ± 7 6
𝑥 =−5+7
6 =2
6= 1
3 tai 𝑥= −5−7
6 =−12
6 =−2 Funktion arvo on 1, kun 𝑥=−2 tai 𝑥 = .
b) Merkitään funktiot yhtä suuriksi.
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥) 3𝑥 +5𝑥 −1= 𝑥 +2 2𝑥 +5𝑥 −3= 0
𝑥 =−5 ± 5 −4⋅2⋅(−3) 2⋅2
𝑥=−5 ±√25+24 4
𝑥=−5 ±√49
4 =−5 ± 7 4
𝑥 =−5+7
4 =2
4= 1
2 tai 𝑥= −5−7
4 =−12
4 =−3 Funktioiden arvot ovat samat, kun 𝑥=−3 tai 𝑥= .
Vastaus: a) 𝑥=−2 tai 𝑥 = b) 𝑥=−3 tai 𝑥=
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎 a = 3, b = 5, c = -2
Sievennetään yhtälö muotoon ax2 + bx + c = 0.
a = 2, b = 5 ja c = -3
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
Kuvaajien leikkauspisteissä paraabelin ja suoran pisteen y-koordinaatit ovat yhtä suuret.
Leikkauspisteen x-koordinaatti saadaan siis ratkaisemalla yhtälö, jossa y-koordinaatit on merkitty yhtä suuriksi.
−2𝑥 +3=−𝑥+2
−2𝑥 +𝑥+1=0
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla.
𝑥 =−1 ± 1 −4⋅(−2)⋅1 2⋅(−2)
𝑥=−1 ±√1+8
−4 𝑥=−1 ±√9
−4 =−1 ± 3
−4
𝑥=−1+3
−4 = 2
−4=−1
2 tai 𝑥= −1−3
−4 =−4
−4=1
Kuvasta päätellään, että kysytyn pisteen P x-koordinaatti on negatiivinen 𝑥=− . Lasketaan pisteen y-koordinaatti sijoittamalla 𝑥= − yhtälöön 𝑦 =−𝑥+2.
𝑦=− −1
2 +2= 1 2+4
2= 5 2 Leikkauspiste P on siis − ,
Vastaus: 𝑃 = − ,
a = -2, b = 1, c = 1
Leikkauspisteissä paraabelin ja suoran pisteen y-koordinaatit ovat yhtä suuret.
Leikkauspisteen x-koordinaatti saadaan siis ratkaisemalla yhtälö, jossa y-koordinaatit on merkitty yhtä suuriksi.
𝑥 −2𝑥 −3= 𝑥 −5 𝑥 −3𝑥+2= 0
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla.
𝑥 =−(−3)± (−3) −4⋅1⋅2 2⋅1
𝑥=3 ±√9−8 2 𝑥=3 ±√1
2 = 3 ± 1 2
𝑥 =3+1 2 = 4
2=2 tai 𝑥= 3−1 2 =2
2= 1
Yhtälön ratkaisut 𝑥= 1 tai 𝑥=2 ovat leikkauspisteiden x-koordinaatit. Selvitetään y-koordinaatit sijoittamalla 𝑥=1 ja 𝑥=2 suoran yhtälöön 𝑦 =𝑥 −5.
Kun 𝑥=1, niin 𝑦= 1−5= −4.
Kun 𝑥=2, niin 𝑦= 2−5= −3.
Leikkauspisteet ovat siis (1,−4) ja (2,−3).
Vastaus: (1,−4) ja (2,−3)
a = 1, b = -3, c = 2
a)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
𝑥 +6𝑥= 2𝑥 +9
−𝑥 +6𝑥+−9= 0
𝑥=−6 ± 6 −4⋅(−1)⋅(−9) 2⋅(−1)
𝑥=−6 ±√36+36
−2 𝑥=−6 ±√0
−2 =−6
−2=3
Yhtälöllä on vain yksi ratkaisu 𝑥= 3.
b)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
5− 𝑥 =8− 𝑥
−𝑥 +𝑥 −3=0
𝑥 =−1 ± 1 −4⋅(−1)⋅(−3) 2⋅(−1)
𝑥=−1 ±√1−12
−2 𝑥=−1 ±√−11
−2
Juurrettava −11 on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.
Vastaus: a) 𝑥=3 b) ei ratkaisua
a = -1, b = 6, c = -9
Luvun 0 neliöjuuri on nolla.
a = -1, b = 1, c = -3
a)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
6𝑥 +13=19𝑥 −2𝑥 8𝑥 −19𝑥+13=0
𝑥 =−(−19)± (−19) −4⋅8⋅13 2⋅6
𝑥=19 ±√361−416 12
𝑥=19 ±√−55 12
Juurrettava −55 on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.
b)
Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
25−20𝑥=−4𝑥 4𝑥 −20𝑥+25=0
𝑥 =−(−20)± (−20) −4⋅4⋅25 2⋅4
𝑥=20 ±√400−400 8
𝑥=20 ±√0
8 = 20
8 =5 2
Yhtälön ratkaisu on 𝑥= .
Vastaus: a) ei ratkaisua b) 𝑥=
a = 8, b = -19, c = 13
Neliöjuuri voidaan laskea peruslaskimella.
a = 4, b = -20, c = 25
Neliöjuuri voidaan laskea peruslaskimella.
a) Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
(𝑥+3)(𝑥 −3) =8𝑥 𝑥 −3𝑥+3𝑥 −9−8𝑥= 0
𝑥 −8𝑥 −9= 0
𝑥 =−(−8)± (−8) −4⋅1⋅(−9) 2⋅1
𝑥=8 ±√64+36 2 𝑥=8 ±√100
2 = 8 ± 10 2
𝑥 =8+10 2 = 18
2 =9 tai 𝑥=8−10
2 =−2
2 =−1 Yhtälön ratkaisu on 𝑥=−1 tai 𝑥 =9.
b) Sievennetään ensin yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 =0.
18𝑥 −5= 3(3𝑥 −1) 18𝑥 −5= 9𝑥 −3 18𝑥 −9𝑥 −2= 0
𝑥=−(−9)± (−9) −4⋅18⋅(−2) 2⋅18
𝑥=9 ±√81+144 36 𝑥=9 ±√225
36 = 9 ± 15 36
𝑥=9+15 36 = 24
36=2
3 tai 𝑥=9−15 36 =−6
36 =−1 6 Yhtälön ratkaisu on 𝑥=− tai 𝑥= .
Vastaus: a) 𝑥=−1 tai 𝑥=9 b) 𝑥=− tai 𝑥=
Osittelulaki
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
a = 1, b = -8, c = -9
a = 18, b = -9, c = -2
Neliöjuuri voidaan laskea peruslaskimella.
a) Sievennetään yhtälön kertoimet kokonaisluvuiksi laventamalla kaikki ensin samannimisiksi ja kertomalla sitten yhteisellä nimittäjällä.
1
16𝑥 − 1 2
)
𝑥+ 3 4
)
= 0 1
16𝑥 − 8
16𝑥+12
16=0 | ⋅16 𝑥 −8𝑥+12=0
𝑥=−(−8)± (−8) −4⋅1⋅12 2⋅1
𝑥=8 ±√64−48 2 𝑥=8 ±√16
2 = 8 ± 4 2 𝑥=8+4
2 = 12
2 =6 tai 𝑥=8−4 2 =4
2= 2 Yhtälön ratkaisu on 𝑥=2 tai 𝑥= 6.
b) Sievennetään yhtälön kertoimet kokonaisluvuiksi laventamalla kaikki ensin samannimisiksi ja kertomalla sitten nimittäjällä.
1 2
)
𝑥 −1
6𝑥+ 1 3
)
=0 3
6𝑥 −1 6𝑥+2
6= 0 | ⋅6 3𝑥 − 𝑥+2= 0
𝑥=−(−1)± (−1) −4⋅3⋅2 2⋅3
𝑥=1 ±√1−24 6 𝑥=1 ±√−23
6
Juurrettava −23 on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua.
Vastaus: a) 𝑥=2 tai 𝑥= 6 b) ei ratkaisua
a = 1, b = -8, c = 12
a = 3, b = -1, c = 2
a) Ratkaistaan yhtälö toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.
𝑥 −7𝑥+2= 0
𝑥 =−(−7)± (−7) −4⋅1⋅2 2⋅1
𝑥=7 ±√49−8 2 𝑥=7 ±√41
2
Koska √41= 6,4103…, niin neliöjuuren arvo ei ole kokonaisluku. Annetaan tarkka arvo vastaukseksi, eli ilmaistaan luku juurimerkinnän avulla.
Yhtälön ratkaisu on 𝑥= √ tai 𝑥= √ .
b) Ratkaistaan yhtälö toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla.
3𝑥 −5𝑥+1= 0
𝑥=−(−5)± (−5) −4⋅3⋅1 2⋅3
𝑥=5 ±√25−12 6 𝑥=5 ±√13
6
Koska √13= 3,60555…, niin neliöjuuren arvo ei ole kokonaisluku. Annetaan tarkka arvo vastaukseksi, eli ei lasketa neliöjuuren likiarvoa.
Yhtälön ratkaisu on siis 𝑥= √ tai 𝑥= √ .
Vastaus: a) 𝑥= √ tai 𝑥= √ b) 𝑥= √ tai 𝑥= √
a = 1, b = -7, c = 2
a = 3, b = -5, c = 1
a) Nollakohdissa funktion arvo on nolla. Muodostetaan yhtälö, jossa funktion arvo on nolla.
𝑓(𝑥) =0 9𝑥 +6𝑥+1= 0
𝑥=−6 ±√6 −4⋅9⋅1 2⋅9
𝑥=−6 ±√36−36 18 𝑥=−6 ±√0
18 =−6
18 =−1 3
Funktiolla on yksi nollakohta 𝑥 =− .
b) Muodostetaan yhtälö, jossa funktion arvo on merkitty yhtä suureksi kuin 16.
𝑓(𝑥) =16 9𝑥 +6𝑥+1= 16 9𝑥 +6𝑥 −15= 0
𝑥=−6 ± 6 −4⋅9⋅(−15) 2⋅9
𝑥=−6 ±√36+540 18
𝑥=−6 ±√576
18 =−6 ± 24 18
𝑥=−6+24
18 =18
18= 1 tai 𝑥= −6−24
18 =−30
18 = −5 3 Funktio saa arvon 16, kun 𝑥= − tai 𝑥= 1.
Vastaus: a) 𝑥=− b) 𝑥=− tai 𝑥=1
a = 9, b = 6, c = 1
a = 9, b = 6, c = -15
Neliöjuuri voidaan laskea peruslaskimella.
Merkitään funktiot yhtä suuriksi ja sievennetään yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 = 0.
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)
2𝑥 −3𝑥 −10= −𝑥 −8𝑥 −2 3𝑥 +5𝑥 −8= 0
𝑥=−5 ± 5 −4⋅3⋅(−8) 2⋅3
𝑥=−5 ±√25+96 6
𝑥=−5 ±√121
6 =−5 ± 11 6
𝑥=−5+11
6 =6
6= 1 tai 𝑥 =−5−11
6 =−16
6 =−8 3 Funktiot saavat samat arvot, kun 𝑥=− tai 𝑥=1.
Vastaus: 𝑥= − tai 𝑥= 1
a = 3, b = 5, c = -8
Neliöjuuri voidaan laskea peruslaskimella.
a) Nollakohdissa funktion arvo on nolla. Muodostetaan yhtälö, jossa funktio saa arvon nolla.
𝑓(𝑥) =0 𝑥 +2𝑥+4= 0
𝑥 =−2 ±√2 −4⋅1⋅4 2⋅1
𝑥=−2 ±√4−16 2 𝑥=−2 ±√−12
2
Juurrettava −12 on negatiivinen, joten yhtälöllä ei ole ratkaisua, eikä funktiolla nollakohtia.
b) Merkitään funktion lausekkeet yhtä suuriksi ja sievennetään yhtälö muotoon 𝑎𝑥 +𝑏𝑥+𝑐 = 0.
𝑓(𝑥) =𝑔(𝑥)
𝑥 +2𝑥+4=4𝑥 +4𝑥+3
−3𝑥 −2𝑥+1=0
𝑥=−(−2)± (−2) −4⋅(−3)⋅1 2⋅(−3)
𝑥=2 ±√4+12
−6 𝑥=2 ±√16
−6 = 2 ± 4
−6
𝑥 =2+4
−6 = 6
−6= −1 tai 𝑥=2−4
−6 =−2
−6=1 3 Funktiot saavat saman arvon, kun 𝑥=−1 tai 𝑥=
Vastaus: a) ei nollakohtia b) 𝑥= −1 tai 𝑥=
a = 1, b = 2, c = 4
𝑥=−𝑏±√𝑏 −4𝑎𝑐 2𝑎
a = -3, b = -2, c = 1
Kuvaajien leikkauspisteissä paraabelin ja suoran pisteen y-koordinaatit ovat yhtä suuret.
Leikkauspisteen x-koordinaatti saadaan siis ratkaisemalla yhtälö, jossa y-koordinaatit on merkitty yhtä suuriksi.
3𝑥 =−𝑥+4 3𝑥 +𝑥+−4=0
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla.
𝑥=−1 ± 1 −4⋅3⋅(−4) 2⋅3
𝑥=−1 ±√1+48 6 𝑥=−1 ±√49
6 =−1 ± 7 6
𝑥=−1+7
6 =6
6= 1 tai 𝑥 =−1−7
6 =−8
6 =−4 3
Yhtälön ratkaisut 𝑥= 1 tai 𝑥=− ovat leikkauspisteiden x-koordinaatit.
Pisteen P x-koordinaatti on negatiivinen, joten 𝑥=− .
Lasketaan y-koordinaatti sijoittamalla 𝑥=− suoran yhtälöön 𝑦 =−𝑥+4.
𝑦 =− −4
3 +4= 4 3+12
3 = 16 3 Piste P on siis − , .
Vastaus: 𝑃 = − ,
a = 3, b = 1, c = -4
Kuvaajien leikkauspisteissä paraabelien pisteiden y-koordinaatit ovat yhtä suuret.
Leikkauspisteen x-koordinaatti saadaan siis ratkaisemalla yhtälö, jossa y-koordinaatit on merkitty yhtä suuriksi.
2𝑥 +1= 5𝑥 −2𝑥 4𝑥 −5𝑥+1= 0
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla.
𝑥=−(−5)± (−5) −4⋅4⋅1 2⋅4
𝑥=5 ±√25−16 8 𝑥=5 ±√9
8 = 5 ± 3 8
𝑥 =5+3 8 = 8
8=1 tai 𝑥= 5−3 8 =2
8= 1 4
Kuvasta päätellään, että pisteen P x-koordinaatti on kahdesta leikkauspisteestä pienempi, eli 𝑥= . Lasketaan pisteen y-koordinaatti sijoittamalla 𝑥= esimerkiksi paraabelin
𝑦=2𝑥 +1 lausekkeeseen.
𝑦=2⋅ 1
4 +1=2⋅ 1 16+16
16= 2 16+16
16= 18 16=9
8 Leikkauspiste P on siis , .
Vastaus: 𝑃 = ,
a = 4, b = -5, c = 1
Kuvaajien leikkauspisteissä paraabelin ja suoran pisteen y-koordinaatit ovat yhtä suuret.
Leikkauspisteen x-koordinaatti saadaan siis ratkaisemalla yhtälö, jossa y-koordinaatit on merkitty yhtä suuriksi.
𝑥 −3=5𝑥 −5𝑥 −2
−5𝑥 +6𝑥 −1=0
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla.
𝑥 =−6 ± 6 −4⋅(−5)⋅(−1) 2⋅(−5)
𝑥=−6 ±√36−20
−10 𝑥=−6 ±√16
−10 =−6 ± 4
−10
𝑥 =−6+4
−10 = −2
−10=1
5 tai 𝑥=−6−4
−10 = −10
−10= 1
Yhtälön ratkaisut 𝑥= tai 𝑥= 1 ovat leikkauspisteiden x-koordinaatit. Selvitetään y- koordinaatit sijoittamalla 𝑥= ja 𝑥= 1 suoran 𝑦= 𝑥 −3 yhtälöön.
Kun 𝑥=1, niin 𝑦= 1−3= −2.
Kun 𝑥= , niin 𝑦= −3= − = − .
Leikkauspisteet ovat siis(1,−2) ja ( ,− ).
Vastaus: ( ,− ) ja (1,−2)
a = -5, b = 6, c = -1
a)
Paraabeli leikkaa x-akselin, kun y-koordinaatti on nolla.
𝑥 −12𝑥+35= 𝑦 𝑥 −12𝑥+35= 0
Ratkaistaan toisen asteen yhtälö.
𝑥 =−(−12)± (−12) −4⋅1⋅35 2⋅1
𝑥=12 ±√144−140 2
𝑥=12 ±√4
2 = 12 ± 2 2
𝑥=12+2 2 = 14
2 =7 tai 𝑥=12−2 2 =10
2 = 5
x-akselin leikkauspisteessä 𝑦 =0, joten x-akselin leikkauspisteet ovat (5,0) ja (7,0).
b)
Paraabelin symmetrisyyden vuoksi paraabelin huipun x- koordinaatti on yhtä kaukana nollakohdista. Selvitetään huipun x- koordinaatti laskemalla nollakohdista 𝑥= 5 ja 𝑥= 7 keskiarvo.
𝑥 =5+7 2 = 6
Lasketaan huipun y- koordinaatti sijoittamalla huipun x-koordinaatti yhtälöön 𝑦=𝑥 −12𝑥+35.
𝑦 =6 −12⋅6+35= 36−72+35= −1 Huipun koordinaatit ovat siis (6,−1).
Vastaus: a) Pisteissä (5,0) ja (7,0). b) (6,−1)
a = 1, b = -12, c = 35
Ratkaistaan ensin toisen asteen yhtälö ratkaisukaavalla.
𝑥 − 𝑥 −1= 0
𝑥 =−(−1)± (−1) −4⋅1⋅(−1) 2⋅1
𝑥=1 ±√1+4 2 𝑥=1 ±√5
2
Yhtälön ratkaisujen tarkat arvot ovat
𝑥 =1+√5
2 tai 𝑥= 1− √5 2 . Määritetään ratkaisujen likiarvot.
𝑥=1+√5
2 = 1,618…
𝑥=1− √5
2 = −0,618…
Välille −1<𝑥 <1 kuuluu ainoastaan 𝑥= √ .
Vastaus: 𝑥= √
a = 1, b = -1, c = -1
