3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e

3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e

3.2.1. Neperin luku e ja funktio y = e

Neperin luku e ja sen määritelmä Eksponenttifunktio f(x) = k^x

e^x on se eksponenttifunktio, jonka derivaatta nollassa on 1 eli f ´(0) = 1 e  2,718281828 (laskimella)

y = e^x

(ks. kirja s. 54 - 55)

Eksponenttifunktion f(x) = e^x ominaisuuksia M_f = R

A_f = ]0,[

Funktio on jatkuva kaikkialla Funktio on aidosti kasvava

Asymptoottina negatiivinen x – akseli Potenssien laskusäännöt säilyy

e^u = e^v  u = v

E.1. Sievennä a) e^2xe^-x

= e^{2x – x}

= e^x

b) e³(e^x+1)²

=e³e^2x+2

=e^3+2x+2 = e^{2x + 5}

E.2. Ratkaise yhtälö a) e^x+2 = e^-x

x + 2 = -x 2x = -2 x = -1

b) e^{3x – 6} = 1 e^{3x -6} = e⁰ 3x – 6 = 0 3x = 6 x = 2

3.2.2. Funktion y = e

3.2.2. Funktion y = e

derivaatta derivaatta

D(e^x) = e^x

Funktio y = e^x on oman itsensä derivaatta:

käyrän mielivaltaisen pisteen kautta kulkevan tangentin kulmakerroin on sama kuin pisteen y-koordinaatti.

E.3. Derivoi a) f(x) = 2e^x + 3x b) f(x) = (e^x + 1)² a) f’(x) = 2e^x + 3

b) f’(x) = 2e^x(e^x + 1)

Olkoon f derivoituva funktio. D(e^f(x)) = e^f(x) · f ´(x)

E.4. Derivoi a) f(x) = e^2x d) f(x) = e^2x ·x³ a) f‘ (x) = 2e^2x

b) f‘(x) = 2e^2x· x³ +e^2x ·3x² = x²e^2x(2x + 3)

Derivaatan arvon laskeminen

Derivoi ja sijoita sen lausekkeeseen haluttu kohta E.5. Laske f ´(1), kun f(x) = e^2x - x³

f’(x) = 2e^2x – 3x² f’(1) = 2e² - 3

Tangentin kulmakertoimen laskeminen, k_T = f ´(x₀)

E.6. Mikä on käyrän y = e^1-x kohtaan x = 1 piirretyn tangentin kulmakerroin?

f ’ (x) = –e^1-x

f ’ (1) = -e^1-1 = -e⁰ = -1

E.7. Määritä a ja b, kun f(x) = e^ax + b sekä f(0) = 2 ja f ´(0) = 3 f(0) = e⁰ + b = b + 1

b +1 = 2 b = 1 f’(x) = ae^ax ae⁰ = 3 a = 3

E.8. Määritä funktion derivaatan nollakohdat, f(x) = e^4x + e^-4x f ’ (x) = 4e^4x – 4e^-4x

f ’ (x) =0:

4e^4x – 4e^-4x = 0 4e^4x = 4e^-4x e^4x = e^-4x

4x = -4x 8x = 0 x = 0

Kirjan esimerkki 3, sivu 57

Mitä arvoja f(x) = 2x + e^-2x saa?

Funktio on jva ja dva kaikkialla Derivaatan nollakohdat:

f ’ (x) = 2 – 2e^-2x = 2(1 – e^-2x) f ’ (x) = 0:

1 – e^-2x = 0  e^-2x = 1  e^-2x = e⁰ -2x = 0  x = 0

Kulkukaavio:

f’(-1) = 2(1-e²)  -12,8 < 0 f’(1) = 2(1-e^-2)  1,7 > 0

f ’ f

0

- +

min

Pienin arvo:

Kulkukaavion perusteella f(0) = 1

Suurin arvo:

Koska lim f(x) =  , niin funktiolla

x -> 

ei ole suurinta arvoa, vaan funktio saavuttaa mielivaltaisen suuria arvoja.

V: Funktio f saavuttaa kaikki ne

arvot, jotka ovat  1