1 Momenttiemäfunktioja karakteristinen funktio: Esitiedot Momenttiemäfunktioja karakteristinen funktio: Lisätiedot − 1/2 − 2/2 Momenttiemäfunktioja karakteristinen funktio: Mitäopimme? Momenttiemäfunktioja karakteristinen funktio: Mitä opimme? Momenttiemä

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan

Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Momenttiemäfunktio

Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio

Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio:

Mitä opimme? −1/2

• Tässä luvussa tarkastellaan satunnaismuuttujien momentti- emäfunktioitaeli momentit generoivia funktioitaja karakteristisia funktioita, jotka ovat paljon käytettyjä työvälineinätodennäköisyys- laskennassaja matemaattisessa tilastotieteessä.

• Satunnaismuuttujan momenttiemäfunktion tai karakteristisen funktion avulla voidaan helposti johtaasatunnaismuuttujan momentit; ks.

lukua Jakaumien tunnusluvut.

• Monet tärkeät todennäköisyyslaskennanja matemaattisen tilasto- tieteen teoreemat voidaan todistaakätevimmin momenttiemäfunktion tai karakteristisen funktion avulla; ks. lukuja Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumatja Konvergenssikäsitteet ja raja- arvolauseet.

Mitä opimme? −2/2

• Johdamme tässä luvussa tavallisimpien diskreettienja jatkuvien todennäköisyysjakaumien(ks. lukuja Diskreettejä jakaumiaja Jatkuvia jakaumia)momenttiemäfunktiot.

• Lisäksi näytämme, miten käsiteltyjen jakaumien odotusarvotja varianssit(ks. lukua Jakaumien tunnusluvut) johdetaan momentti- emäfunktion avulla.

• On syytä huomata, ettäkaikilla todennäköisyysjakaumilla ei ole momenttiemäfunktiota, mutta kaikille jakaumille voidaan määrätä karakteristinen funktioja siksi kaikissa pitemmälle menevissä todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen tilastotieteen esityksissä sovelletaan karakteristista funktiota.

• Tässä luvussa esitellään myös tärkeimmät karakteristisen funktion ominaisuudet.

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia

Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

• Momenttiemäfunktiota sovelletaan riippumattomiensatunnais- muuttujien summienjakaumien määräämiseen luvussa

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

• Momenttiemäfunktiota sovelletaan keskeisen raja-arvolauseen todistamiseen luvussa

Konvergenssikäsitteet ja raja-arvolauseet

(2)

>> Momenttiemäfunktio

Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio

Avainsanat

Momentit generoiva funktio Momentti

Momenttiemäfunktio Odotusarvo Riippumattomien

satunnaismuuttujien summan jakauma Taylorin sarja

Momenttiemäfunktion määritelmä

• Olkoon X satunnaismuuttuja.

• Oletetaan, että odotusarvo mX(t) = E(e^tX) on olemassa kaikille

t∈(−h, +h) jossa h> 0 on vakio.

• Tällöin funktiota mX(t) kutsutaan satunnaismuuttujan Xja sen jakauman momenttiemäfunktioksieli momentit generoivaksi funktioksi.

Momenttiemäfunktion määritelmä:

Kommentteja 1/2

• Satunnaismuuttujan momenttiemäfunktio eli momentit generoiva funktio ei välttämättä ole olemassa.

• Momenttiemäfunktion mX(t) = E(e^tX)

olemassaolotarkoittaa sitä, että odotusarvo E(e^tX)

on äärellinen.

Momenttiemäfunktion määritelmä:

Kommentteja 2/2

• Satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio m_X(t) = E(e^tX)

riippuu vain argumentista t.

• Jos satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktiom_X(t) on olemassa, niin

mX(0) = E(e⁰) = E(1) = 1

Diskreettien satunnaismuuttujien momenttiemäfunktio

• Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka pistetodennäköisyysfunktioon

f(x) =Pr(X= x)

• Jos satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio on olemassa, niin se saadaan kaavalla

( ) E(^tX) ^tx ( )

X

x

m t = e =

∑

e f x

(3)

Jatkuvien satunnaismuuttujien momenttiemäfunktio

• Olkoon X jatkuva satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktioon

f(x)

• Jos satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio on olemassa, niin se saadaan kaavalla

( ) E(^tX) ^tx ( )

m tX e e f x dx

+ ∞

−∞

= =

∫

Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyys

• Jos satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio mX(t) = E(e^tX)

on olemassa jossakin pisteen t= 0 ympäristössä, se on yksikäsitteinenja määrää täysin satunnaismuuttujanX todennäköisyysjakauman.

• Tämä merkitsee seuraavaa:

Jos satunnaismuuttujilla Uja Von sama momentti- emäfunktio, satunnaismuuttujat Uja Vnoudattavat samaa todennäköisyysjakaumaa.

Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyys:

Seuraus 1/2

• Momenttiemäfunktionyksikäsitteisyyttäkäytetään usein hyväksi todennäköisyyslaskennan ja matemaattisen tilastotieteen lauseiden todistuksissa seuraavalla kalvolla esitettävässä tilanteessa.

Momenttiemäfunktion yksikäsitteisyys:

Seuraus 2/2

• Tehtävänä on selvittää,mikä on satunnaismuuttujan U jakauma.

• Oletetaan, että satunnaismuuttujan Umomenttiemäfunktio mU(t)

yhtyypisteen t= 0 ympäristössä satunnaismuuttujan V momenttiemäfunktioon

mV(t)

jonka todennäköisyysjakauma tunnetaan.

• Tällöin momenttiemäfunktion yksikäsitteisyydestä seuraa, ettäsatunnaismuuttuja Unoudattaa samaa jakaumaa kuin satunnaismuuttuja V.

Momenttiemäfunktion derivaatat ja satunnaismuuttujan momentit

• Olkoon m_X(t) = E(e^tX)

satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio eli momentit generoiva funktio.

• Momentit generoivalla funktiolla mX(t) on kaikkien kertalukujen derivaatatpisteessä t= 0 ja

jossa αk= E(X^k)

on satunnaismuuttujan Xk.(origo-) momentti.

0

( ) E( ) , 1,2,3,

k X k

k k

t

d m t X k

dt α

=

= = = …

Momenttiemäfunktion derivaatat ja satunnaismuuttujan momentit: Johto

• Olkoon mX(t) = E(e^tX)

satunnaismuuttujan Xmomentit generoiva funktio.

• Tällöin

0 0

0

( ) E( )

E

E( )

k k

X tX

k k

t t

k tX k

t k tX

t k

k

d m t d e

dt dt

d e dt X e X α

=

 

=  

 

=

(4)

Momenttiemäfunktion derivaatat ja

satunnaismuuttujan momenttien määrääminen

• Satunnaismuuttujan ja sen jakauman momentit voidaan usein johtaa kaikkein kätevimmin käyttämällä hyväksi jakauman momentit generoivan funktion derivaattoja.

Momenttiemäfunktion derivaatat ja satunnaismuuttujan odotusarvo ja varianssi

• Satunnaismuuttujan Xodotusarvoµ, 2. momenttiα2ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1

0 2 2

2 2

0

2 2 2

2 1

E( ) ( )

Var( ) E[( ) ]

X t X

t

X dm t dt d m t

X dt

X X

µ α

α

σ µ α α

=

= = =

= =

= = − = −

Momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä

satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio.

• MomenttiemäfunktiomX(t) voidaan kehittääTaylorin sarjaksi

jossa

on satunnaismuuttujan X k. momentti.

0 0

( ) E( )

! !

k k

k

X k

k k

t t

m t X

k kα

∞ ∞

= =

=

∑

=

∑

E( ^k)

k X

α =

Momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä:

Johto

satunnaismuuttujan Xmomenttiemäfunktio.

• Kehitetään eksponenttifunktio e^tXTaylorin sarjaksi:

• Ottamalla tästä sarjakehitelmästä odotusarvo saadaan:

0

( )

!

k tX

k

e tX k

∞

=

∑

0

( ) E( ) E ( )

! E( )

!

k tX

X

k k

k k k

m t e tX

k

t X

k t kα

∞

=

∞

=

∞

=

 

= =  

 

=

∑

Momenttiemäfunktion Taylorin sarjakehitelmä ja momenttiemäfunktion derivaatat

• Olkoon

satunnaismuuttujan XmomenttiemäfunktionTaylorin sarjakehitelmä.

• Derivoidaan tämä sarjakehitelmä termeittäin t:n suhteen:

• Valitsemalla tässä t= 0, saadaan edellä esitetty tulos:

0 0

( ) E( ) , 1,2,3,

! !

k j j

X j k

j k k

j j

d m t t X t k

dt ^∞ j ⁺ ^∞ jα₊

= =

=

∑

=

∑

= ^…

0 0

( ) E( ) E( )

! !

j j

tX j

X j

j j

t t

m t e X

j jα

∞ ∞

= =

∑

=

∑

0

( ) E( ) , 1, 2,3,

k

k X

k k t

d m t X k

dt α

=

= = = …

Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio

• Olkoot

X₁, X₂, … , X_n

riippumattomiasatunnaismuuttujia, joiden momentti- emäfunktiotovat

m1(t), m2(t), … , mn(t)

• Tällöin summan X= X1+ X2+ ··· + Xn

momenttiemäfunktioon satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xnmomenttiemäfunktioidentulo:

mX(t) = m1(t)m2(t) ···mn(t)

(5)

Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio: Perustelu 1/2

• Olkoot X₁, X₂, … , X_n

riippumattomiasatunnaismuuttujia, joiden momenttiemäfunktiotovat m1(t), m2(t), … , mn(t)

• Määritellään satunnaismuuttuja X= X₁+ X₂+ ··· + X_n

• Käytämme hyväksi sitä, että riippumattomien satunnaismuuttujien tulon odotusarvo on tulon tekijöiden odotusarvojen tulo(ks. lukua Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat).

Riippumattomien satunnaismuuttujien summan momenttiemäfunktio: Perustelu 2/2

• Siten

1 2

( ) E[exp( )]

E[exp( ( ))]

E[exp( )]

E[exp( ) exp( ) exp( )]

E[exp( )]E[exp( )] E[exp( )]

( ) ( ) _n( )

X

n n

X X X

m t tX

t X X X

tX tX tX

m t m t m t

=

= + + +

=

>> Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio

Avainsanat

Diskreettejä jakaumia:

Bernoulli-jakauma Binomijakauma Diskreetti tasainen jakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Poisson-jakauma

Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Momenttiemäfunktio Odotusarvo Varianssi

Diskreettejä todennäköisyysjakaumia 1/2

• Tarkastelemme seuraavien diskreettien todennäköisyys- jakaumienmomenttiemäfunktioitaeli momentit generoivia funktioita:

− Diskreetti tasainen jakauma

− Bernoulli-jakauma

− Binomijakauma

− Geometrinen jakauma

− Negatiivinen binomijakauma

− Poisson-jakauma

• Lisätietojadiskreeteistä todennäköisyysjakaumista:

ks. lukua Diskreettejä jakaumia.

Diskreettejä todennäköisyysjakaumia 2/2

• Esitämme johdontarkasteltavien jakaumien momentti- emäfunktioille.

• Lisäksi sovellamme momenttiemäfunktiota tarkasteltavien jakaumien odotusarvon, 2. momentinja varianssin määräämiseen.

(6)

Diskreetti tasainen jakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa.

• Tällöin sen pistetodennäköisyysfunktioon

jossa {x1, x2, … , xn} on reaaliakselin erillistenpisteiden muodostama joukko.

• Diskreetin tasaisen jakauman momenttiemäfunktioon ( ) Pr( ) 1,

1,2, ,

f x X x x xk

n

k n

= = = =

= …

1

( ) 1 ⁿ ^tx^k

X k

m t e

n =

=

∑

Diskreetti tasainen jakauma:

Momenttiemäfunktion johto

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa, niin sen momenttiemäfunktioon

1

( ) E( ) ( )

( ) 1 1

k

tX tx

X

x n tx

k k

n tx

k n tx

k

m t e e f x

e f x e n n e

=

= =

=

∑

Odotusarvo ja varianssi 1/2

• Diskreetin tasaisen jakauman momenttiemäfunktioon

• 1. derivaatta pisteessä t= 0:

1

( ) 1 ⁿ ^tx^k

X k

m t e

n =

=

∑

1 1

0 0

( ) 1 k 1

n n

X tx

k k

t t

dm t x e x

dt = n = = n=

=

∑

=

∑

2

2 2

2 0 1 0 1

( ) 1 k 1

n n

X tx

k k

k t k

t

d m t x e x

dt = n = = n =

=

∑

=

∑

• Siten diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo µ, 2.momenttiα₂ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1 0 1 2

2 2

0 1

2

2 2 2

2 1

1 1

2 1

( ) 1

E( )

( ) 1

E( )

1 1

Var( )

1 ( )

n X

k t k

n X

k t k

n n

k k

n k k

X dm t x x

dt n

d m t

X x

dt n

X x x

n n

x x n

µ α

α

σ α α

= =

=

= = = = =

= = =

 

= = − = −  

= −

∑

∑ ∑

∑

Bernoulli-jakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa Bernoulli- jakaumaaBer(p).

• Bernoulli-jakaumanmomenttiemäfunktioon

( ) ^t

m tX = +q pe

( ) Pr( ) 1 , 0 1, 1

0,1

x x

f x X x p q p q p

x

= = = − < < = −

=

Bernoulli-jakauma:

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa Bernoulli-jakaumaaBer(p), niin sen momenttiemäfunktioon

0 1

( ) E( ) ( )

Pr( 0) Pr( 1)

tX tx

X

x

t t

t

m t e e f x

e X e X

q pe

× ×

= =

= × = + × =

= +

∑

(7)

• Bernoulli-jakauman Ber(p) momenttiemäfunktioon

( ) ^t

m tX = +q pe

0 0

( ) t

X t t

dm t pe p

dt = ⁼

= =

2

2 0

0

( ) t

X t t

d m t pe p

dt ₌ = ⁼ =

• Siten Bernoulli-jakauman Ber(p) odotusarvo µ, 2.momenttiα2ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1 0 2 2

2 2

0

2 2 2

2 1

E( ) ( ) E( ) ( ) Var( )

X t X

t

X dm t p

dt d m t

X p

dt

X p p

pq

µ α

α

σ α α

=

= = = =

= = =

= = − = −

=

Binomijakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa binomi- jakaumaaBin(n, p).

• Binomijakauman momenttiemäfunktioon ( ) ( ^{t n})

m tX = q pe+

( ) Pr( ) , 0 1, 1

0,1,2, ,

x n x

f x X x n p q p q p

x

x n

  −

= = =   < < = −

= …

Binomijakauma:

Momenttiemäfunktion johto 1

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa binomijakaumaaBin(n, p), niin sen momenttiemäfunktioon

0

( ) E( ) ( )

( )

tX tx

X

x

n tx x n x

x

n t x n x

x t n

m t e e f x

e n p q x n pe q x q pe

−

=

−

=

= =

=    

= +

∑

Binomijakauma:

Momenttiemäfunktion johto 2

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa binomijakaumaaBin(n, p), niin se voidaan esittää riippumattomien, samaa Bernoulli-jakaumaaBer(p) noudattavien satunnaismuuttujien

X₁, X₂, … , X_n summana:

X= X1+ X2+ ··· + Xn

• Koska riippumattomien satunnaismuuttujien summan momentti- emäfunktio on summan tekijöiden momenttiemäfunktioiden tulo(ks.

kappaletta Momenttiemäfunktio), niin

1 2

( ) E( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

tX

X n

t t t

t n

m t e m t m t m t

q pe q pe q pe

q pe

= = × × ×

= + × + × × +

= +

Binomijakauma:

• Binomijakauman Bin(n, p) momenttiemäfunktioon

( ) ( ^{t n}) m tX =q pe+

1 0 0

( ) ( ^{t n}) ^t

X t t

dm t n q pe pe np

dt

−

= =

= + =

2

2 1

2 0

0

2

0 2

( ) ( 1)( ) ( )

( ) ( 1) ( )

( 1)

t n t t t n t

X t t

t t n t t

t

d m t n n q pe pe pe n q pe pe

dt

npe q pe n pe q pe

np n n p

− −

= =

−

=

 

= − + + + 

 

= +  − + + 

= + −

(8)

Binomijakauma:

• Siten binomijakauman Bin(n, p) odotusarvo µ, 2.momenttiα2ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1 0 2

2 2

0

2 2 2 2 2

2 1

E( ) ( )

E( ) ( ) ( 1)

Var( ) ( 1)

X t X

t

X dm t np

dt d m t

X np n n p

dt

X np n n p n p

npq

µ α

α

σ α α

=

= = = =

= = = + −

= = − = + − −

=

Geometrinen jakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa geometrista jakaumaaGeom(p).

• Geometrisen jakauman momenttiemäfunktioon

( ) Pr( ) 1 , 0 1, 1

1,2,3,

f x X x q px p q p

x

= = = − < < = −

= …

( ) 1

t

X t

m t pe

= qe

−

Geometrinen jakauma:

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa geometrista jakaumaaGeom(p), niin sen momenttiemäfunktioon

1 1

( ) E( ) ( )

( )

1

tX tx

X

x

tx x

x

t tx t x

x

t t x

x t t

m t e e f x

e pq pe e q

pe qe

∞ −

=

∞ − −

=

∞ −

=

= =

=

= −

∑

• Geometrisen jakauman Geom(p) momenttiemäfunktioon

( ) 1

t

X t

m t pe

= qe

−

2

0 0

2 0

( ) (1 ) ( )

(1 )

1

t t t t

X

t

t t

t

dm t pe qe pe qe

dt qe

pe qe p

= =

=

− − −

= −

=

• Geometrisen jakauman Geom(p) momenttiemäfunktioon

( ) 1

t

X t

m t pe

= qe

−

2 2

2 4

0 0

3 0

2

( ) (1 ) 2(1 )( )

(1 )

1

t t t t t

X

t

t t

d m t pe qe pe qe qe

dt qe

pe qe

qe q p

=

− − ⋅ − −

= −

= +

−

= +

• Siten geometrisen jakauman Geom(p) odotusarvo µ, 2.momenttiα2ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1 0 2 2

2 2 2

0

2 2

2 1 2 2

2

( ) 1

E( )

( ) 1

E( )

1 1

Var( )

X t

X dm t

dt p

d m t q

X dt p

X q

p p

q p

µ α

α

σ α α

=

= = = =

= = = +

= = − = + −

=

(9)

Negatiivinen binomijakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa negatiivista binomijakaumaaNegBin(r, p).

• Negatiivisen binomijakauman momenttiemäfunktioon

( )

( ) (1 )

t r

X t r

m t pe

= qe

−

( ) Pr( ) 1 , 0 1, 1

1

1,2,3, ; , 1, 2,

x r r

f x X x x q p p q p

r

r x r r r

− −

 

= = = −  < < = −

= … = + + …

Negatiivinen binomijakauma:

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa negatiivista binomijakaumaa NegBin(r, p), niin sen momenttiemäfunktioon

0

( ) E( ) ( )

1 1 ( ) 1

1

( ) (1 )

( )

(1 )

tX tx

X

x

tx x r r

x r

t r tx x

x

t r t r

t r t r

m t e e f x

e x q p

r

pe e r x q

r

pe qe

∞ −

=

∞

=

−

= =

 − 

=  − 

 + −

=  − 

= −

∑

• Negatiivisen binomijakauman NegBin(r, p) momenttiemäfunktioon

( ) ( ) (1 )

t r

X t r

m t pe

= qe

−

1 1

2

0 0

1 0

( ) ( ) (1 ) ( ) (1 ) ( )

(1 )

( )

(1 )

t r t t r t r t r t

X

t r

t t

t r t r t

dm t r pe pe qe pe r qe qe

dt qe

r pe qe r p

− −

= =

+

=

− − − −

= −

=

• Negatiivisen binomijakauman NegBin(r, p) momenttiemäfunktioon

( )

( ) (1 )

t r

X t r

m t pe

= qe

−

2 2

0

2 1 1

2 2

0

2 0 2

2

( )

( ) (1 ) ( ) ( 1)(1 ) ( )

(1 )

( ) ( )

(1 )

X t

t r t t r t r t r t

t r

t

t r t

d m t dt

r pe pe qe r pe r qe qe

qe r pe r qe

qe r rq

p

=

− +

+

=

+

=

− − + − −

= −

= +

−

= +

• Siten negatiivisen binomijakauman NegBin(r, p) odotusarvo µ, 2.momenttiα₂ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1 0

2 2

2

2 2 2

0

2 2

2 1 2 2

2

E( ) ( ) E( ) ( )

Var( )

X t

dm t r

X dt p

d m t r rq

X dt p

r rq r

X p p

rq p

µ α

α

σ α α

=

= = = =

= = = +

= = − = + −

=

Poisson-jakauma

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa Poisson- jakaumaaPoisson(λ).

• Poisson-jakaumanmomenttiemäfunktioon

( 1)

( ) ^e^t m tX =e^λ ⁻

( ) Pr( ) , 0

! 0,1,2,

e x

f x X x

x x

λλ λ

= = = − >

= …

(10)

Poisson-jakauma:

• Jos satunnaismuuttuja Xnoudattaa Poisson-jakaumaaPoisson(λ), niin sen momenttiemäfunktioon

0

( 1)

( ) E( ) ( )

! ( )

!

t

tX tx

X

x x tx x

t x

x e

e

m t e e f x

e e x e e

x e e e

λ

λ λ

λ

λ λ

−

∞

=

− ∞

=

−

= =

=

∑

• Poisson-jakauman Poisson(λ) momenttiemäfunktioon

( 1)

( ) ^e^t m tX =e^λ ⁻

( 1) ( 1)

0 0

0

( ) e^t t t e^t

X

t t

t

dm t e e e

dt

λ ⁻λ λ ⁺λ ⁻ λ

= =

=

= = =

2

( 1) 2

2 0

0

( ) ^t ^e^t (1 ^t)

X t t

d m t

e e

dt

λ ⁺λ ⁻ λ λ λ

= =

= + = +

• Siten Poisson-jakauman Poisson(λ) odotusarvo µ, 2.momenttiα₂ja varianssiσ²saadaan seuraavilla kaavoilla:

1 0 2 2

2 2

0

2 2 2 2

2 1

E( ) ( ) E( ) ( ) Var( )

X t

X dm t dt d m t

X dt

X

µ α λ

α λ

σ α α λ λ λ

λ

=

= = = =

= = =

= = − = + −

=

>> Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita Karakteristinen funktio

Avainsanat Jatkuvia jakaumia:

Eksponenttijakauma Jatkuva tasainen jakauma Normaalijakauma

Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita

Momenttiemäfunktio Odotusarvo Varianssi

Jatkuvien jakaumien momenttiemäfunktioita

Jatkuvia todennäköisyysjakaumia 1/2

• Tarkastelemme seuraavien jatkuvien todennäköisyys- jakaumienmomenttiemäfunktioitaeli momentit generoivia funktioita:

− Jatkuva tasainen jakauma

− Eksponenttijakauma

− Normaalijakauma

• Lisätietojajatkuvista todennäköisyysjakaumista:

ks. lukua Jatkuvia jakaumia.