1 Kertymäfunktio: Esitiedot Kertymäfunktio: Lisätiedot Kertymäfunktio: Mitä opimme? –1/2 Kertymäfunktio: Mitä opimme? –2/2 Kertymäfunktio Kertymäfunktio

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan

Kertymäfunktio

Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

Kertymäfunktio:

Mitä opimme? – 1/2

• Jos satunnaisilmiötä halutaan mallintaa matemaattisesti, on ilmiön tulosvaihtoehdot kuvattava numeerisessa muodossa.

• Tämä tapahtuu liittämällä satunnaisilmiön tulosvaihtoehtoihin reaaliarvoinen funktio, jota kutsutaan satunnaismuuttujaksi.

• Satunnaismuuttujan arvoihin liitetään todennäköisyydet määrittelemällä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma.

• Satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauman määrää täysin sen kertymäfunktio.

• Jos satunnaismuuttujan kertymäfunktio tunnetaan, tunnetaan satunnaismuuttujan jakaumaja samalla hallitaankaikkien ko.

satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet.

Mitä opimme? – 2/2

• Todennäköisyyslaskennassaja matemaattisessa tilastotieteessä todennäköisyysjakaumia tarkastellaan teoreettisesti tavallisesti kertymäfunktioiden kautta.

• Tämä johtuu siitä, että sama määritelmä kertymäfunktiolle sopii kaikille satunnaismuuttujilleolivatpa ne diskreettejä, jatkuviatai jotakin muuta tyyppiäja teoreettista tarkastelua ei tarvitse jakaa osiin satunnaismuuttujien tyypin mukaan.

• Tässä esityksessätarkastelemme kertymäfunktioita kuitenkin myös seuraavissa erikoistapauksissa:

(i) Diskreetit satunnaismuuttujatja niiden kertymäfunktiot.

(ii) Jatkuvat satunnaismuuttujatja niiden jakaumat.

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavaa lukua:

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat

Lisätiedot

• Tilastotieteessä paljon käytettyjen jakaumien(normaali-, χ²-, F- ja t- jakaumien)tilastolliset taulukotliittyvät ko. jakaumien kertymä- funktioiden arvoihin; ks. seuraavia lukuja:

Jatkuvia jakaumia

Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia

(2)

Kertymäfunktio

>> Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

Kertymäfunktio: Määritelmä

Avainsanat Kertymäfunktio Satunnaismuuttuja Todennäköisyysjakauma Todennäköisyysmassa

Kertymäfunktion määritelmä

• Olkoon ξsatunnaismuuttuja.

• Satunnaismuuttujan ξkertymäfunktioFon reaaliarvoinen funktio

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

Kertymäfunktion määritelmä:

Kommentteja 1/2

• Satunnaismuuttujan ξkertymäfunktion Fmääritelmässä

on

ξ= satunnaismuuttuja

x = reaaliluku, kertymäfunktion F argumentti

• KertymäfunktionFarvo pisteessäxon todennäköisyys sille, että satunnaismuuttuja ξsaa arvoja, jotka ovat ≤x.

• Piste xerottaa vasemmalle puolelleen satunnaismuuttujan ξtodennäköisyysmassan, jonka koko on

Pr(ξ≤x) = F(x)

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

Kertymäfunktion määritelmä:

Kommentteja 2/2

• Satunnaismuuttujan ξkertymäfunktio

kuvaa satunnaismuuttujan ξtodennäköisyysmassan kertymistä, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa.

• Satunnaismuuttujan ξkertymäfunktio määrääkaikkienko.

satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet.

• Kertymäfunktion määritelmä sopii kaikille satunnais- muuttujilleolivatpa ne diskreettejä, jatkuvia tai jotakin muuta tyyppiä.

• Kertymäfunktio on keskeinen työväline matemaattisessa tilastotieteessä.

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

Kertymäfunktio ja tapahtumien todennäköisyydet

• Jos satunnaismuuttujan ξkertymäfunktio Ftunnetaan, kaikkien ko. satunnaisilmiöön liittyvien tapahtumien todennäköisyydet hallitaan.

• Tämä johtuu seuraavista seikoista:

(i) Jokaista tapahtumaa vastaa jokin reaalilukujen joukon osajoukko, joka voidaan muodostaa muotoa (−∞, x]olevista reaaliakselin väleistä tavanomaisten joukko-opin operaatioidenavulla.

(ii) Jokaisen tapahtuman todennäköisyyssaadaan tyyppiä (−∞, x]olevien reaaliakselin välien toden- näköisyyksistä todennäköisyyslaskennan laskusääntöjenavulla.

R

(3)

Kertymäfunktion ominaisuudet 1/2

• Funktio on kertymäfunktio, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1 2 1 2

0

(1) lim ( ) 0

(2) lim ( ) 1

(3) on - :

( ) ( ), jos

(4) on :

lim ( ) ( )

x x

h

F x F x F ei vähenevä

F x F x x x

F jatkuva oikealta F x h F x

→−∞

→+∞

→ +

=

≤ ≤

+ =

[ ]

: 0,1

F R→

Kertymäfunktion ominaisuudet 2/2

• Jos funktio on kertymäfunktio, niin:

(5) Pr( ) 1 ( )

(6) Pr( ) ( ) ( )

x F x

a b F b F a

ξ ξ

> = −

< ≤ = −

[ ]

: 0,1

F R→

Kertymäfunktion ominaisuuksien perustelu

• Käytämme kertymäfunktioiden ominaisuuksien perustelussa mm.

seuraavia todennäköisyyslaskennan lauseita (ks. tarkemmin lukua Todennäköisyyden aksioomat):

Lause 1: Olkoon todennäköisyyskenttäja . (i) Jos , niin

(ii) Jos , niin

Lause 2: Olkoon todennäköisyyskenttäja . Jos , niin

( , , Pr)SF A A A₁, ₂, ,₃…∈F

1 2 3

A⊂A⊂A⊂

(

¹

)

^{( )}

Pr

∪

i^∞₌Ai =nlim Pr_→+∞ An

1 2 3

A⊃A⊃A⊃

(

¹

)

^{( )}

Pr

∩

i^∞₌Ai =nlim Pr_→+∞ An

1 2 3

A⊃A⊃A⊃ → ∅

( )

lim Pr n 0

n_→+∞ A =

( , ,Pr)SF A A A₁, , ,₂ ₃…∈F

Kertymäfunktion ominaisuus (1):

Perustelu

• Olkoon satunnaismuuttujan ξkertymäfunktio.

• Tällöin (1)

• Todistus:

Olkoon x1> x2> x3> ···

aleneva lukujonoja lisäksi Tällöin

Lauseen 2 mukaan

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

limx→−∞F x( ) 0=

limn→+∞xn= −∞

1 2 3

{ξ≤x} {⊃ξ≤x} {⊃ξ≤x}⊃ → ∅

( )

lim ( )n lim Pr n 0

n F x n ξ x

→+∞ = →+∞ ≤ =

Perustelu 1/2

• Tällöin (2)

• Todistus:

Olkoon x₁< x₂< x₃< ···

kasvava lukujonoja lisäksi

Tällöin ja

( ) Pr( )

F x = ξ≤x limx_→+∞F x( ) 1=

limn→+∞xn= +∞

1 2 3

{ξ≤x} {⊂ξ≤x} {⊂ξ≤x}⊂ →

1 2 3

{ξ>x} {⊃ξ>x} {⊃ξ>x}⊃ → ∅

Perustelu 2/2 Lauseen 2 mukaan joten

( )

lim Pr n 0

n ξ x

→+∞ ≤ =

( )

lim ( ) lim Pr 1 lim Pr 1

n n

F x x

x ξ

ξ

→+ ∞ →+ ∞

→+ ∞

= ≤

= − >

=

(4)

Perustelu

• Tällöin (3)

• Todistus:

Olkoon x₁≤x₂ Tällöin Tällöin

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

1 2

{ξ≤x} {⊂ξ≤x}

1 2 1 2

( ) ( ), jos F x ≤F x x≤x

1 1 2 2

( ) Pr( ) Pr( ) ( )

F x = ξ≤x ≤ ξ≤x =F x

Perustelu

• Tällöin (4)

• Todistus:

Olkoon

h₁> h₂> h₃> ···

aleneva lukujonoja lisäksi Tällöin

Lauseen 1 kohdan (ii) mukaan

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

lim_n_{→+ ∞}h_n=x

1 2 3

{ξ≤h} {⊃ξ≤h} {⊃ξ≤h}⊃ →{ξ≤x}

( )

lim ( )_n lim Pr _n Pr( ) ( )

n F h n ξ h ξ x F x

→+ ∞ = →+ ∞ ≤ = ≤ =

lim_h_{→ +}0 F x h( + )=F x( )

Perustelu

• Tällöin (5)

• Todistus:

Komplementtitapahtuman todennäköisyydenkaavan nojalla

( ) Pr( )

F x = ξ≤x Pr(ξ>x) 1= −F x( )

Pr( ) 1 Pr( )

1 ( )

x x

F x ξ> = − ξ≤

= −

Perustelu

• Tällöin (6)

• Todistus:

Koska

ja

niin toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännönnojalla

( ) Pr( )

F x = ξ≤x Pr(a< ≤ξ b)=F b( )−F a( )

{ξ≤b} {= ξ≤a} {∪a< ≤ξ b}

{ξ≤a} {∩a< ≤ξ b}= ∅

( ) Pr( }

Pr( ) Pr( )

( ) Pr( )

F b b

a a b

F a a b

ξ

ξ ξ

ξ

= ≤

= ≤ + < ≤

= + < ≤

Kertymäfunktion tulkinta

• Kertymäfunktion määritelmän

ja kertymäfunktion ominaisuuden

perusteella kertymäfunktiolle voidaan antaa seuraava tulkinta:

Kertymäfunktio Fkuvaa miten satunnaismuuttujan ξ todennäköisyysmassaa kumuloituueli kertyy lisää, kun kertymäfunktion argumentti x kasvaa.

( ) Pr( )

F x = ξ≤x

1 2 1 2

(3) F x( )≤F x( ), jos x ≤x

Tilastolliset taulukot ja kertymäfunktio 1/2

• Tavanomaisimpien jakaumien(normaali-, χ²-, F- ja t- jakaumien)tilastolliset taulukotliittyvät jakaumien kertymäfunktion arvoihin.

• Normaalijakauman taulukoissaon yleensä taulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion arvoja)

useille argumentin xarvoille (ks. lukua Jatkuvia jakaumia).

Pr(ξ≤x)=F x( )

(5)

Tilastolliset taulukot ja kertymäfunktio 2/2

• Tavanomaisimpien jakaumien(normaali-, χ²-, F- ja t- jakaumien)tilastolliset taulukotliittyvät jakaumien kertymäfunktion arvoihin.

• Normaalijakauman taulukoissaon yleensä taulukoitu todennäköisyyksiä (kertymäfunktion arvoja)

useille argumentin xarvoille (ks. lukua Jatkuvia jakaumia).

• χ²-, F- ja t-jakaumien taulukoissaon yleensä taulukoitu argumentin xarvoja muutamille todennäköisyyksille

(ks. lukua Normaalijakaumasta johdettuja jakaumia).

Pr(ξ≤x)=F x( )

Pr(ξ≥x) 1= −F x( )

Kertymäfunktio

Diskrettien ja jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

• Tarkastelemme seuraavassa kertymäfunktioita kahdessa erikoistapauksessa:

(i) Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot (ii) Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

Kertymäfunktio

>> Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot

Avainsanat

Diskreetti satunnaismuuttuja Kertymäfunktio Pistetodennäköisyysfunktio Porrasfunktio

Satunnaismuuttuja Todennäköisyysjakauma

Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä

• Olkoon ξdiskreetti satunnaismuuttujaja {x1, x2, x3, … } sentulosvaihtoehtojeneli arvojenjoukko.

• Olkoon satunnaismuuttujan ξpistetodennäköisyysfunktio

• Määritellään funktio kaavalla

• Tällöin Fon diskreetin satunnaismuuttujanξkertymä- funktio.

• Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio Fon epäjatkuva ei-väheneväfunktio.

( ) Pr( ) ( )

i i i x x

F x ξ x f x

≤

= ≤ =

∑

( ) Pr(i i) i, 1,2,3, f x = ξ=x =p i= …

[ ]

: 0,1

F R→

Diskreetin jakauman kertymäfunktion määritelmä:

Kommentteja

• Diskreetin jakauman kertymäfunktion Fmääritelmän

mukaan kertymäfunktion Farvo pisteessäxeli toden- näköisyys tapahtumalle ξ≤xsaadaan laskemalla yhteen kaikki pistetodennäköisyydet

f(xi) = Pr(ξ= xi) = pi

joita vastaavat satunnaismuuttujan ξarvot xi≤x.

• Kaikkiensatunnaismuuttujaan ξliittyvien tapahtumien todennäköisyydetvoidaan määrätä sen kertymäfunktion avulla.

( ) Pr( ) ( )

i i i x x

F x ξ x f x

≤

= ≤ =

∑

(6)

Diskreetin jakauman kertymäfunktion ja pistetodennäköisyysfunktion yhteys

• Olkoon ξdiskreetti satunnaismuuttujaja {x₁, x2, x3, … } sentulosvaihtoehtojeneli arvojenjoukko.

• Olkoon satunnaismuuttujan ξpistetodennäköisyysfunktio

• Olkoon satunnaismuuttujan ξkertymäfunktio

• Tällöin

( ) Pr( )

i i i x x

F x ξ x p

≤

= ≤ =

∑

( ) Pr(_i _i) _i ( )_i ( _i1) f x = ξ=x =p =F x −F x₋

( ) Pr(_i _i) _i, 1,2,3, f x = ξ=x =p i= …

Esimerkki:

Onnenpyörä 1/7

• Luvun

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat kappaleen

Diskreetit satunnaismuuttujat ja niiden todennäköisyysjakaumat johdattelevassa esimerkissä käsitellään viereen kuvatun onnenpyörän käyttäytymistä satunnaisilmiönä.

A 30 %

B 25 % C

20 % D 15 %

E 10 %

Esimerkki:

• Onnenpyörän pinta on jaettu viiteen sektoriin A, B, C, D, E

• Sektoreiden pinta-alojen osuudet onnenpyörän kokonaispinta-alasta on esitetty alla:

A 30 %

B 25 % C

20 % D 15 %

E 10 %

Sektori %

A 30

B 25

C 20

D 15

E 10

Summa 100

Esimerkki:

• Esimerkissä määriteltiin diskreetti satunnaismuuttuja ξ, joka liittää tulosvaihtoehtoihin A, B, C, D, E

reaaliluvutseuraavalla tavalla:

A → 1

B → 2

C → 3

D → 4

E → 5

A 30 %

B 25 % C

20 % D 15 %

E 10 %

Esimerkki:

• Diskreetin satunnaismuuttujan ξpistetodennäköisyysfunktio f voidaan yleisesti määritellä kaavalla

jossa {x1, x2, x3, … } on satunnaismuuttujan ξ saamien arvojenjoukko.

( ) Pr(i i) i, 1,2,3, f x = ξ=x =p i= …

0 0.1 0.2 0.3 0.4

1 2 3 4 5

Pistetotodennäköisyysfunktio

(1, p₁) (2, p₂)

(3, p₃) (4, p₄)

(5, p₅)

Esimerkki:

• Esimerkin tapauksessa satunnaismuuttujan ξpiste- todennäköisyysfunktiofvoidaan määritellä seuraavasti:

f(1) = Pr(ξ= 1) = 0.30 = Pr(A) f(2) = Pr(ξ= 2) = 0.25 = Pr(B) f(3) = Pr(ξ= 3) = 0.20 = Pr(C) f(4) = Pr(ξ= 4) = 0.15 = Pr(D) f(5) = Pr(ξ= 5) = 0.10 = Pr(E) ⁰

0.1 0.2 0.3 0.4

1 2 3 4 5

Pistetotodennäköisyysfunktio

(1, p₁) (2, p₂)

(3, p₃) (4, p₄)

(5, p₅)

(7)

Esimerkki:

• Satunnaismuuttujan ξ kertymäfunktioon F(x) = Pr(ξ≤x)

• Diskreetinsatunnaismuuttujan pistetodennäköisyys-ja kertymä- funktioidenvälillä on seuraava yhteys:

Pr(ξ=xi)=pi=F x( )i−F x(i₋1)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6

p₁ p₂

p₃ p₄

p₅ Kertymäfunktio

Esimerkki:

• Esimerkin tapauksessa satunnaismuuttujan ξkertymä- funktio Fvoidaan määritellä alla olevan taulukon avulla.

• Kuva oikealla esittää esimerkin kertymäfunktion kuvaajaa.

F(x) = Pr(ξ ≤ x) x < 1 0

1 ≤ x < 2p1 = 0.3 2 ≤ x < 3p1 + p2 = 0.55 3 ≤ x < 4p1 + p2 + p3 = 0.75 4 ≤ x < 5p1 + p2 + p3 + p4 = 0.9

5 ≤ x p1 + p2 + p3 + p4 + p5 = 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 1 2 3 4 5 6

p₁ p₂

p₃ p₄

p₅ Kertymäfunktio

Diskreetin jakauman kertymäfunktio on porrasfunktio

• Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio Fon epäjatkuva ei-väheneväfunktio, jolla on epäjatkuvuus- kohtaeli hyppäysjokaisessa pisteessä xi, johon liittyy positiivinentodennäköisyys

Pr(ξ= x_i) = p_i

• Hyppäyksen suuruuspisteessä x_ion p_i.

• Kertymäfunktio saa vakioarvonperäkkäisten pisteiden xi−1ja xivälissä.

• Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on siten porrasfunktio, jossa todennäköisyydet pimääräävät askelmien korkeudetja erotukset xi−xi−1määräävät askelmien syvyydet.

Välien todennäköisyydet 1/2

• Diskreetin jakauman tapauksessa välin todennäköisyyson

( ]

,

Pr( ) ( ) ( )

Pr( )

i

i i x a b

a b F b F a

x p ξ

ξ

∈

< ≤ = −

= =

=

∑

( , ]a b ⊂R

• Kaavan

mukaan välin todennäköisyys voidaan määrätä kahdella eri tavalla:

(i) Jos jakauman pistetodennäköisyysfunktiotunnetaan, saadaan välin (a, b]todennäköisyys laskemalla yhteen pistetodennäköisyydetp_i, joita vastaavat x_i∈(a, b].

(ii) Jos jakauman kertymäfunktio Ftunnetaan, saadaan välin (a, b]todennäköisyys laskemalla kertymäfunktion F arvojen F(b) ja F(a) erotus.

(,]

Pr( ) ( ) ( )

i i i x a b

a ξ b F b F a p

∈

< ≤ = − =

∑

( , ]a b⊂R

Kertymäfunktio

Kertymäfunktio: Määritelmä Diskreettien jakaumien kertymäfunktiot

>> Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

(8)

Jatkuvien jakaumien kertymäfunktiot

Avainsanat

Jatkuva satunnaismuuttuja Kertymäfunktio Satunnaismuuttuja Tiheysfunktio Todennäköisyysjakauma

Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä

• Olkoon ξjatkuva satunnaismuuttuja.

• Olkoon satunnaismuuttujan ξtiheysfunktio f(x).

• Määritellään funktio kaavalla

• Fon jatkuvan satunnaismuuttujanξkertymäfunktio.

• Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio Fon jatkuva ei-väheneväfunktio.

( ) Pr( ) ( )

x

F x ξ x f t dt

−∞

= ≤ =

∫

[ ]

: 0,1

F R→

Jatkuvan jakauman kertymäfunktion määritelmä:

Kommentteja

• Jatkuvan jakauman kertymäfunktion Fmääritelmän

mukaan kertymäfunktion Farvo pisteessäxeli toden- näköisyys tapahtumalle ξ≤xmäärätään integroimalla tiheysfunktio fvälillä (−∞, x].

• Kaikkiensatunnaismuuttujaan ξliittyvien tapahtumien todennäköisyydetvoidaan määrätä sen kertymäfunktion avulla.

( ) Pr( ) ( )

x

F x ξ x f t dt

−∞

= ≤ =

∫

Jatkuvan jakauman kertymäfunktion ja tiheysfunktion yhteys

• Olkoon ξjatkuva satunnaismuuttuja.

• Olkoon satunnaismuuttujan ξtiheysfunktio f(x).

• Olkoon satunnaismuuttujan ξkertymäfunktio

• Tällöin

( ) d ( ) ( )

f x F x F x

dx ′

= =

( ) Pr( ) ( )

x

F x ξ x f t dt

−∞

= ≤ =

∫

• Jatkuvan jakauman tapauksessa välin todennäköisyyson

Pr( ) ( ) ( )

( )

b

a

a b F b F a

f x dx ξ

≤ ≤ = −

=

∫

( , ]a b ⊂R

• Kaavan

mukaan välin todennäköisyys voidaan määrätä kahdella eri tavalla:

(i) Jos jakauman tiheysfunktio ftunnetaan, saadaan välin [a, b]todennäköisyys integroimalla tiheys- funktiovälillä [a, b].

(ii) Jos jakauman kertymäfunktio Ftunnetaan, saadaan välin [a, b]todennäköisyys laskemalla kertymä- funktion arvojen F(b) ja F(a) erotus.

Pr( ) ( ) ( ) ( )

b

a

a≤ ≤ξ b =F b −F a =

∫

f x dx ( , ]a b ⊂R

(9)

• Olkoon f(x) jatkuvan satunnaismuuttujanξ tiheysfunktio.

• Tällöin:

• Kuva oikealla esittää normaali- jakaumantiheysfunktiota(ks.

lukua Jatkuvia jakaumia).

Jatkuvan jakauman tiheysfunktio ja välien todennäköisyydet: Havainnollistus

Pr( )

( ) Alueen pinta-ala

b

a

a b

f x dx A ξ

≤ ≤

=

∫

Tiheysfunktio f(x)

A

a b

• Olkoon F(x) jatkuvan satunnaismuuttujanξ kertymäfunktioja f(x) sen tiheysfunktio.

• Tällöin:

• Kuva oikealla esittää normaali- jakaumankertymäfunktiota(ks.

lukua Jatkuvia jakaumia).

Jatkuvan jakauman kertymäfunktio ja välien todennäköisyydet: Havainnollistus

Pr( )

( ) ( ) ( )

b

a

a b

F b F a f x dx

ξ

≤ ≤

= −

=

∫

⁰

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

Kertymäfunktio F(x)

a b

F(a) F(b)