1 Diskreettejä jakaumiaMitä opimme? –3/3 Diskreettejä jakaumiaEsitiedot Diskreettejä jakaumiaMitä opimme? –1/3 Diskreettejä jakaumiaMitä opimme? –2/3 Diskreettejä jakaumia Diskreettejä jakaumia

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan

Diskreettejä jakaumia

Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma

Diskreettejä jakaumia Mitä opimme? – 1/3

• Tutustumme tässä luvussa seuraaviin diskreetteihin todennäköisyysjakaumiin:

– Diskreetti tasainen jakauma – Bernoulli-jakauma – Binomijakauma – Geometrinen jakauma – Negatiivinen binomijakauma – Hypergeometrinen jakauma – Poisson-jakauma

• Tarkastelun kohteena ovat seuraavat jakaumien ominaisuudet:

(i) Jakauman määrittely (ii) Pistetodennäköisyysfunktio

(iii) Odotusarvo, varianssija standardipoikkeama (iv) Kuvaaja

• Tarkastelemme myös jakaumien yhteyksiätoisiin jakaumiin.

• Tarkasteltavien jakaumien odotusarvotjohdetaansuoraan odotusarvon määritelmään nojautuen.

• Todennäköisyysjakauman momentitsaadaan kuitenkin yleensä kätevimmin johdetuksi käyttämällä hyväksi jakauman momentit generoivaa funktiota; ks. lukua Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio.

• Tarkastelemme Bernoulli-jakauman, binomijakaumanja Poisson-jakaumantapauksessa myös ko. jakaumaa noudattavien riippumattomiensatunnaismuuttujien summanjakaumaa.

• Lisätietoja riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauman määräämisestä: ks. lukua Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat.

• Huomautus:

Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudellasitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat.

Diskreettejä jakaumia Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

(2)

Diskreettejä jakaumia Lisätiedot

• Todennäköisyysjakaumien momenttienmääräämistä tarkastellaan luvussa

Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

• Riippumattomien satunnaismuuttujien summan jakauman määräämistä tarkastellaan luvussa

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

>> Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma

Avainsanat

Diskreetti tasainen jakauma Odotusarvo

Pistetodennäköisyysfunktio Standardipoikkeama Varianssi

Diskreetti tasainen jakauma

Diskreetti tasainen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Olkoon X diskreetti satunnaismuuttuja, jonka mahdolliset arvot ovat

x1, x2, … , xn

• Oletetaan, että satunnaismuuttujan Xmahdollisiin arvoihin x1, x2, … , xnliittyvät todennäköisyydet ovat yhtä suuria:

• Huomautus:

Diskreetti tasainen jakauma liittyy sellaisiin otosavaruuksiin, joissa alkeistapaukset ovat symmetrisiä.

Pr(X x_k) 1,k 1,2, ,n

= =n = …

Diskreetti tasainen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktioon

• Sanomme, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa diskreettiä tasaista jakaumaa.

• Huomautus:

Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska ( ) Pr( ) 1,

1,2, ,

f x X x x xk

n

k n

= = = =

= …

1

( ) 1 1

n k k

f x n n

=

= ⋅ =

∑

Odotusarvo, varianssi ja standardipoikkeama

• Diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo:

• Diskreetin tasaisen jakauman varianssi:

• Diskreetin tasaisen jakauman standardipoikkeama:

1

E( ) _X 1 ⁿ _k

k

X x x

µ n

=

= = =

∑

2 2 2

1

Var( ) D ( ) X 1 ⁿ (k )

k

X X x x

σ n

=

= = =

∑

−

2 1

D( ) X 1 ⁿ ( k )

k

X x x

σ n

=

= =

∑

−

(3)

Odotusarvon ja varianssin johto

• Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määritelmistä saadaan:

1

2 2

2 1

E( )

( ) 1 Var( ) D ( )

( ) ( )

1 ( )

n

k k

k n

k k

n

k k

k n

k k

X x f x

x x

n

X X

x f x

x x

n µ

σ µ

=

= =

= −

∑

Odotusarvon ominaisuuksia

• Diskreetin tasaisen jakauman odotusarvo

on satunnaismuuttujan Xmahdollisten arvojen x1, x2, … , xnaritmeettinen keskiarvo.

1

E( ) _X 1 ⁿ _k

k

X x x

µ n

=

= =

∑

=

Odotusarvon ja varianssin laskeminen:

Esimerkki

• Olkoon satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktio f(k) = Pr(X = k) = pk= 1/6 , k= 1, 2, 3, 4, 5, 6

• Odotusarvo:

• Varianssi:

• Standardipoikkeama:

6 6

1 1

E( ) ( ) 1

6

1(1 2 3 4 5 6) 3.5 6

k k

X k f k k

= =

= + + + + + =

∑ ∑

D( )X = 2.917 1.708≈

6 6

2 2 2

1 1

2 2 2

D ( ) ( E( )) ( ) 1 ( E( ))

6

1(1 3.5) (2 3.5) (6 3.5) 35 2.917

6 12

k k

X k x f k k x

= =

= − = −

 

=  − + − + + − = ≈

∑ ∑

Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja

0 0.1 0.2 0.3

1 2 3 4 5 6

• Kuva oikealla esittää diskreetin tasaisen jakauman

pistetodennäköisyysfunktiota.

• Jakauman odotusarvo:

( ) 1, 1, 2,3, 4,5,6 f x =6 x=

6

1

E( ) 1 3.5

6k

X k

=

∑

=

E(X) = 3.5

>> Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma

Avainsanat Bernoulli-jakauma Bernoulli-koe Odotusarvo

Bernoulli-jakauma

(4)

Bernoulli-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Olkoon AotosavaruudenS tapahtumaja Pr(A) = p.

• Tällöin Pr(A^c) = 1 −Pr(A) = 1 −p= q.

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X:

• Tällöin satunnaismuuttujan X jakaumaon 1, jos tapahtuu

0, jos ei tapahdu X A

A

= 

 Pr( 1) Pr( 0) 1

X p

X p q

= =

= = − =

Bernoulli-jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyysfunktioon

• Sanomme, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa Bernoulli-jakaumaa parametrinaan p.

• Merkintä:

X∼Bernoulli(p)

• Huomautus:

Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska

( ) Pr( ) 1 , 0 1, 1

0,1

x x

f x X x p q p q p

x

= = = − < < = −

=

(0) (1) 1

f +f = + =q p

Komplementtitapahtuman todennäköisyys

• Olkoon Pr(A) = p

• Tällöin Pr(A^c)

= 1 −P(A)

= 1 −p

= q

S A

A^c

• Olkoon

X∼Bernoulli(p)

• Odotusarvo:

E(X) = p

• Varianssija standardipoikkeama:

Var( ) D ( )2

D( )

X X pq

X pq

= =

=

Odotusarvon ja varianssin johto

• Suoraan diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvon ja varianssin määritelmistä saadaan:

2 2 2

2 2

2

E( ) 1 Pr( 1) 0 Pr( 0)

1 0

E( ) 1 Pr( 1) 0 Pr( 0)

1 0

Var( ) E( ) [E( )]

(1 )

X X X

p q

p

X X X

p q

p

X X X

p p

p p

pq

= × = + × =

= × + ×

=

= × = + × =

= × + ×

=

= −

=

Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia

• Olkoon

X∼Bernoulli(p)

• Bernoulli-jakauman odotusarvo E(X) = p

yhtyy tapahtuman A todennäköisyyteenPr(A) = p.

• Bernoulli-jakauman varianssi Var(X) = pq= p(1 –p) = p–p² saavuttaa maksiminsa

1/4 kun p= q= 1/2.

(5)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 25 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

0 1

Bernoulli(0.8)

• Kuva oikealla esittää Bernoulli- jakauman

Bernoulli(0.8) pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissä x= 0, 1

( ) 1

0.8 , 1

x x

f x p q

p q p

= −

= = −

E( )X = =p 0.8

E(X) = 0.8

Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2

• Olkoot

X₁, X₂, … , X_n

riippumattomiasatunnaismuuttujia, jotka noudattavat samaa Bernoulli-jakaumaaparametrilla p:

X₁, X₂, … , X_n⊥

Xi~ Bernoulli(p) , i= 1, 2, … , n

• Tällöin satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xnsumma Y= X1+ X2+ ··· + Xn

noudattaa binomijakaumaaparametrilla (n, p):

Y~ Bin(n, p)

Bernoulli-jakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2

• Tulos perustellaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat.

• Huomautuksia:

– Kaikilla Bernoulli-jakaumilla on oltava samatapahtuman A todennäköisyyttä kuvaava parametri p.

– Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudellasitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat.

Bernoulli-kokeet ja

diskreetit todennäköisyysjakaumat 1/2

• Useat diskreetit todennäköisyysjakaumat saadaan toistamalla samaa Bernoulli-koettaniin, että koetoistot ovat riippumattomia:

(i) Binomijakaumasaadaan määräämällä

todennäköisyys sille, että tapahtuma Asattuu xkertaa, kun koetta toistetaan nkertaa.

(ii) Geometrinen jakaumasaadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma Asattuu ensimmäisen kerran x. koetoistossa.

(iii)Negatiivinen binomijakaumasaadaan määräämällä todennäköisyys sille, että tapahtuma Asattuu r.

kerran x. koetoistossa.

Bernoulli-kokeet ja

diskreetit todennäköisyysjakaumat 2/2

• Poisson-jakaumavoidaan johtaa binomijakauman raja- arvona, kun koetoistojen lukumäärän annetaan tiettyjen ehtojen vallitessa kasvaa rajatta.

Poisson-todennäköisyys voidaan tulkita toden-

näköisyydeksi sille, ettäharvinainentapahtuma Asattuu x kertaa pitkässä toistokoesarjassa.

Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma

>> Binomijakauma Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma

(6)

Avainsanat Binomijakauma Bernoulli-jakauma Bernoulli-koe Odotusarvo Otanta takaisinpanolla Pistetodennäköisyysfunktio Standardipoikkeama Varianssi

Binomijakauma

Binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/3

• Toistetaan samaaBernoulli-koettankertaa, jossa non kiinteä, etukäteen päätettyluku.

• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomia.

• Tarkastellaan otosavaruuden Stapahtuman Asattumista koetoistojen aikana.

• Oletetaan, että Pr(A) = p

Pr(A^c) = 1 −Pr(A) = 1 −p= q

X= Tapahtuman Aesiintymisten lukumäärä n-kertaisessa Bernoulli-kokeessa

Binomijakauma

• Satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktioon

• Sanomme, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa binomijakaumaa parametreinaan nja p.

• Merkintä:

X∼Bin(n, p)

( ) Pr( ) , 0 1, 1

0,1,2, ,

x n x

f x X x n p q p q p

x

x n

  −

= = =   < < = −

= …

Binomijakauma

• Huomautus:

Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska binomikaavanmukaan

Siten binomijakauman pistetodennäköisyydet

toteuttavat yhtälön

( ) ^{x n x}, 0,1, 2, ,

x

p f x n p q x n

x

  −

= =   = …

0 0

( ) ( ) 1 1

n n

x n x n n

x x

f x n p q p q

x

−

= =

=     = + = =

∑ ∑

0 1 2

0

1

n x n x n

x

p p p p n p q

x

−

=

+ + + + =    =

∑

 

Binomijakauma

Pistetodennäköisyysfunktion johto 1/2

• Toistetaan samaaBernoulli-koettankertaa.

• Oletetaan, että koetoistot ovat riippumattomiaja tarkastellaan tapahtuman Asattumista koetoistojen aikana.

• Oletetaan, että toistokoesarjan tuloksena saadaan tapahtumajono jossa on xkpl tapahtumia Aja (n−x) kpl tapahtumia A^c.

• Koska Pr(A) = p

Pr(A^c) = 1 −Pr(A) = 1 −p= q

tarkasteltavan tapahtumajonon todennäköisyydeksi saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännönnojalla

c c

A A A A A…A

x n x

ppqpq…p=p q⁻

Binomijakauma

• Erilaisiajonoja, joissa on xkpl tapahtumia Aja (n−x) kpl tapahtumia A^c, on

• Erilaisettapahtumajonot ovat toisensa poissulkevia.

• Toisensa poissulkevien tapahtumien yhteenlaskusäännönmukaan todennäköisyys saada sellainen jono, jossa on xkpl tapahtumia Aja (n−x) kpl tapahtumia A^csaadaan laskemalla erilaistentällaisten jonojen todennäköisyydet yhteen.

• Siten kysytyksi todennäköisyydeksi saadaan

( ) , 1

0,1, 2, ,

x n x

f x n p q q p

x

x n

  −

=  = −

 

= …

n kpl x

  

 

(7)

Binomijakauma

• Olkoon X∼Bin(n, p)

• Odotusarvo:

E( )X =np Var( ) D ( )2

D( )

X X npq

X npq

= =

=

Binomijakauma

Odotusarvon johto 1/2

• Tällöin

0 0

1

1 1

E( ) ( ) ! (1 )

!( )!

! (1 )

!( )!

! (1 )

( 1)!( )!

( 1)! (1 )

( 1)!( )!

n n

x n x

x x

n x n x

x n

x n x

x n

x n x

x

X xf x x n p p

x n x

x n p p

x n x

n p p

x n x

np n p p

x n x

np

−

= =

−

=

−

=

− −

=

= = −

−

= −

−

= −

− −

= − −

− −

=

∑ ∑

∑

Binomijakauma

• Kalvon 1/2 yhtälöketjun viimeinen yhtälö perustuu siihen, että

• Tämä seuraa siitä, että summassa lasketaan yhteen kaikki binomijakauman

Bin(n– 1, p) pistetodennäköisyydet

1 1

( 1)! (1 ) 1

( 1)!( )!

n x n x

x

n p p

x n x

− −

=

− − =

− −

∑

( 1)! 1

( ) (1 )

( 1)!( )!

x n x

f x n p p

x n x

− −

= − −

− −

Binomijakauma

Odotusarvon ja varianssin ominaisuuksia

• Binomijakauman odotusarvo

on suoraan verrannollinensekätoistokeiden lukumäärään nettätapahtuman A todennäköisyyteenPr(A) = p.

• Binomijakauman varianssi Var(X) = npq= np(1 –p) saavuttaa maksiminsa

n/4 kun p= q= 1/2.

E( )X =np

Binomijakauma

0 0.1 0.2 0.3 0.4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

• Kuva oikealla esittää Binomi- jakauman

Bin(12, 1/3)

pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissä x= 0, 1, 2, … , 12

E( )X =np=4 E(X) = 4

Bin(12, 1/3)

( )

12 , 1/ 3 , 1

x n x

f x n p q x

n p q p

  −

=   

= = = −

Binomijakauma

Pistetodennäköisyysfunktion kuvaaja:

Tapaukset p< 1/2, p= 1/2, p> 1/2

• p< 1/2: Binomijakauma on vino oikealle.

• p= 1/2: Binomijakauma on symmetrinen.

• p> 1/2: Binomijakauma on vino vasemmalle.

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Bin(12, 1/4) Bin(12, 1/2) Bin(12, 3/4)

(8)

Binomijakauma

Binomijakauma ja Bernoulli-jakauma 1/3

• Toistetaan samaaBernoulli-koettankertaa, jossa non kiinteä, etukäteen päätettyluku.

• Oletetaan, että Pr(A) = p Pr(A^c) = 1 −p= q

Binomijakauma

• Määritellään diskreetit satunnaismuuttujat Xi, i= 1, 2, … , n:

• Tällöin

Xi∼Bernoulli(p), i= 1, 2, … , n.

• Määritellään diskreetti satunnaismuuttuja X: X= Tapahtuman Aesiintymisten lukumäärä

n-kertaisessa Bernoulli-kokeessa

• Tällöin X∼Bin(n, p)

1, jos tapahtuu kokeessa 0, jos ei tapahdu kokeessa

i

A i

X A i

= 



Binomijakauma

• Selvästi

koska luku 1 esiintyy summassa ∑Xitäsmälleenyhtä monta kertaa kuin tapahtuma Asattuu n:n koetoiston aikana.

• Tämä merkitsee sitä, ettäbinomijakautunut satunnais- muuttujavoidaan esittääriippumattomien Bernoulli- jakautuneiden satunnaismuuttujien summana.

• Huomautus:

Binomi- ja Bernoulli-jakauman yhteyttä voidaan käyttää apuna binomijakauman odotusarvonja varianssinmääräämisessä; ks. >.

1 n

i i

X X

=

∑

Binomijakauma

Binomijakauman odotusarvon ja varianssin johto sekä Bernoulli-jakauma 1/2

• Olkoot Xi, i= 1,2, … , n riippumattomia satunnaismuuttujia, jotka noudattavat samaa Bernoulli-jakaumaaparametrilla p:

X1, X2, … , Xn⊥

Xi∼Bernoulli(p), i= 1,2, … , n

• Olkoon

• Tällöin X ∼Bin(n, p)

• Huomautus:

Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudellasitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat.

1 n

i i

X X

=

∑

Binomijakauma

Binomijakauman odotusarvon ja varianssin johto sekä Bernoulli-jakauma 2/2

• Satunnaismuuttujan X= ∑Xiodotusarvoon

koska satunnaismuuttujien summan odotusarvo on satunnais- muuttujien odotusarvojen summa.

• Satunnaismuuttujan X= ∑Xivarianssion

koska riippumattomien satunnaismuuttujien summan varianssi on satunnaismuuttujien varianssien summa.

1 1 1

E( ) E ⁿ _i ⁿE( )_i ⁿ

i i i

X X X p np

= = =

 

= 

∑

=

∑

=

∑

=

2 2 2

1 1 1

D ( ) D ⁿ i ⁿD ( )i ⁿ

i i i

X X X pq npq

= = =

 

= 

∑

=

∑

=

∑

=

Binomijakauma

Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 1/2

• Olkoot

X1, X2, … , Xk

riippumattomiasatunnaismuuttujia, jotka noudattavat binomijakaumiaparametrein (n1, p), (n2, p), … , (nk, p):

X1, X2, … , Xk⊥

Xi~ Bin(ni, p) , i= 1, 2, … , k

• Tällöin satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xksumma Y= X1+ X2+ ··· + Xk

noudattaa binomijakaumaaparametrein (n1+ n2+ ··· + nk, p):

Y~ Bin(n₁+ n₂+ ··· + n_k, p)

(9)

Binomijakauma

Binomijakaumaa noudattavien satunnaismuuttujien summan jakauma 2/2

• Tulos perustellaan luvussa Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat.

• Huomautuksia:

– Kaikilla binomijakaumilla on oltava samatapahtuman Atoden- näköisyyttä kuvaava parametri p, mutta sen sijaan toistokokeiden lukumäärää kuvaava parametri saa vaihdella jakaumasta toiseen.

– Tarkoitamme satunnaismuuttujien riippumattomuudellasitä, että yhdenkään satunnaismuuttujan saamat arvot eivät riipu siitä, mitä arvoja muut satunnaismuuttujat saavat; käsite täsmennetään luvussa Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat.

Binomijakauma

Binomijakauma ja otanta takaisinpanolla 1/5

• Olkoon perusjoukon Salkioiden lukumäärä n(S) = N

• Poimitaan perusjoukosta S satunnaisesti osajoukko B, jonka alkioiden lukumäärä on

n(B) = n

käyttämällä poiminnassa otantaa takaisinpanolla.

Binomijakauma

• Otanta takaisinpanolla:

(i) Perusjoukosta Spoimitaan alkiot osajoukkoon Byksi kerrallaan arpomalla.

(ii) Poimittu alkio palautetaanaina ennen uuden alkion arpomista takaisinperusjoukkoon S.

(iii)Jokaisella perusjoukon S alkiollaon jokaisessa arvonnassa sama todennäköisyys

1/N

tulla poimituksiosajoukkoon B.

• Osajoukko Bmuodostaa yksinkertaisen satunnais- otoksenperusjoukosta S.

Binomijakauma

• Otannassa takaisinpanolla arvonta voidaan toteuttaa seuraavalla tavalla:

(1) Pannaan uurnaanjokaista perusjoukon Salkiota vastaava arpalippu.

(2) Sekoitetaanarvat huolellisesti.

(3) Nostetaanuurnasta arpalippu, jota vastaava alkio valitaan otokseen B.

(4) Palautetaannostettu arpalippu uurnaan.

(5) Palataan vaiheeseen (2), kunnes haluttu otoskoko n on saavutettu.

Binomijakauma

• Huomautuksia otannasta takaisinpanolla:

(i) Jokaisen perusjoukon S alkion todennäköisyystulla valituksi otokseen säilyy samanakoko poiminnan ajan.

(ii) Jokaisella perusjoukon Ssamankokoisella osajoukolla on samatodennäköisyys tulla valituksi otokseksi.

(iii) Sama perusjoukon Salkio voi tulla valituksi useita kertojaotokseen.

Binomijakauma

• Olkoon Aperusjoukon osajoukko, jonka alkioiden lukumäärä on

n(A) = r

• Tällöin todennäköisyys poimia alkio joukosta Aon

• Otannassa takaisinpanolla otokseen poimittujen A- tyyppisten alkioiden lukumäärä Xon diskreetti satunnaismuuttuja, joka noudattaa binomijakaumaa parametreilla nja p:

X∼Bin(n, p) Pr( )A p r

= =N

(10)

Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma

>> Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma

Avainsanat

Geometrinen jakauma Bernoulli-koe Odotusarvo

Geometrinen jakauma

Geometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Toistetaan samaaBernoulli-koetta.

Pr(A^c) = 1 −Pr(A) = 1 −p= q

X= Tehtyjen Bernoulli-kokeiden lukumäärä, kun Asattuu ensimmäisen kerran

Geometrinen jakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Sanomme, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa geometrista jakaumaa parametrinaan p.

• Merkintä:

X∼Geom(p)

• Huomautus:

Funktio f(x) määrittelee todennäköisyysjakauman, koska geometrisen sarjan summan kaavanmukaan

( ) Pr( ) 1 , 0 1, 1

1,2,3,

f x X x q px p q p

x

= = = − < < = −

= …

1

1 1 0

1 1

( ) 1

1

x x

x x x

f x q p p q p p

q p

∞ ∞ ∞

−

= = =

= = = = =

∑ ∑ ∑

−

• Toistetaan samaaBernoulli-koettankertaa.

• Tarkastellaan toistokoesarjaa, jossa tapahtuma Asattuu ensimmäisen kerran x:nnessä kokeessa.

• Toistokoesarjan tuloksena on tällöin ollut tapahtumajono

jossa on ensinsattunut (x−1) kpl tapahtumia A^cja sitten tapahtuma A.

c c c c

A A A…A A

• Koska Pr(A) = p

Pr(A^c) = 1 −Pr(A) = 1 −p= q

tarkasteltavan tapahtumajonon todennäköisyydeksi saadaan riippumattomien tapahtumien tulosäännönnojalla

mikä on kysytty todennäköisyys.

1

1,2,3, qqq qp q px

x

= −

= …

(11)

• Olkoon X∼Geom(p)

• Odotusarvo:

E( )X 1

=p

2

Var( ) D ( ) 2

D( )

X X q

p X q

p

= =

=

• Pistetodennäköisyyksienf(x) , x= 1, 2, 3, …summaon

• Satunnaismuuttujan X odotusarvoon

( ) 1 , 1

1, 2,3, f x q p qx p

x

= − = −

= …

1

1 1

( ) ( ) (1 )^x 1

x x

S p ^∞ f x ^∞ p ⁻p

= =

=

∑

=

∑

− =

1

1 1

E( ) ( ) (1 )^x

x x

X ^∞xf x ^∞x p ⁻p

= =

=

∑

=

∑

−

• Summan S(p) derivaatta muuttujan psuhteen on

2 1

1 2 1

2 1

1 1

( ) ( 1)(1 ) (1 )

(1 )

(1 ) (1 )

1 (1 )

1

1 (1 ) 1 (1 )

1

x x

x x x

x x

S p x p p p

p

x p p

p p p

x p p

p

p p p p

p p

∞ − −

=∞

−

= ∞ ∞

− −

= =

∞ −

=

∞ ∞

− −

= =

∂∂ = − − − + − 

= − −

+ − + −

= − −

−

+ − + −

−

∑

∑ ∑

∑

∑ ∑

• Ottamalla huomioon yhtälöt

saadaan yhtälö

( ) 1 E( ) 1 1

1 1

1 E( ) 1

1 (1 )

0

S p X

p p p p

p X p p

∂ = − + +

∂ − −

= − +

− −

=

1 1

(1 ) ( ) 1

(1 ) E( )

x x

p p S p

x p p X

∞ −

=

∞ −

=

− = =

− =

∑

• Geometrisen jakauman odotusarvo E(x) toteuttaa siis yhtälön

• Sitengeometrisen jakauman odotusarvoon E( )X 1

=p

1 E( ) 1 0

1 X (1 )

p p p

− + =

− −

Odotusarvon ominaisuuksia

• Geometrisen jakauman odotusarvo

on kääntäen verrannollinen tapahtuman A toden- näköisyyteenPr(A) = p.

• Siten tapahtumaa Asaa odottaa keskimäärin sitäkauemmin mitäpienempion tapahtuman Atodennäköisyys.

E( )X 1

=p

(12)

• Kuva oikealla esittää geometrisen jakauman

Geom(1/3)

pistetodennäköisyysfunktiota

pisteissä x= 1, 2, … , 12

• Jakauman odotusarvo: ⁰

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

( ) 1

1/ 3 , 1 f x q px

p q p

= −

= = −

E( )X 1 3

=p=

Geom(1/3)

E(X) = 3

Geometrisen jakauman unohtamisominaisuus

• Tällöin

Pr(X≥a+ b |X≥a) = Pr(X≥1 + b)

• Siten geometrisella jakaumalla on seuraava unohtamis- ominaisuus:

Se, että tapahtuman Asattumista on jouduttu odottamaan akoetoistoa, ei vaikutatodennäköisyyteen joutua odottamaan bkoetoistoa lisää.

Diskreetti tasainen jakauma Bernoulli-jakauma Binomijakauma Geometrinen jakauma

>> Negatiivinen binomijakauma Hypergeometrinen jakauma Poisson-jakauma

Avainsanat Bernoulli-koe Geometrinen jakauma Negatiivinen binomijakauma Odotusarvo

Negatiivinen binomijakauma

Negatiivinen binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 1/2

• Toistetaan samaaBernoulli-koetta.

Pr(A^c) = 1 −Pr(A) = 1 −p= q

X= Tehtyjen Bernoulli-kokeiden lukumäärä, kun Asattuu r. kerran

Negatiivinen binomijakauma ja sen pistetodennäköisyysfunktio 2/2

• Sanomme, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa negatiivista binomijakaumaa parametreinaan rja p.

• Merkintä:

X∼NegBin(r, p)

( ) Pr( ) 1 , 0 1, 1

1

1,2,3, ; , 1, 2,

x r r

f x X x x q p p q p

r

r x r r r

− −

 

= = = −  < < = −

= … = + + …