1 Väliestimointi:Mitä opimme? –3/3 Väliestimointi:Esitiedot Väliestimointi:Mitä opimme? –1/3 Väliestimointi:Mitä opimme? –2/3 Väliestimointi Väliestimointi

(1)

TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus tilastotieteeseen

Väliestimointi

Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman varianssin luottamusväli Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli

Väliestimointi

Väliestimointi:

Mitä opimme? – 1/3

• Tilastollisen tutkimuksentavoitteena on tehdä johtopäätöksiä prosesseistatai mekanismeista, jotka generoivatreaalimaailman ilmiöitä koskevia havaintoja.

• Tavoitteeseen pyritään rakentamalla havainnot generoineille prosesseille tai mekanismeille tilastollisia malleja.

• Koska tilastollisten tutkimusasetelmien havaintoihin liittyy aina satunnaisuuttatai epävarmuutta, tilastollisina malleina käytetään todennäköisyysmalleja.

• Tilastollinen malli havainnot generoineelle prosessille tai mekanismille on täysin määrätty, jos havaintojen todennäköisyys- jakaumatunnetaan.

• Tilastollisena mallina käytettävän todennäköisyysjakauman parametrejaeisovellustilanteessa yleensä tunneta.

• Jakauman parametreille on löydettävä estimaatiteli arviot, jotta jakaumaa voisi hyödyntää mallina.

• Tilastollisen tutkimuksentärkeimpiä osatehtäviä on estimoidaeli arvioidamallina käytettävän todennäköisyysjakauman tuntemattomat parametrit ilmiötä koskevista havainnoista.

• Havaintojen funktiota, joka tuottaa ilmiötä koskeviin havaintoihin sovellettuna estimaattejaeli arvioitatodennäköisyysjakauman tuntemattomalle parametrille, kutsutaan parametrin estimaattoriksi.

• Tilastotieteentärkeimpiä osatehtäviä on johtaaestimaattoreita todennäköisyysjakauman parametreille.

• Estimaattoreiden johtamiseen käytetään tavallisesti joko suurimman uskottavuuden menetelmäätai momenttimenetelmää.

Ks. lukua Estimointimenetelmät.

• Todennäköisyysjakauman tuntemattomien parametrien arvojen määräämistä kutsutaan usein piste-estimoinniksierotukseksi väli- estimoinnista, jossa parametreihin liitetään luottamusväleiksi kutsutut välit, joka sisältävät parametrien todelliset arvot soveltajan valittavissa olevilla todennäköisyyksillä.

Esitiedot

• Esitiedot: ks. seuraavia lukuja:

Tilastollisten aineistojen kerääminen ja mittaaminen Tilastollisten aineistojen kuvaaminen

Otos ja otosjakaumat Estimointi Estimointimenetelmät

Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Jakaumien tunnusluvut

Diskreettejä jakaumia Jatkuvia jakaumia

(2)

Lisätiedot

• Todennäköisyysjakaumien parametreja koskevien tilastollisten hypoteesien testaamistakäsitellään luvussa

Tilastolliset testit

• Jakaumaoletuksien testaamistakäsitellään luvussa

Yhteensopivuuden, homogeenisuuden ja riippumattomuuden testaaminen

>> Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi Luottamusväli

Väliestimointi

Avainsanat Estimaatti Estimaattori Estimointi Havainto Havaintoarvo Parametri Otos Otosjakauma Parametri Piste-estimointi Tilastollinen aineisto Tilastollinen malli Todennäköisyysjakauma Väliestimointi

Parametrien estimointi

Todennäköisyysjakaumien parametrien estimointi

Todennäköisyysjakaumat tilastollisten aineistojen kuvaajina

• Tilastollinen aineistokoostuu tutkimuksen kohteita kuvaavien muuttujien havaituista arvoista.

• Tilastollisissa tutkimusasetelmissa havaintoihin liittyy aina epävarmuuttaja satunnaisuutta.

• Tilastollisissa tutkimusasetelmissa tutkimuksen kohteita kuvaavat muuttujat tulkitaan satunnaismuuttujiksi, jotka generoivatmuuttujien havaitut arvot.

• Tilastollisella mallillatarkoitetaan havaintoarvot generoineiden satunnaismuuttujien todennäköisyys- jakaumaa.

Todennäköisyysjakaumien parametrit 1/2

• Tarkastellaan jotakin tutkimuksen kaikkien mahdollisten kohteiden muodostaman perusjoukon Salkioiden ominaisuutta kuvaavaa satunnaismuuttujaa X.

• Oletetaan, että satunnaismuuttuja Xnoudattaa toden- näköisyysjakaumaa, jonka pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

f(x; θ)

riippuu parametristaθ.

• Merkintä:

~ ( ; ) X f x θ

Todennäköisyysjakaumien parametrit 2/2

• Satunnaismuuttujan Xpistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio

f(x; θ)

kuvaa satunnaismuuttujanX todennäköisyysjakaumaa ja parametri θkuvaa jotakin jakauman karakteristista ominaisuutta.

• Koska parametrin θarvoa eisovellustilanteessayleensä tunneta, tilastollisen tutkimuksen tärkeimpiä osatehtäviä on estimoidaeli arvioidatuntemattomalle parametrille θ sopiva arvo jakaumasta f(x; θ) poimitun otoksen perusteella.

(3)

Yksinkertainen satunnaisotos

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

yksinkertainen satunnaisotosjakaumasta, jonka pistetodennäköisyys- tai tiheysfunktio f(x; θ) riippuu parametrista θ.

• Tällöin havainnot X1, X2, … , Xnovat riippumattomia, identtisesti jakautuneita satunnaismuuttujia, joilla on sama pistetodennäköisyys-tai tiheysfunktio f(x; θ):

1, 2, ,

~ ( ; ) , 1, 2, ,

n i

X X X

X f x θ i n

⊥

=

…

Havainnot ja havaintoarvot

• Oletetaan, että satunnaismuuttujat (havainnot) X1, X2, … , Xn

saavat poimitussa otoksessahavaituiksi arvoikseenluvut x1, x2, … , xn

• Havaintoarvot x1, x2, … , xn

vaihtelevat satunnaisesti otoksesta toiseenjakaumasta f(x; θ)

saatavin todennäköisyyksin.

Estimaattorit ja estimaatit 1/2

• Oletetaan, että todennäköisyysjakauman f(x; θ)

parametrinθestimoimiseenkäytetään satunnaismuuttujien X1, X2, … , Xnfunktiota eli tunnuslukua

T= g(X1, X2, … , Xn)

• Tällöin funktiota T= g(X1, X2, … , Xn) kutsutaan parametrin θestimaattoriksija havaintoarvoista

x1, x2, … , xn

laskettua funktion garvoa t= g(x1, x2, … , xn)

kutsutaan parametrin θestimaatiksi.

Estimaattorit ja estimaatit 2/2

• Olkoon

T= g(X1, X2, … , Xn)

jakauman f(x; θ) parametrin θestimaattori.

• Tällöin estimaattorinThavaintoarvoista x1, x2, … , xn

laskettu arvo eli estimaatti t= g(x1, x2, … , xn)

on satunnaismuuttujan T arvon realisaatio otoksessa.

Estimaattoreiden johtaminen

• Hyvien estimaattoreiden johtaminentodennäköisyys- jakaumien tuntemattomille parametreille on teoreettisen tilastotieteen keskeisiä ongelmia.

• Tärkeimmät estimaattoreiden johtamiseen käytettävät menetelmät:

– Momenttimenetelmä

– Suurimman uskottavuuden menetelmä Ks. lukua Estimointimenetelmät.

Piste-estimointi ja väliestimointi

• Todennäköisyysjakauman parametrin arvon estimointia kutsutaan usein piste-estimoinniksi.

• Parametrin estimaattiin on aina syytä liittää luottamus- väliksikutsuttu väli, joka sisältää estimoidun parametrin todellisen, mutta tuntemattoman arvon tietyllä, soveltajan valittavissa olevalla todennäköisyydellä.

• Luottamusvälin määräämistä kutsutaan väliestimoinniksi.

(4)

>> Luottamusväli

Väliestimointi

Avainsanat Frekvenssitulkinta Luottamuskerroin Luottamustaso Luottamusväli

Luottamusväli

Luottamusväli ja luottamustaso

• Väliestimoinnissatodennäköisyysjakauman f(x; θ) tuntemattomalle parametrille θpyritään määräämään havainnoista riippuva väli, joka tietyllä, tutkijan valittavissa olevalla todennäköisyydellä, peittää parametrin todellisen arvon.

• Konstruoitua väliä kutsutaan luottamusväliksija valittua todennäköisyyttä kutsutaan luottamustasoksi.

• Huomautus:

Luottamustasollevoidaan antaa tulkinta todennäköisyyden frekvenssitulkinnanavulla.

Luottamusväli

Luottamusvälin määrääminen 1/3

• Oletukset:

(i) Olkoon f(x; θ) satunnaismuuttujan Xtodennäköi- syysjakauma, jonka määrää tuntematon parametri θ. (ii) Olkoon X1, X2, … , Xnyksinkertainen satunnaisotos

jakaumasta f(x; θ).

(iii) Olkoon

parametrin θestimaattori.

1 2

ˆ ˆ( , , , )X X Xn

θ θ= …

Luottamusväli

• Valitaan luottamustaso 1 −α

ja määrätään sen jälkeen satunnaismuuttujat

siten, että

• Huomautus:

Satunnaismuuttujat Lja Uriippuvat sekä havainnoista X₁, X₂, … , X_nettä luottamustasosta (1 −α).

Pr(ˆ ) / 2

L U

θ θ α

− ≤ =

+ ≥ =

1 2

( , , , )

n n

L L X X X

U U X X X

=

…

Luottamusväli

• Tällöin väli

on parametrin θluottamusväli luottamustasolla (1 −α).

• Luottamusvälin konstruktiosta seuraa, että väli peittää tuntemattoman parametrinθtodellisen arvon todennäköisyydellä(1 −α):

ˆ ˆ

(θ−L,θ+U)

ˆ ˆ

Pr(θ− ≤ ≤ +L θ θ U) 1= −α

ˆ ˆ

(θ−L,θ+U)

(5)

Luottamusväli

Luottamusvälin määrääminen:

Erikoistapaus

• Jos estimaattorin jakauma on symmetrinen, parametrin θ luottamusväli luottamustasolla (1 −α)on muotoa jossa satunnaismuuttuja

valitaan siten, että

• Huomautus:

Satunnaismuuttuja Ariippuu sekä havainnoista X₁, X₂, … , X_n että luottamustasosta (1 −α).

θˆ ˆ A θ±

ˆ ˆ

Pr(θ− ≤ ≤ +A θ θ A) 1= −α

1 2

( , , , n) A A X X= …X

Luottamusväli

Luottamustason ja -välin frekvenssitulkinta

• Oletetaan, että luottamustasoksi on valittu (1 −α).

• Luottamustasolle ja siihen liittyvälle luottamusvälille voidaan antaa seuraava frekvenssitulkinta:

(i) Jos otantaa jakaumasta f(x; θ) toistetaan, keskimäärin 100×(1 −α) %

otoksista konstruoiduista luottamusväleistä peittää parametrin θtodellisen arvon.

(ii) Jos otantaa jakaumasta f(x; θ) toistetaan, keskimäärin 100×α%

otoksista konstruoiduista luottamusväleistä ei peitä parametrin θtodellista arvoa.

Luottamusväli

Johtopäätökset luottamisväleistä

• Oletetaan, että teemmejohtopäätöksen, että konstruoitu luottamusväli peittää parametrin θtuntemattoman todellisen arvon:

(i) Luottamusvälin konstruktiosta seuraa, että tehty johtopäätös on oikea100×(1 −α) %:ssa tapauksia.

(ii) Luottamusvälin konstruktiosta seuraa, että tehty johtopäätös on väärä100×α%:ssa tapauksia.

• Huomautus:

Virheellisen johtopäätöksen mahdollisuuttaei saada häviämään, ellei luottamusväliä tehdääärettömän leveäksi, jolloin väliei enää sisällä informaatiotaparametrinθoikeasta arvosta.

Luottamusväli

Luottamusvälit:

Esimerkkejä

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

yksinkertainen satunnaisotosjakaumasta f(x; θ).

• Tarkastellaan seuraavien jakaumien parametrien luottamusvälejä:

– Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli – Normaalijakauman varianssin luottamusväli – Bernoulli-jakauman odotusarvoparametrin

luottamusväli

>> Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli Normaalijakauman varianssin luottamusväli Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli

Väliestimointi

Avainsanat Frekvenssitulkinta Luottamuskerroin Luottamustaso Luottamusväli Normaalijakauma

Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli

(6)

Esimerkki – 1/4

• Kone tekee ruuveja, joiden pituudet vaihtelevat satunnaisesti noudattaen normaalijakaumaa;

ks. esimerkkiä luvussa Tilastollisten aineistojen kuvaaminen.

• Ruuvien joukosta poimitaan yksinkertainen satunnaisotos, jonka koko n= 30 ja otokseen poimittujen ruuvien pituudet mitataan.

• Taulukko oikealla esittää pituuksien luokiteltua frekvenssi- jakaumaa.

Luokkavälit Luokkafrekvenssit

(9.85,9.90] 1

(9.90,9.95] 2

(9.95,10.00] 6

(10.00,10.05] 3

(10.05,10.10] 5

(10.10,10.15] 4

(10.15,10.20] 5

(10.20,10.25] 3

(10.25,10.30] 1

• Kuva oikealla esittää otokseen poimittujen ruuvien pituuksien luokiteltua frekvenssijakaumaa vastaavaa histogrammia.

• Luokkavälitmääräävät histogrammin suorakaiteiden kannat.

• Suorakaiteiden korkeudeton valittu niin, että suorakaiteiden pinta-alatsuhtautuvat toisiinsa kuten vastaavat luokka- frekvenssit.

Ruuvien pituuksien luokiteltu frekvenssijakauma

0 1 2 3 4 5 6 7

9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4

Pituus (cm)

Frekvenssi

• Yhteenveto otostiedoista:

Pituuksien aritmeettinen keskiarvo:

Pituuksien keskihajonta:

s= 0.1038 cm

• Huomautus:

Jos otantaa toistetaan, kaikki otosta koskevat tiedot (sekä havainnot että niistä lasketut otossuureet) vaihtelevat satunnaisestiotoksesta toiseen.

10.09 cm X=

0 1 2 3 4 5 6 7

9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4

Pituus (cm)

Frekvenssi

• Ongelma:

Mitä koneen tekemien ruuvien todellisesta keskipituudesta voidaan tietääyhdestä otoksestasaatujen tietojen perusteella?

• Ratkaisu:

Konstruoidaan väli, joka valitulla todennäköisyydellä sisältää ruuvien todellisen keskipituuden.

0 1 2 3 4 5 6 7

9.8 9.9 10.0 10.1 10.2 10.3 10.4

Pituus (cm)

Frekvenssi

Normaalijakauma ja sen parametrointi

• Satunnaismuuttuja Xnoudattaa normaalijakaumaa N(µ, σ²), jos sen tiheysfunktioon

• Normaalijakauman parametreinaovat jakauman odotusarvo

ja varianssi

2

2 1 1

( ; , ) exp

2 2

, 0

f xµ σ x µ

σ π σ

µ σ

  −  

= −   

 

 

−∞ < < +∞ >

E( )X =µ Var( )X =σ2

Otos normaalijakaumasta

• Olkoon

X₁, X₂, … , X_n

yksinkertainen satunnaisotosnormaalijakaumasta N(µ, σ²)

• Tällöin satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xnovat riippumattomiaja noudattavat samaa normaalijakaumaa

N(µ, σ²)

(7)

Normaalijakauman parametrien estimointi

• Estimoidaannormaalijakauman N(µ, σ²) parametrit µja σ²niiden harhattomilla estimaattoreilla:

(i) Odotusarvoparametrinµharhaton estimaattori:

(ii) Varianssiparametrinσ²harhaton estimaattori:

1

1 ⁿ

i i

X X

n =

=

∑

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

Luottamustaso

• Määrätään luottamusväli normaalijakauman odotus- arvoparametrille µ.

• Valitaan luottamustasoksi 1 −α

• Luottamustaso kiinnittää todennäköisyyden, jolla konstruoitava luottamusväli peittää normaalijakauman odotusarvon µtodellisen arvon.

Luottamuskertoimet

• Olkoon valittu luottamustaso (1 −α).

• Määrätään luottamuskertoimet–t_α/2ja +t_α/2siten, että

jossa satunnaismuuttuja tnoudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein (n– 1):

• Luottamuskertoimet –t_α/2ja +t_α/2toteuttavat ehdon

/ 2

Pr( )

2

Pr( )

2 t t t t

α

α α

≤ − =

≥ + =

( 1) t t n∼ −

/ 2 / 2

Pr(−t_α ≤ ≤ +t t_α ) 1= −α

Luottamuskertoimien määrääminen:

Havainnollistus

• Luottamuskertoimet –t_α/2ja +tα/2jakavat t-jakauman tiheysfunktion kuvaajan alle jäävän todennäköisyysmassan (= 1) kolmeenosaan:

(1) Pisteen –tα/2vasemmalle puolelle jääα/2 % massasta.

(2) Pisteen +tα/2oikealle puolelle jääα/2 % massasta.

(3) Pisteiden –t_α/2ja +t_α/2 väliinjää (1 −α) % massasta.

• Huomaa, että

α/2 + α/2 + (1 −α) = 1

–t_α/2 1−α

+t_α/2

α/2 α/2

0 t-jakauman tiheysfunktio

Luottamusväli normaalijakauman odotusarvolle

• Normaalijakauman odotusarvoparametrin µluottamus- väli luottamustasolla (1 −α)on muotoa

jossa

= havaintojen aritmeettinen keskiarvo s² = havaintojen harhaton otosvarianssi n = havaintojen lukumäärä

−t_α_/2, +t_α_/2

= luottamustasoon (1 −α) liittyvät luottamus- kertoimet t-jakaumasta vapausastein(n– 1)

/ 2 s , / 2 s

X t X t

n n

α α

 − + 

 

 

X

Luottamusväli ja sen pituus 1/2

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusväli luottamustasolla (1 −α) esitetään usein muodossa

koska väli on symmetrinen keskipisteensä suhteen.

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusvälin pituus on

/ 2

X t s

α n

±

X

2 t/ 2 s

α n

×

(8)

Luottamusväli ja sen pituus 2/2

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusväli luottamustasolla (1 −α):

/ 2

t s

α n

X

/ 2

t s

α n

Luottamusvälin johto 1/7

• Olkoon X₁, X₂, … , X_n

• Olkoon

havaintojen X1, X2, … , Xnaritmeettinen keskiarvoja

havaintojen X1, X2, … , Xn(harhaton) otosvarianssi.

1

1 ⁿ

i i

X X

n=

=

∑

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

• Määritellään satunnaismuuttuja

• Satunnaismuuttuja tvoidaan kirjoittaa muotoon

• Määrätään satunnaismuuttujan tjakauma tarkastelemalla erikseen satunnaismuuttujan tosoittajaa ja nimittäjää.

t X s n

µ

= −

2 ( 1)2 2

1 X

X X n

t s n n s n s

n µ

µ µ σ σ

σ σ

−

− −

= = ⋅ =

−

• Satunnaismuuttujan tosoittaja määrittelee satunnaismuuttujan

• Satunnaismuuttuja Znoudattaa normaalijakautuneen otoksen aritmeettisen keskiarvon otosjakaumaa koskevan tuloksen perusteella standardoitua normaalijakaumaaN(0,1):

• Satunnaismuuttuja tnimittäjä määrittelee satunnaismuuttujan

• Satunnaismuuttuja Vnoudattaa normaalijakautuneen otoksen varianssin otosjakaumaa koskevan tuloksen perusteellaχ²-jakaumaa vapausastein(n– 1):

Z X n µ σ

= −

N(0,1) Z∼

2

( 1)s2

V n

= − σ

2( 1)

V∼χ n−

• Edellä on todettu, että

• Lisäksi voidaan osoittaa, että satunnaismuuttujat Zja Vovat riippumattomia(todistus sivuutetaan).

• Siten satunnaismuuttuja

noudattaa Studentin t-jakaumaavapausastein (n– 1) suoraan jakauman määritelmän mukaan:

1

X Z

t s n V

n

−µ

= =

−

( 1) t t n∼ −

2

N(0,1) ( 1) Z V χ n−

∼

• Määrätään t-jakaumasta vapausastein (n– 1) piste +tα/2siten, että jolloin (t-jakauman symmetrian perusteella)

ja edelleen Pr( / 2)

t_{≥ +}tα ₌α2

Pr( / 2) t tα 2

≤ − =α

/ 2 / 2

Pr(−tα ≤ ≤ +t tα ) 1= −α

(9)

• Tarkastellaan epäyhtälöketjua

• Sijoittamalla tähän epäyhtälöketjuun satunnaismuuttujan tlauseke, saadaan epäyhtälöketju

• Tästä epäyhtälöketjusta saadaan sen kanssa yhtäpitäväepäyhtälöketju

/ 2 / 2

t X t

s n

α −µ α

− ≤ ≤ +

/ 2 / 2

s s

X t X t

n n

α µ α

− ≤ ≤ +

/ 2 / 2

t_α t t_α

− ≤ ≤ +

• Yhdistämällä saatu epäyhtälö siihen, että saadaan vihdoin

/ 2 / 2

Pr s s 1

X t X t

n n

α µ α α

 − ≤ ≤ + = −

 

 

/ 2 / 2

Pr(−t_α ≤ ≤ +t t_α ) 1= −α

Luottamusvälin frekvenssitulkinta 1/2

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusvälin

konstruktiosta seuraa, että

• Siten konstruoitu luottamusväli peittääparametrin µ todellisen arvon todennäköisyydellä (1 −α) ja se ei peitä parametrin µtodellista arvoa todennäköisyydelläα.

/ 2 s , / 2 s

X t X t

n n

α α

 − + 

 

 

/ 2 / 2

Pr X t s X t s 1

n n

α µ α α

 − ≤ ≤ + = −

 

 

Luottamusvälin frekvenssitulkinta 2/2

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusvälille voidaan antaa seuraava frekvenssitulkinta:

(i) Jos otantaa jakaumasta N(µ, σ²) toistetaan, keskimäärin

100×(1 −α) %

otoksista konstruoiduista luottamusväleistä peittää parametrin µtodellisen arvon.

(ii) Jos otantaa jakaumasta N(µ, σ²) toistetaan, keskimäärin

100×α%

otoksista konstruoiduista luottamusväleistä ei peitä parametrin µtodellista arvoa.

Luottamusvälin ominaisuudet 1/3

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusvälin keskipiste vaihtelee otoksesta toiseen.

• Luottamusvälin pituus

vaihtelee otoksesta toiseen.

• Luottamusvälin pituusriippuu valitusta luottamustasosta (1 −α), havaintojen lukumäärästänja otosvarianssista s².

X

2 t / 2 s

α n

×

• Luottamusväli lyhenee(pitenee), jos luottamustasoa (1 −α) pienennetään(kasvatetaan).

• Luottamusväli lyhenee(pitenee), jos havaintojen lukumäärää n kasvatetaan(pienennetään).

• Luottamusväli lyhenee(pitenee), jos otosvarianssi s² pienenee(kasvaa).

(10)

• Olisi toivottavaa pystyä konstruoimaan odotusarvolle µmahdollisimman lyhytluottamusväli, johon liittyvä luottamustaso olisi mahdollisimman korkea.

• Vaatimusten samanaikainen täyttäminen ei olekuitenkaan mahdollista, jos otoskoko pidetään kiinteänä:

(i) Luottamustason kasvattaminen pidentää luottamus- väliä, jolloin tieto parametrin µtodellisen arvon sijainnista tulee epätarkemmaksi.

(ii) Luottamusvälin lyhentäminen pienentää luottamus- tasoa, jolloin tieto parametrin µtodellisen arvon sijainnista tulee epävarmemmaksi.

Johtopäätökset luottamusvälistä

• Oletetaan, että teemmejohtopäätöksen, että konstruoitu luottamusväli peittää odotusarvoparametrin µtodellisen arvon:

(i) Luottamusvälin konstruktiosta seuraa, että tehty johtopäätös on oikea100×(1 −α) %:ssa tapauksia.

(ii) Luottamusvälin konstruktiosta seuraa, että tehty johtopäätös on väärä100×α%:ssa tapauksia.

• Huomautus:

Virheellisen johtopäätöksen mahdollisuuttaei saada häviämään, ellei luottamusväliä tehdääärettömän leveäksi, jolloin väliei enää sisällä informaatiotaodotusarvoparametrinµtodellisesta arvosta.

Esimerkki (jatkuu) – 1/4

• Erään koneen tekemien ruuvien joukosta poimittiin yksinkertainen satunnaisotosja ruuvien pituudet mitattiin.

Otoskoko: n= 30

Pituuksien aritmeettinen keskiarvo:

Pituuksien otoskeskihajonta: s= 0.1038 cm

• Konstruoidaan ruuvien todelliselle keskipituudelleµluottamusväli luottamustasolla0.95.

• Valitaan luottamuskertoimet–t0.025ja +t0.025siten, että jossa satunnaismuuttuja tnoudattaa Studentin t-jakaumaa vapausastein n– 1 = 29.

• Luottamuskertoimet –t_0.025ja +t_0.025toteuttavat ehdon 10.09 cm X=

0.025 0.025

Pr(t≤ −t ) Pr(= t≥ +t ) 0.025=

0.025 0.025

Pr(−t ≤ ≤ +t t ) 0.95=

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 Normaalijakauman odotusarvon luottamusväli

• t-jakauman taulukoistanähdään, että

Pr(t≥+2.045) = 0.025 Pr(t≤–2.045) = 0.025 kun vapausasteiden lukumäärä

n– 1 = 29

• Siten luottamuskertoimet ovat:

+t_0.025= +2.045 –t_0.025= –2.045

• Kuvio oikealla havainnollistaa luottamuskertoimien valintaa.

−2.045 0.95

+2.045

0.025 0.025

t(29)-jakauman tiheysfunktio

0

• Luottamusväliksisaadaan:

• Siten tiedämme, ettäruuvien todellinen keskipituus on todennäköisyydellä0.95 välillä

(10.05, 10.13)

/ 2

0.1038 10.09 2.045

30 10.09 0.04 (10.05,10.13) X t s

α n

± = ± ×

= ±

=

• Luottamustason0.95 tulkinta:

Oletetaan, että poimimme koneen tekemien ruuvien joukosta toistuvastiyksinkertaisia satunnaisotoksia, joiden koko on 30 ja konstruoimme jokaisestaotoksesta 95 %:n luottamusvälin edellä esitetyllä menetelmällä.

Tällöin:

(i) Konstruoidusta väleistä keskimäärin95 % peittää ruuvien todellisen, mutta tuntemattoman keskipituuden.

(ii) Konstruoidusta väleistä keskimäärin5 % ei peitä ruuvien todellista, mutta tuntematonta keskipituutta.

(11)

Otoskoon määrääminen 1/4

• Monissa tutkimustilanteissa toivotaan, että parametrille voitaisiin muodostaa mahdollisimman lyhytluottamusväli.

• Normaalijakauman odotusarvon µluottamusvälin pituus riippuu otoskoosta siten, ettäväli lyhenee, jos havaintojen lukumäärää n kasvatetaan.

• Tämä normaalijakauman odotusarvon µluottamus- välin ominaisuus mahdollistaa tietyin ehdoin otoskoon valitsemisen sellaisella tavalla, ettäluottamusväliksi saadaan(suunnilleen) halutun mittainen väli.

• Oletetaan siis, että normaalijakauman odotusarvo- parametrille µhalutaan konstruoida luottamusväli, jonka toivottu pituuson 2A.

• Jos normaalijakauman varianssiσ²tunnetaan, normaali- jakauman odotusarvoparametrin µluottamusväliksi luottamustasolla (1 −α)saadaan

jossa

= havaintojen aritmeettinen keskiarvo σ²= havaintojen oletettu varianssi n =otoskoko

−z_α_/2, +z_α/2

= luottamustasoon (1 −α) liittyvät luottamus- kertoimet normaalijakaumasta N(0,1) X z/ 2

α σn

±

X

• Jos siis käytettävissä on ennakkotietoa perusjoukon varianssistaσ², voidaan otoskoko nratkaista yhtälöstä:

jossa

z_α/2= luottamustasoon (1 −α) liittyvä luottamus- kerroinnormaalijakaumasta N(0,1) σ²= havaintojen oletettu varianssi n =otoskoko

2A=toivottu pituusluottamusvälille z/ 2 A

α σn₌

• Siten tarvittava otoskokoon

• Huomautus:

Tarvittavan otoskoon kaavasta nähdään, että mitä lyhyempää luottamusväliä toivotaan, sitä suurempi otos on poimittava:

Esimerkiksi, jos luottamusvälin pituus halutaan puolittaa, pitää havaintoja kerätä 4 kertaa enemmän.

2

z / 2

n A

α σ

 

=  

>> Normaalijakauman varianssin luottamusväli Bernoulli-jakauman odotusarvon luottamusväli

Väliestimointi

Avainsanat Frekvenssitulkinta Luottamuskerroin Luottamustaso Luottamusväli Normaalijakauma

Normaalijakauman varianssin luottamusväli

(12)

Normaalijakauma ja sen parametrointi

• Satunnaismuuttuja Xnoudattaa normaalijakaumaa N(µ, σ²), jos sen tiheysfunktioon

• Normaalijakauman parametreinaovat jakauman odotusarvo

ja varianssi E( )X =µ Var( )X =σ2

2

2 1 1

( ; , ) exp

2 2

, 0

f xµ σ x µ

σ π σ

µ σ

  −  

= −   

 

 

−∞ < < +∞ >

Otos normaalijakaumasta

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

• Tällöin satunnaismuuttujat X1, X2, … , Xnovat riippumattomiaja noudattavat samaa normaalijakaumaa

N(µ, σ²)

Normaalijakauman parametrien estimointi

• Estimoidaannormaalijakauman N(µ, σ²) parametrit µja σ²niiden harhattomilla estimaattoreilla:

(i) Odotusarvoparametrinµharhaton estimaattori:

(ii) Varianssiparametrinσ²harhaton estimaattori:

1

1 ⁿ

i i

X X

n =

=

∑

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

Luottamustaso

• Määrätään luottamusväli normaalijakauman varianssiparametrille σ².

• Valitaan luottamustasoksi 1 −α

• Luottamustaso kiinnittää todennäköisyyden, jolla konstruoitava luottamusväli peittää normaalijakauman varianssin σ²todellisen arvon.

Luottamuskertoimet

• Olkoon valittu luottamustaso (1 −α).

• Määrätään luottamuskertoimet ja siten, että

jossa satunnaismuuttuja χ²noudattaa χ²-jakaumaa vapausastein (n– 1):

• Luottamuskertoimet ja toteuttavat ehdon

2 2

1 / 2

2 2

/ 2

Pr( )

2

Pr( )

2

α α

χ χ α χ χ α

≤ − =

≥ =

2 1α/ 2

χ− 2 α/ 2

χ

2 2(n 1)

χ ∼χ −

2 α/ 2

χ

2 1α/ 2

χ−

2 2 2

1 / 2 / 2

Pr(χ−_α ≤χ ≤χ_α ) 1= −α

Luottamuskertoimien määrääminen:

Havainnollistus

• Luottamuskertoimet ja jakavat χ²-jakauman tiheysfunktion kuvaajan alle jäävän todennäköisyysmassan (= 1) kolmeenosaan:

(1) Pisteen vasemmalle puolelle jääα/2 % massasta.

(2) Pisteen oikealle puolelle jääα/2 % massasta.

(3) Pisteiden ja väliinjää (1 −α) % massasta.

• Huomaa, että

α/2 + α/2 + (1 −α) = 1

2 1α/ 2

χ₋

2 α/ 2

χ

2 1α/ 2

χ₋

2 α/ 2

χ

2 1α/ 2

χ₋ χα²/ 2

χ²-jakauman tiheysfunktio

2 α/ 2

χ

2 1α/ 2

χ−

1 −α α/2

α/2

(13)

Luottamusväli normaalijakauman varianssille

• Normaalijakauman varianssiparametrin σ²luottamus- väli luottamustasolla (1 −α)on muotoa

jossa

s² = havaintojen harhaton otosvarianssi n = havaintojen lukumäärä

= luottamustasoon (1 −α) liittyvät luottamus- kertoimet χ²-jakaumasta vapausastein (n– 1)

2 2

/ 2 1 / 2

(n 1)s ,(n 1)s

α α

χ χ₋

 − − 

 

 

2 2

1_α/ 2, _α/ 2

χ− χ

Luottamusväli ja sen pituus

• Normaalijakauman varianssin σ²luottamusvälin pituus on

2

2 2

1 / 2 / 2

1 1

(n 1)s

α α

χ₋ χ

 

−  − 

• Olkoon

X1, X2, … , Xn

• Olkoon

havaintojen X₁, X₂, … , X_naritmeettinen keskiarvoja

havaintojen X₁, X₂, … , X_n(harhaton) otosvarianssi.

1

1ⁿ

i i

X X

n=

=

∑

2 2

1

1 ( )

1

n i i

s X X

n =

= −

−

∑

• Määritellään satunnaismuuttuja

• Satunnaismuuttuja χ²noudattaa normaalijakautuneen otoksen varianssin otosjakaumaa koskevan tuloksen perusteellaχ²-jakaumaa vapausastein (n– 1):

2 2

2

(n 1)s

χ σ

= −

2 2(n 1)

χ ∼χ −

• Määrätään χ²-jakaumasta vapausastein (n– 1) piste siten, että ja piste siten, että

jolloin

2 2

1 / 2

Pr( )

α α2

χ ≤χ₋ =

2 1α/ 2

χ₋

2 2 2

1 / 2 / 2

Pr(χ₋α ≤χ ≤χα ) 1= −α

2 2

Pr( / 2)

α 2 χ ≥χ =α

2 α/ 2

χ

• Tarkastellaan epäyhtälöketjua

• Sijoittamalla tähän epäyhtälöketjuun satunnaismuuttujan χ²lauseke, saadaan epäyhtälöketju

• Tästä epäyhtälöketjusta saadaan sen kanssa yhtäpitäväepäyhtälöketju

2 2

2

2 2

/ 2 1 / 2

(n 1)s (n 1)s

α α

χ σ χ₋

− ≤ ≤ −

2

2 2

1 / 2 2 / 2

(n 1)s

α α

χ χ

σ

−

≤ − ≤

2 2 2

1α/ 2 α/ 2

χ₋ ≤χ ≤χ