Luku 12 – Tehtävien malliratkaisut
12.1 a)
Koska jokaisella viikolla lenkin kesto kasvaa aina 10 minuuttia, saadaan neljän ensimmäisen viikon pituudet lisäämällä aina edelliseen 10 minuuttia.
Ensimmäinen viikko: 30 min
Toinen viikko: 30 + 10 = 40 min Kolmas viikko: 40 + 10 = 50 min Neljäs viikko: 50 + 10 = 60 min b)
Koska seuraava luku saadaan lisäämällä aina edelliseen 10 min, on jonon differenssi 10.
Differenssi voidaan laskea myös jäsenten arvojen avulla. Jonon differenssi saadaan vähentämällä luvusta edellinen luku:
𝑑 =40−30= 10 min.
c)
Selvitetään, millä muuttujan n arvolla lukujonon lauseke saa arvon 120.
10𝑛+20= 120
10𝑛= 100 | : 10 𝑛= 10
Eli 10. viikolla lenkin kesto on 120 min.
Vastaus: a) 30 min, 40 min, 50 min ja 60 min
b) 10
c) 10. viikolla
Koska ensimmäinen askelma on 30 cm korkeudella, on jonon ensimmäinen jäsen 𝑎 = 30 cm.
Askelmien välinen etäisyys on 25 cm, joten differenssi 𝑑 =25 cm.
b)
Lasketaan 12. askelman korkeus yleisen jäsenen kaavan avulla.
Tiedetään, että 𝑎 =30 cm ja 𝑑 = 25 cm. Selvitetään 12. askelman korkeutta, joten 𝑛 =12.
Sijoitetaan, nämä kaavaan ja lasketaan korkeus.
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑 𝑎 =30+(12−1)⋅25
=30+11⋅25
=305 (cm)
12. askelma on siis 305 cm eli 3,05 metrin korkeudella.
Vastaus: a) 𝑎 =30 cm ja 𝑑 = 25 cm b) 3,05 metrin korkeudella
a)
Talletukset muodostavat lukujonon 15, 24, 32, …, joka on aritmeettinen lukujono. Jonon differenssi d = 8 (€). Jonon yleinen jäsen 𝑎 kuvaa talletuksen suuruutta n. kuukautena.
Muodostetaan yleinen jäsen sijoittamalla ensimmäinen jäsen 𝑎 =15 ja differenssi 𝑑 =8 yleisen jäsenen kaavaan.
𝑎 =15+(𝑛 −1)⋅8
=15+8𝑛 −8
=8𝑛+7
b)
Ratkaistaan jäsenen järjestysluku n, kun jäsenen arvo, eli talletuksen suuruus, on 103 (€).
𝑎 =103 8𝑛+7=103 𝑛 =12
Talletus on 103 € suuruinen 12. kuukautena, eli joulukuussa.
Vastaus: a) 𝑎 = 8𝑛+7 b) 12. kuukautena
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
Ensimmäisen jäsenen järjestysluku n = 1. Sijoitetaan se jonon yleisen jäsenen kaavaan.
𝑎 = 2⋅1+16= 18.
Ensimmäisellä penkkirivillä on 18 paikkaa.
b)
Selvitetään jonon toinen jäsen ja lasketaan peräkkäisten jäsenten erotus.
𝑎 =2⋅2+16= 20.
Jonon differenssi, eli peräkkäisten rivien paikkamäärien ero on siis 𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 20−18=2.
c)
Selvitetään jonon jäsenen 44 järjestysluku n. Merkitään yleinen jäsenen yhtä suureksi kuin 44, ja ratkaistaan n.
𝑎 = 44 2𝑛+16= 44 𝑛= 14
Koska viimeisen rivin järjestysluku on 14, on auditoriossa 14 penkkiriviä.
Vastaus: a) 18 paikkaa b) 2 paikkaa c) 14 penkkiriviä
a)
Luettujen sivujen määrä muodostaa lukujonon 15,19,23, …, joka on aritmeettinen lukujono.
Joka päivä luettujen sivujen määrä lisääntyy neljällä, joten jonon differenssi 𝑑 =4.
Muodostetaan yleinen jäsen sijoittamalla ensimmäinen jäsen 𝑎 =15 ja differenssi 𝑑 =4 yleisen jäsenen kaavaan.
𝑎 =15+(𝑛 −1)⋅4
=15+4𝑛 −4
=4𝑛+11
b)
Ratkaistaan jäsenen järjestysluku n, kun sivujen määrä, eli jäsenen arvo on 71.
𝑎 = 71 4𝑛+11= 71 𝑛= 15
Kaarlo lukee 71 sivua 15. lomapäivänä
Vastaus: a) 𝑎 = 4𝑛+11 b) 15. lomapäivänä
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
Poimittujen mansikoiden päivittäiset määrät muodostavat lukujonon, jonka ensimmäinen jäsen on 𝑎 =115 (kg). Seuraavan päivän määrä, eli jonon seuraava jäsen saadaan
vähentämällä edellisestä 9 (kg). Jono on siis aritmeettinen ja jonon differenssi on 𝑑 = −9.
Poimittujen mansikoiden määrä 7. päivänä saadaan laskemalla jonon 7. jäsen. Sijoitetaan 𝑎 = 115, 𝑑 = −9 ja 𝑛= 7 yleisen jäsenen kaavaan.
𝑎 =115+(7−1)⋅(−9)
=115−54
=61
Linda poimii 7. päivänä 61 kg mansikkaa.
b)
Poimittujen mansikoiden kokonaismäärä ensimmäisen 7. päivän aikana saadaan laskemalla aritmeettinen summa, jossa 𝑎 =115, 𝑎 =61 ja 𝑛 =7.
𝑆 = 7⋅115+61
2 = 616 (kg)
Linda poimi ensimmäisten 7 päivän aikana yhteensä 616 kg mansikkaa.
Vastaus: a) 61 kg b) 616 kg
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
𝑆 =𝑛 ⋅𝑎 +𝑎 2
a)
Tiilien määrät riveittäin muodostavat aritmeettisen lukujonon, jonka ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 100. Seuraavan rivin määrä, eli jonon seuraava jäsen saadaan vähentämällä edellisestä 3.
Jono on siis aritmeettinen ja jonon differenssi on 𝑑 = −3.
Tiilien määrä 34. päivänä saadaan laskemalla jonon 34. jäsen. Sijoitetaan 𝑎 = 100, 𝑑 = −3 ja 𝑛= 34 yleisen jäsenen kaavaan.
𝑎 =100+(34−1)⋅(−3)
=100−99
=1
Rivillä 34 on yksi tiili.
b)
Edellisen kohdan mukaisesti 𝑎 =1. Koska jonon 35. jäsen on arvoltaan negatiiviinen, on 34.
rivi muurin ylin rivi. Tiilien yhteismäärä saadaan laskemalla aritmeettinen summa, jossa 𝑎 = 100, 𝑎 =1 ja 𝑛= 34.
𝑆 =34⋅100+1
2 = 1717
Muuriin kuluu yhteensä 1717 tiiltä.
Vastaus: a) 1 tiili b) 1717 tiiltä
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
𝑆 =𝑛 ⋅𝑎 +𝑎 2
Jonon ensimmäinen jäsen on vuoden 2017 e-kirjojen määrä eli 𝑎 =8894.
Tarkastellaan kirjojen määrää aina vuosittain. Näin ollen 2017 𝑎
2018 𝑎 2017 𝑎
Vuonna 2019 e-kirjojen määrä oli 10198, joka on siis aritmeettisen lukujonon 3. jäsen eli 𝑎 =10198. Muodostetaan jonon 3. jäsenen avulla yhtälö ja ratkaistaan differenssi d.
𝑎 = 10198 8894+(3−1)𝑑 = 10198
2𝑑 = 1304 | ∶ 2 𝑑 = 652
Jonon differenssi on 𝑑 = 652.
b)
Jonon jäsenet ilmaisevat e-kirjojen määrää vuosittain. Muodostetaan yhtälö, jossa jonon yleinen jäsen on merkitty yhtä suureksi kuin 15 000 ja ratkaistaan n.
𝑎 =15000 8894+(𝑛 −1)⋅652=15000 𝑛 =10,365
Jos 𝑛 =10, e-kirjojen määrä on 𝑎 =8894+(10−1)⋅652=14762 < 15000.
Jos 𝑛 =11, e-kirjojen määrä on 𝑎 =8894+(11−1)⋅652=15414 > 15000.
Jonon 11. jäsen on ensimmäinen, jonka arvo on yli 15000. Kun 𝑛 =11, on vuodesta 2017 kulunut 10 vuotta. E-kirjojen määrä ylittää 15000 kappaleen rajan vuonna 2017+10= 2027.
Vastaus: a) 𝑑 =652 b) vuonna 2027
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑 𝑎 =8894
𝑑=652
a)
Jonon ensimmäinen jäsen on vuonna 2010 syntyneiden lasten määrä eli 𝑎 = 61000.
Koska vuoden 2010 syntyneiden lasten määrä on aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen, saadaan vuoden 2019 jäsenen järjestysluku vähennyslaskulla
2019−2009=10.
Näin ollen 𝑎 =45700
Lasten vuosittaista määrän vähenemistä kuvaa jonon differenssi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan d.
𝑎 =45700 61000+(10−1)𝑑 =45700
9𝑑 =−15300 | ∶ 9 𝑑 =−1700
Syntyneiden lasten määrä väheni vuosittain 1700 lapsella.
b)
Tiedetään, että vuosien 2010–2019 lasten määrät muodostavat aritmeettisen jonon, jossa 𝑎 = 61000, 𝑎 = 45700 ja viimeisen yhteenlaskettavan järjestysluku 𝑛 =10. Lasketaan syntyneiden lasten määrä hyödyntämällä aritmeettisen summan kaavaa.
𝑆 = 10⋅61000+45700
2 =533500
Lapsia syntyi yhteensä 533500.
Vastaus: a) 1700 lapsella b) 533 500 lasta
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
𝑆 =𝑛 ⋅𝑎 +𝑎 2
Jaettujen lehtien määrä kasvaa aina päivittäin saman verran, joten määrät (pois lukien
viimeinen päivä) muodostavat aritmeettisen lukujonon. Jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 =70 ja jonon differenssi on 𝑑 =65.
Jonon yleinen jäsen on tällöin 𝑎 =70+(𝑛 −1)⋅65=65𝑛+5.
Kun jonon n ensimmäistä jäsentä lasketaan yhteen, muodostuu aritmeettinen summa. Koska lehtiä on yhteensä 5000, on n suurin mahdollinen kokonaisluku, jolla summa ei ylitä arvoa 5000. Merkitään 𝑆 =5000 ja ratkaistaan n.
𝑆 =5000 𝑛 ⋅70+(65𝑛+5)
2 =5000
𝑛 =−12,993 … tai 𝑛 =11,84
Vain positiivinen vastaus kelpaa. Selvitetään summien arvot.
Jos 𝑛 =11, lehtiä on jaettu 𝑆 = 11⋅ ⋅ = 4345 < 5000 kappaletta.
Jos 𝑛 =12, lehtiä on jaettu 𝑆 = 12⋅ ⋅ = 5130 > 5000 kappaletta.
Ensimmäiset 11 jakopäivää muodostavat siis aritmeettisen jonon. Viimeisenä päivänä Rasmus jakaa 5000−4345= 655 lehteä.
Vastaus: 655 lehteä
Summassa 𝑆 =𝑛 ⋅
• ensimmäinen termi on 70
• viimeinen termi on 65n + 5
• termien lukumäärä on n
a)
Taimien määrät riveissä muodostavat aritmeettisen lukujonon, jossa ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 1 ja jonon differenssi on 𝑑 =2.
Jonon yleinen jäsen on 𝑎 =1+(𝑛 −1)⋅2=2𝑛 −1.
Koska taimia on käytössä yhteensä 430, selvitetään suurin mahdollinen järjestysluku n, jolla aritmeettisen summan arvo ei ylitä lukua 430.
𝑆 =430 𝑛 ⋅1+(2𝑛 −1)
2 =430
𝑛 =−20,73 … tai 𝑛 =20,73 …
Vain positiivinen vastaus kelpaa. Selvitetään summien arvot.
Jos 𝑛 =20, taimia on käytetty 𝑆 =20⋅ ⋅ = 400 < 430 kappaletta.
Jos 𝑛 =21, taimia on käytetty 𝑆 =21⋅ ⋅ = 441 > 430 kappaletta.
Koska järjestysluku 𝑛= 20on viimeinen, jolla summa ei ylitä arvoa 430, riittävät taimet 20 riviin.
b)
Edellisen kohdan mukaisesti 𝑆 = 400. Taimia jää siis käyttämättä 430−400= 30 kappaletta.
Vastaus: a) 20 riviin b) 30 tainta
2. Jonon differenssi on 𝑑 =3.
Jonon yleinen jäsen on 𝑎 =2+(𝑛 −1)⋅3=3𝑛 −1.
Palikoita on yhteensä 495 kappaletta. Palikoiden yhteismäärät riveissä muodostavat
aritmeettisen summan. Merkitään 𝑆 = 495 ja ratkaistaan viimeisen yhteenlaskettavan (eli alimman rivin) järjestysluku n.
𝑆 =495 𝑛 ⋅2+(3𝑛 −1)
2 =495
𝑛 =−18,33 … tai 𝑛 =18
Rivin järjestysluku on positiivinen, joten ratkaisuksi kelpaa vain 𝑛= 18.
Kerroksia on siis yhteensä 18 kappaletta.
Vastaus: 18 kerrosta
a)
Tiedetään, että 4. viikon järjestysluku 𝑛= 4, jonon ensimmäinen jäsen 𝑎 = 65 km ja differenssi 𝑑 =65 km. Sijoitetaan nämä yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 5𝑛+60 𝑎 =5⋅4+60
=80 (km)
Topias pyöräili 4. viikolla 80 km.
b)
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 95 ja ratkaistaan järjestysluku n.
𝑎 = 95 5𝑛+60= 95
5𝑛= 35 | ∶ 5 𝑛= 7
Pyörämatkan pituus oli 95 km viikolla 7.
Vastaus: a) 80 km b) viikolla 7
Seelan säästöjä kuvaa aritmeettinen lukujono, jossa 𝑎 =460 (€) ja differenssi 𝑑 = 40 (€).
Seelan säästöjen lukujonon yleinen jäsen on tällöin 𝑎 =460+(𝑛 −1)⋅40=40𝑛+420.
Lidian säästöjä kuvaa aritmeettinen lukujono, jossa 𝑏 = 615 (€) ja differenssi 𝑑 =35 (€).
Lidian säästöjen lukujonon yleinen jäsen on tällöin 𝑏 =615+(𝑛 −1)⋅35=35𝑛+580.
b)
Merkitään lukujonojen yleiset jäsenet yhtä suuriksi ja ratkaistaan n.
𝑎 = 𝑏
40𝑛+420= 35𝑛+580 5𝑛= 160
𝑛= 32
Koska nykyinen säästötilanne on jonon ensimmäinen jäsen, ovat säästöt yhtä suuria 32−1=31 viikon kuluttua.
Vastaus: a) 𝑎 = 40𝑛+420 ja 𝑏 = 35𝑛+580 b) 31 viikon kuluttua
a)
Purkkien määrät kerroksissa muodostavat lukujonon 30,28,26, … ,0 joka on aritmeettinen lukujono, jonka differenssi 𝑑 = −2.
Muodostetaan yleinen jäsen sijoittamalla ensimmäinen jäsen 𝑎 =30 ja differenssi 𝑑 =−2 yleisen jäsenen kaavaan.
𝑎 =30+(𝑛 −1)⋅(−2)
=30−2𝑛+2
=−2𝑛+32
Sijoitetaan 𝑛 =7 yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 =−2⋅7+32=18
7. kerroksessa on siis 18 purkkia.
b)
Purkkien määristä kerroksissa muodostuu aritmeettinen summa, jossa 𝑛= 7,𝑎 = 30, 𝑎 =18. Lasketaan näiden avulla summa.
𝑆 = 7⋅30+18
2 = 168
Purkkeja oli yhteensä 168 kappaletta.
Vastaus: a) 18 purkkia b) 168 purkkia
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
𝑆 =𝑛 ⋅𝑎 +𝑎 2
Päivittäiset lääkemäärät muodostavat aritmeettisen lukujonon 145, 140, 135, …, 5, jonka 𝑎 = 145 (mg) ja 𝑑 =5 (mg). Jonon yleinen jäsen on
𝑎 =145+(𝑛 −1)⋅(−5) =−5𝑛+150.
Viimeisen annoksen suuruus on siis 5 mg. Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 5 mg ja ratkaistaan n.
𝑎 =5
−5𝑛+150=5
−5𝑛 =−145 | ∶ (−5) 𝑛 =29
Lääkekuuri kestää 29 päivää.
b)
Lääkkeen kokonaismäärä saadaan aritmeettisen summan avulla, jossa 𝑎 =140 (mg).
Viimeinen yhteenlaskettava on 𝑎 =5 (mg) ja sen 𝑛 =29. Lasketaan summa näiden avulla.
𝑆 = 29⋅145+5
2 = 2100 (mg)
Eemeli syö lääkettä yhteensä 2175 mg eli 2,175 g.
Vastaus: a) 29 päivää b) 2175 mg
a)
Tolppien pituuksien muodostaman aritmeettisen jonon 𝑎 = 2,7 (m), 𝑑 =−0,20 (m) ja viimeinen jäsen 0,50 m.
Jonon yleinen jäsen on 𝑎 =2,70+(𝑛 −1)⋅(−0,2) =−0,2𝑛+2,90.
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin viimeinen jäsen, ja ratkaistaan n.
𝑎 = 0,50
−0,2𝑛+2,90= 0,50
−0,2𝑛= −2,40 | ∶ (−0,2) 𝑛= 12
Koska viimeisen tolpan järjestysluku on 12, on tolppia myös 12 kappaletta.
b)
Tolppien yhteispituus saadaan aritmeettisen summan avulla, jossa 𝑎 =2,7. Viimeinen yhteenlaskettava on 𝑎 = 0,5 ja sen 𝑛 =12. Lasketaan summa näiden avulla.
𝑆 = 12⋅2,7+0,5
2 = 19,2 (m)
Tolppien kokonaispituus on 19,2 metriä.
Vastaus: a) 12 tolppaa b) 19,2 m
Jonon ensimmäinen jäsen on vuonna 2015 rekisteröityjen autojen määrä eli 𝑎 = 108000.
Koska vuoden 2015 syntyneiden lasten määrä on aritmeettisen jonon ensimmäinen jäsen, saadaan vuoden 2019 jäsenen järjestysluku vähennyslaskulla
2019−2014=5.
Näin ollen 𝑎 =114000
Ratkaistaan tämän avulla jonon differenssi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan d.
𝑎 =114000 108000+(5−1)𝑑 =114000
4𝑑 =6000 | ∶4 𝑑 =1500
Jonon differenssi on 1500.
b)
Jonon yleinen jäsen on 𝑎 =108000+(𝑛 −1)⋅1500= 1500𝑛+106500.
Selvitetään, millä kokonaisluvulla n jäsenen arvo on ensimmäisen kerran suurempi kuin 140000.
𝑎 = 140000 1500𝑛+106500= 140000 𝑛= 22,33 …
Jos 𝑛 =22, autojen määrä on 𝑎 =1500⋅22+106500= 139500 < 140000.
Jos 𝑛 =23, autojen määrä on 𝑎 =8894+(11−1)⋅652=15414 > 15000.
Autojen määrä ylittää siis 140000 vuonna 2014+23= 2037.
Vastaus: a) 𝑑 =1500 (autoa) b) vuonna 2037
𝑎 =𝑎 +(𝑛 −1)𝑑
a)
Jonon ensimmäinen jäsen on vuoden 2013 korjauskustannukset, eli 𝑎 =5,7 mrd. (€).
Koska 2018−2012= 6, on vuoden 2018 kustannusten määrä jonon 6. jäsen, eli 𝑎 = 9,2 mrd (€). Lukuarvot ovat laskuissa miljardeja.
Selvitetään ensin jonon differenssi.
𝑎 =9,2 5,7+(6−1)𝑑 =9,2
𝑑 =0,7
Merkitään seuraavaksi 𝑎 = 13 ja selvitetään, millä kokonaisluvulla n kustannukset ylittävät ensimmäisen kerran 13 (mrd. €).
𝑎 = 13 5,7+(𝑛 −1)⋅0,7= 9,2
𝑛= 11,42 …
Kun 𝑛= 11 kustannukset ovat 5,7+(11−1)⋅0,7= 12,7 < 13 (mrd. €).
Kun 𝑛= 12 kustannukset ovat 5,7+(12−1)⋅0,7= 13,4 > 13 (mrd. €).
Kustannukset ylittävät siis 13 mrd. euroa, kun 𝑛 =12eli vuonna 2012+12=2024.
b)
Koska vuoden 2024 kustannusten määrä on jonon 12. jäsen, lasketaan aritmeettisen jonon 12.
ensimmäisen jäsenen summa. Lukuarvot ovat miljardeja (€). a)-kohdasta tiedetään, että 𝑎 =13,4 (mrd. €)
𝑆 = 12⋅5,7+13,4
2 = 114,6 (mrd. €)
Vuosina 2013–2014 korjausrakentamisen kustannukset ovat yhteensä 114,6 miljardia euroa.
Vastaus: a) vuonna 2024 b) 114,6 mrd. €
𝑑 =13. Jonon yleinen jäsen on 𝑎 =0+(𝑛 −1)⋅13=13𝑛 −13.
Lasketaan yleisen jäsenen avulla 20. bussin lähtöaika minuutteina.
𝑎 =13⋅20−13=247.
Bussi lähtee siis, kun kello 6:00 on kulunut 247 minuutta. Selvitetään vielä tarkka kellonaika.
247 min= h=4 h 7 min Linja-auto lähtee siis kello 10:07.
b)
Viimeinen bussi lähtee klo 22:02. Tällöin ensimmäisen linja-auton lähdöstä on kulunut 22: 02−6: 00= 16 h 2 min= 962 min.
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 962, ja ratkaistaan järjestysluku n.
𝑎 = 962 13𝑛 −13= 962
13𝑛= 975 | ∶ 13 𝑛= 75
Viimeinen vuoro on siis 75. lähtö, eli busseja ajaa päivän aikana yhteensä 75.
Vastaus: a) kello 10:07 b) 75 vuoroa
Lasien määrä kasvaa aina riveittäin saman verran, joten määrät muodostavat aritmeettisen lukujonon. Jonon ensimmäinen jäsen on ylimmän rivien lasien määrä, eli 𝑎 =1 ja jonon differenssi on 𝑑 = 4.
Jonon yleinen jäsen on tällöin 𝑎 =1+(𝑛 −1)⋅4=4𝑛 −3.
Kun jonon n ensimmäistä jäsentä lasketaan yhteen, muodostuu aritmeettinen summa. Koska laseja on yhteensä 200, on n suurin mahdollinen kokonaisluku, jolla summa ei ylitä arvoa 200.
Merkitään 𝑆 =200 ja ratkaistaan n.
𝑆 =200 𝑛 ⋅1+(4𝑛 −3)
2 =200 | ratkaistaan laskimella 𝑛 =−9,75 … tai 𝑛 =10,25 …
Vain positiivinen vastaus kelpaa. Selvitetään summien arvot.
Jos 𝑛 =10, laseja on pyramidissa 𝑆 =10⋅ ⋅ =190 < 200 kappaletta.
Jos 𝑛 =11, lehtiä on jaettu 𝑆 = 11⋅ ⋅ =210 > 200 kappaletta.
Näin ollen rakennelmassa on 10 riviä, ja laseja jaa käyttämättä 200−190=10 lasia.
Vastaus: 10 lasia
Summassa 𝑆 =𝑛 ⋅
• ensimmäinen termi on 1
• viimeinen termi on 4n − 3
• termien lukumäärä on n
Muodostetaan jäljellä olevan lainan määrästä aritmeettinen lukujono, kun n on tehtyjen maksuerien määrä. Tällöin jonon 𝑎 = 1500−80=1420 (€). Jonon differenssi on lyhennyksen suuruus negatiivisena eli 𝑑= −80 (€).
Jonon yleinen jäsen on 𝑎 =1420+(𝑛 −1)⋅(−80) =−80𝑛+1500.
b)
Selvitetään, millä positiivisella kokonaisluvulla n lainan määrä on pienempi kuin nolla ensimmäisen kerran. Merkitään 𝑎 = 0 ja ratkaistaan n.
𝑎 =0
−80𝑛+1500=0
−80𝑛 =−1500 | ∶ (−80) 𝑛 =18,75
Kun 𝑛= 18 lainan määrä on −80⋅18+1500= 60 > 0 €.
Kun 𝑛= 19 lainan määrä on −80⋅19+1500= −20 < 0 €.
Kun lyhennyksiä on tehty 18 kappaletta, jäljellä on 60 €, mikä on vielä maksettava. Näin ollen lyhennyksiä tarvitaan yhteensä 19 kappaletta.
c)
b)-kohdan mukaisesti, kun lyhennyksiä on tehty 18 kappaletta, jäljellä olevan lainan suuruus on 60 €. Näin ollen viimeisen lyhennyksen tulee olla 60 €.
Vastaus: a) 𝑎 = −80𝑛+1500 b) 19 maksuerää c) 60 €
Tikapuiden askelmien leveydet muodostavat aritmeettisen lukujonon. Tiedetään, että
𝑎 =53 (cm) ja 𝑎 = 41 (cm). Selvitetään ensin jonon differenssi. Koska seuraavan askelman leveys saadaan aina vähentämällä sama luku edellisestä, on differenssi negatiivinen. Jotta viidennen ja yhdeksännen välillä on 9−5= 4 differenssiä.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Differenssi saadaan siis jakamalla kyseisten leveyksien erotus neljällä.
𝑑 =41−53
4 = −3 (cm).
Ratkaistaan seuraavaksi alimman tikkaan leveys, eli jonon ensimmäisen jäsenen arvo.
Tiedetään, että 𝑎 = 53. Sijoitetaan tähän yleisen jäsenen lauseke.
𝑎 = 53 𝑎 +(5−1)⋅(−3) =53
𝑎 = 65 (cm)
Jonon yleinen jäsen on siis 𝑎 = 65+(𝑛 −1)⋅(−3) =−3𝑛+68.
Tikapuiden askelmiin on käytetty 611 cm lautaa, eli tikapuiden askelmien leveyksien summan on oltava 611. Muodostetaan kyseisen jonon n ensimmäisen jäsenen summa ja ratkaistaan n.
𝑆 =611 𝑛 ⋅65+(−3𝑛+68)
2 =611 | ratkaistaan laskimella 𝑛 =13 tai 𝑛 =31,33 …
Askelmien määrä on kokonaisluku, joten vain 𝑛 =13 kelpaa.
Vastaus: 13 askelmaa
