Näin ollen seuraava eli neljäs jäsen on

(1)

13.1

Lasketaan annettujen jäsenten avulla peräkkäisten jäsenten suhteet.

a) 𝑎

𝑎 =−8

−4= 2 𝑎

𝑎 =−16

−8 = 2

Peräkkäisten jäsenten suhde on sama, joten lukujono voi olla geometrinen 𝑞= 2 . b)

𝑎 𝑎 = 7

14=1 2 𝑎

𝑎 =14

7 = 2≠ 1 2

Koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole sama, lukujono ei voi olla geometrinen.

c) 𝑎

𝑎 =0,25

0,5 = 0,5 𝑎

𝑎 =0,125

0,25 = 0,5

Peräkkäisten jäsenten suhde on sama, joten lukujono voi olla geometrinen 𝑞= 0,5 . Vastaus: a) voi olla

b) ei voi olla c) voi olla

Peräkkäisten jäsenten suhde:

𝑞=𝑎 𝑎

(2)

Jonon suhdeluku q on kahden peräkkäisen jäsenen suhde.

𝑞=𝑎

𝑎 = 50 10= 5 b)

Koska lukujono on geometrinen, saadaan seuraava jäsen kertomalla edellinen suhdeluvulla q.

Tiedetään, että 𝑎 = 250. Näin ollen seuraava eli neljäs jäsen on 𝑎 =𝑎 ⋅ 𝑞 = 250⋅5 = 1250.

Vastaus: a) 𝑞= 5 b) 𝑎 = 1250

(3)

niiden suhde on vakio. Lasketaan annettujen jäsenten avulla peräkkäisten jäsenten erotukset ja suhteet.

a)

𝑎 − 𝑎 = 7−3 = 4 𝑎 − 𝑎 = 11−7 = 4 Koska erotus on vakio, jono voi olla aritmeettinen 𝑑 = 4 . 𝑎

𝑎 =7

3= 2,333 … 𝑎

𝑎 =11

7 = 1,571 …

Koska suhde ei ole vakio, jono ei voi olla geometrinen.

b)

𝑎 − 𝑎 =−25− −5 =−20 𝑎 − 𝑎 =−125− −25 =−100 Koska erotus ei ole vakio, jono ei voi olla aritmeettinen.

𝑎

𝑎 =−25

−5 = 5 𝑎

𝑎 = −125

−25 = 5 Koska suhde on vakio, jono voi olla geometrinen 𝑞= 5 . c)

𝑎 − 𝑎 = 4−2 = 2 𝑎 − 𝑎 = 16−4 = 12 Koska erotus ei ole vakio, jono ei voi olla aritmeettinen.

𝑎 𝑎 =4

2= 2 𝑎

𝑎 =16 4 = 4 Koska suhde ei ole vakio, jono ei voi olla geometrinen.

Vastaus: a) voi olla aritmeettinen b) voi olla geometrinen c) ei voi olla kumpikaan

(4)

jonoihin.

Jonossa 1 eli 𝑎 = 3⋅ −2 ensimmäinen jäsen on 3 ja suhdeluku −2.

Näin ollen jonoon sopivat väitteet B ja C.

Jonossa 2 eli 𝑎 = 3 =1⋅3 ensimmäinen jäsen on 1 ja suhdeluku 3.

Näin ollen jonoon sopivat väitteet A ja D.

Vastaus: 1 – B ja C 2 – A ja D

(5)

Geometrisessa lukujonossa seuraava jäsen saadaan aina kertomalla edellinen suhdeluvulla.

Näin ollen edellinen jäsen saadaan jakamalla seuraava suhdeluvulla.

𝑎 = 12 𝑎 =𝑎

𝑞 = 12 2 = 6 𝑎 =𝑎

𝑞 = 6 2= 3

Kaksi ensimmäistä jäsentä ovat siis 3 ja 6.

b)

Selvitetään 5. jäsen kertomalla suhdeluvulla.

𝑎 =𝑎 ⋅ 𝑞 = 12⋅2 = 24 𝑎 =𝑎 ⋅ 𝑞 = 24⋅2 = 48 5. jäsen on siis 48.

Vastaus: a) 3 ja 6 b) 𝑎 = 48

(6)

Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 6 ja jonon suhdeluku 𝑞= 3.

Muodostetaan jonon yleinen jäsen.

𝑎 =6⋅3

Lasketaan jonon 3. jäsen sijoittamalla järjestysluku 𝑛 = 3 yleisen jäsenen lausekkeeseen.

𝑎 =6⋅3 = 6⋅3 = 6⋅9 = 54 b)

Geometrisesta lukujonosta tiedetään

• jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 9

• jonon suhdeluku 𝑞= = = Muodostetaan jonon yleinen jäsen.

𝑎 = 9⋅

Lasketaan jonon 3. jäsen.

𝑎 = 9⋅ = 9⋅ = 9⋅ = = 1

Vastaus: a) 𝑎 = 6⋅3 , 𝑎 = 54

b) 𝑎 = 9⋅ , 𝑎 = 1

Geometrisen jonon yleinen jäsen: an = a1 ∙ q^{n – 1}

(7)

Koska seuraava jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla −4, 𝑞=−4.

b)

• jonon suhdeluku 𝑞= −4 Muodostetaan jonon yleinen jäsen.

𝑎 = 1⋅ −4 = −4 c)

𝑎 = −4 = −4 = 65536

Vastaus: a) 𝑞= −4 b) 𝑎 = −4

c) 𝑎 = 65536

(8)

Jonon seitsemäs ja kahdeksas jäsen ovat peräkkäiset jäsenet, joten jonon suhdeluku on 𝑞=𝑎

𝑎 = 1152 576 = 2.

Jonon yleisen jäsenen muodostamiseksi tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen.

Jonon seitsemäs jäsen tunnetaan. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 . 𝑎 = 576

𝑎 ⋅2 = 576 𝑎 ⋅2 = 576 | ∶2

𝑎 = 9

Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 9⋅2 . b)

Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 36864

9⋅2 = 36864 | ratkaistaan laskimella 𝑛= 13

Luku 36864 on jonon 13. jäsen.

Vastaus: a) 𝑎 = 9⋅2 b) 13. jäsen

(9)

Selvitetään ensin lukujonon ensimmäinen jäsen 𝑎 . 𝑎 = 𝑎 ⋅2

20 =𝑎 ⋅2 𝑎 = 5

Lukujonon yleinen jäsen on siis 𝑎 = 5⋅2 . Sijoitetaan järjestysluku 𝑛= 8 yleisen jäsenen lausekkeeseen.

𝑎 = 5⋅2 = 5⋅2 = 640

b)

Luku 163840 on lukujonon jäsen, jos se saadaan sijoittamalla jokin positiivinen kokonaisluku n yleisen jäsenen lausekkeeseen. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan n.

𝑎 = 163840 5⋅2 = 163840

𝑛= 16

Koska ratkaisuksi tuli positiivinen kokonaisluku 16, luku 163840 on jonon 16. jäsen.

Vastaus: a) 𝑎 = 640 b) on, 16. jäsen

(10)

Jon suhdeluku on kahden peräkkäisen luvun suhde.

𝑞=𝑎

𝑎 = 24 6 = 4 b)

Tiedetään, että jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 6 ja suhdeluku 𝑞= 4.

Muodostetaan yleinen jäsen.

𝑎 = 6⋅4 c)

Lukujonossa viimeisen luvun, 393216, järjestysluku ilmaisee lukujonon jäsenien lukumäärän.

𝑎 = 393216 6⋅4 = 393216

𝑛= 9

Jonossa on siis 9 jäsentä.

Vastaus: a) 𝑞= 4

b) 𝑎 = 6⋅4

c) 9 jäsentä

Ratkaise CAS-laskimella.

(11)

𝑎 = 2⋅2,5

Ratkaistaan järjestysluku n, jolla jonon jäsen ensimmäisen kerran ylittää arvon 20000.

Tapa 1: Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 20000 2⋅2,5 = 20000 𝑛 = 11,05 …

Jos 𝑛 = 11, jonon jäsen on 𝑎 = 2⋅2,5 = 19073,5 … 20000.

Jonon 12. jäsenestä alkaen jonon jäsenet ovat suurempia kuin 20000.

Tapa 2: Lasketaan jonon jäseniä taulukkolaskennan avulla.

Jäsenet ovat suurempia kuin 20000 jonon 12. jäsenestä alkaen.

Vastaus: 12. jäsenestä alkaen

𝑎 = 2 𝑞= 2,5

(12)

suhdeluvulla.

𝑎 = 𝑎 𝑞 = 6

1,5= 4

Muodostetaan jonon yleinen jäsen. 𝑎 = 4⋅1,5 .

Tapa 1: Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 100000 4⋅1,5 = 100000 𝑛 = 25,97 …

Jonon 25 ensimmäistä jäsentä ovat pienempiä kuin 100000.

Vastaus: 25 jäsentä

(13)

• ensimmäinen jäsen on 𝑎 =−5

• suhdeluku on 𝑞= = =

Yleinen jäsen on siis 𝑎 =−5⋅ =−5⋅ 0,6 . b)

Sijoitetaan järjestysluku𝑛= 6 yleiseen jäseneen.

𝑎 =−5⋅ 0,6 =−5⋅ 0,6 =−5⋅3

5 =−243

625= −0,388 …≈ −0,39 c)

Ratkaistaan järjestysluku n, jolla jonon jäsen ensimmäisen kerran ylittää arvon −0,0002.

Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö, ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 =−0,0002

−5⋅ =−0,0002 𝑛 = 20,82 …

Jos 𝑛 = 20, jonon jäsen on 𝑎 = −5⋅ 0,6 =−0,00030 …<−0,0002.

Jos 𝑛 = 21, jonon jäsen on 𝑎 = −5⋅ 0,6 =−0,00018 … >−0,0002.

Jonon 20 ensimmäistä jäsentä ovat pienempiä kuin −0,0002.

Vastaus: a) 𝑎 = −5⋅ b) 𝑎 =− ≈ −0,39 c) 20 jäsentä

(14)

Lukujonon on geometrinen, kun sen suhdeluku on vakio. Ratkaistaan ensimmäisten jäsenten avulla suhdeluku.

𝑞=𝑎 𝑎 = 3

6=1

2= 0,5

Myös toisen ja kolmannen jäsenen suhde on oltava 0,5. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan t.

𝑞= 𝑎 𝑎 0,5 =2𝑡

3 𝑡= 3

4 b)

Merkitään peräkkäisten lukujen suhteet samoiksi ja ratkaistaan t.

𝑎 𝑎 =𝑎

𝑎 𝑡 2=8

𝑡 | kerrotaan ristiin 𝑡 = 16

𝑡 = ±4

Vastaus: a) 𝑡= b) 𝑡= −4 tai 𝑡= 4

(15)

Geometrisen jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = −5 ja jonon suhdeluku 𝑞= 2.

𝑎 =−5⋅2

𝑎 =−5⋅2 = −5⋅2 = −20 b)

• jonon suhdeluku 𝑞= −3 Muodostetaan jonon yleinen jäsen.

𝑎 = 10⋅ −3 Lasketaan jonon 3. jäsen.

𝑎 = 10⋅ −3 = 10⋅ −3 = 10⋅9 = 90

Vastaus: a) 𝑎 = −5⋅2 , 𝑎 =−20 b) 𝑎 = 10⋅ −3 , 𝑎 = 90

Geometrisen jonon yleinen jäsen: an = a1 ∙ q^{n – 1}

(16)

• jonon suhdeluku 𝑞= = = Muodostetaan jonon yleinen jäsen.

𝑎 = 8⋅ = 8⋅1,5 Lasketaan jonon 5. jäsen.

𝑎 = 8⋅ = 8⋅ = = 40,5

b)

• jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 =

• jonon suhdeluku 𝑞= = : = ^⋅_⋅ = 3 Muodostetaan jonon yleinen jäsen.

𝑎 = ⋅3

Lasketaan jonon 5. jäsen.

𝑎 = ⋅3 = ⋅3 = = 20,25

Vastaus: a) 𝑎 = 8⋅ , 𝑎 = 40,5 b) 𝑎 = ⋅3 , 𝑎 = 20,25

(17)

Jonon seuraava jäsen on aina 20 % suurempi eli 120 % edellisestä jäsenestä. Näin ollen seuraava jäsen saadaan edellisestä aina kertomalla prosenttikertoimella 1,20.

Tiedetään siis, että jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 7 ja 𝑞= 1,20.

Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 7⋅1,20 . b)

𝒂_𝟑𝟐 on jonon 32. jäsen. Sijoitetaan sen järjestysluku yleiseen jäseneen ja lasketaan jäsenen arvo.

𝑎 = 7⋅1,20 = 7⋅1,20 = 1993,961 …≈ 1994,0

Vastaus: a) 𝑎 = 7⋅1,20 b) 𝑎 ≈1994,0

(18)

Jonon viides ja kuudes jäsen ovat peräkkäiset jäsenet, joten jonon suhdeluku on 𝑞=𝑎

𝑎 = −3072

−768 = 4.

Jonon yleisen jäsenen muodostamiseksi tarvitaan jonon ensimmäinen jäsen.

Jonon viides jäsen tunnetaan. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 . 𝑎 = −768

𝑎 ⋅4 = −768 𝑎 = −3

Yleinen jäsen on siis 𝑎 =−3⋅4 . b)

𝑎 =−3145728

−3⋅4 =−3145728 𝑛 = 11

Luku −3145728 on jonon 11. jäsen.

Vastaus: a) 𝑎 = −3⋅4 b) 11. jäsen

(19)

Jon suhdeluku on kahden peräkkäisen luvun suhde.

𝑞=𝑎 𝑎 = 1

0,5= 2 b)

Tiedetään, että jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 0,5 ja suhdeluku 𝑞 = 2.

Muodostetaan yleinen jäsen.

𝑎 = 0,5⋅2 c)

Lukujonossa viimeisen luvun, 524288, järjestysluvun verran jäseniä.

𝑎 = 524288 0,5⋅2 = 524288

𝑛 = 21

Jonossa on siis 21 jäsentä.

Vastaus: a) 𝑞= 2

b) 𝑎 = 0,5⋅2

c) 21 jäsentä

(20)

Muodostetaan neljännen jäsenen yhtälö ja ratkaistaan q.

𝑎 =𝑎 ⋅ 𝑞 𝑎 = 4,5⋅ 𝑞 15,1875 = 4,5⋅ 𝑞

𝑞= 1,5

b)

Jonon yleinen jäsen on nyt 𝑎 = 4,5⋅1,5 . Lasketaan tämän avulla 12. jäsenen arvo.

𝑎 = 4,5⋅1,5 = 4,5⋅1,5 = 389,239 … ≈389,2.

Vastaus: a) 𝑞= 1,5 b) 𝑎 ≈389,2

(21)

𝑎 = 0,75⋅1,25

Tapa 1: Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö, ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 500 0,75⋅1,25 = 500

𝑛 = 30,13 …

Jos 𝑛 = 30, jonon jäsen on 𝑎 = 0,75⋅1,25 = 484,67 … < 500.

Jos 𝑛 = 31, jonon jäsen on 𝑎 = 0,75⋅1,25 = 605,84 …>500.

31. jäsenestä alkaen jonon jäsenet ovat suurempia kuin 500.

Vastaus: 31. jäsenestä alkaen

(22)

• ensimmäinen jäsen on 𝑎 =

• suhdeluku on 𝑞=

Yleinen jäsen on siis 𝑎 = ⋅ .

Sijoitetaan järjestysluku𝑛= 14 yleisen jäsenen lausekkeeseen 𝑎 = ⋅ = 0,00171 …≈0,002

b)

Ratkaistaan järjestysluku n, jolla jonon jäsen ensimmäisen kerran alittaa arvon 0,0001 . Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö, ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 0,0001

⋅ = 0,0001 𝑛 = 21,005 …

Jos 𝑛 = 21, jonon jäsen on 𝑎 = ⋅ = 0,0001002 … >0,0001.

Jos 𝑛 = 22, jonon jäsen on 𝑎 = ⋅ = 0,0000668 … < 0,0001.

21 jäsentä ovat suurempia kuin 0,0001.

Vastaus: a) 𝑎 ≈0,002 b) 21. jäsentä

(23)

Jonon kolmannesta jäsenestä saadaan kuudes jäsen kertomalla sitä 6−3 = 3 kertaa suhdeluvulla q.

𝑎 ^⋅ 𝑎 ^⋅ 𝑎 ^⋅ 𝑎

Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan q.

𝑎 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞 ⋅ 𝑞=𝑎 1

3⋅ 𝑞 = 64 375 𝑞 =4

5 b)

Tiedetään, että 𝑎 = ja 𝑞= . Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan 𝑎 . 𝑎 =1

3 𝑎 ⋅ 4

5 =1

3 𝑎 ⋅ 4

5 =1 3 𝑎 = 1⋅25

3⋅16=25 48 c)

Ratkaistaan järjestysluku n, jolla jonon jäsen ensimmäisen kerran alittaa arvon 0,01.

𝑎 = 0,001 25

48⋅ 4

5 = 0,001 | ratkaistaan laskimella 𝑛= 18,71 …

Jos 𝑛 = 18, jonon jäsen on 𝑎 = ⋅ = 0,0117 … > 0,01.

Jos 𝑛 = 19, jonon jäsen on 𝑎 = ⋅ = 0,0093 …<0,01.

Jonon jäsenet ovat pienempiä kuin 0,01 jonon 19. jäsenestä alkaen.