10.1 a)
Lukujono on aritmeettinen, jos sen peräkkäisten jäsenten erotus, eli differenssi, on aina sama.
𝑎 − 𝑎 = 14−5 = 9 𝑎 − 𝑎 = 25−14 = 11
Koska erotus ei ole vakio, lukujono ei voi olla aritmeettinen.
b)
Lasketaan peräkkäisten lukujen erotus.
𝑎 − 𝑎 = 7−12 =−5 𝑎 − 𝑎 = 2−7 = −5
Koska peräkkäisten lukujen erotus on sama, lukujono voi olla aritmeettinen.
Vastaus: a) ei voi olla b) voi olla
Peräkkäisten jäsenten erotus:
d = an + 1 – an.
Jonon differenssi d on kahden peräkkäisen luvun erotus.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 16−10 = 6 Jonon differenssi on siis 6.
b)
Koska kahden peräkkäisen luvun erotus on aina 6, saadaan jonon seuraava jäsen lisäämällä edelliseen jäseneen aina 6.
𝑎 =𝑎 + 6 = 22 + 6 = 28.
Neljäs jäsen on 28.
c)
Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen lauseke on 𝑎 =𝑎 + 𝑛 −1 ⋅ 𝑑, kun 𝑛= 1, 2, 3, … Sijoitetaan lausekkeeseen ensimmäinen jäsen 𝑎 = 10 ja differenssi 𝑑 = 6.
Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 10 + (𝑛 −1)⋅6
= 10 + 6𝑛 −6
= 6𝑛+ 4, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Vastaus: a) 𝑑 = 6 b) 𝑎 = 28 c) 𝑎 = 6𝑛+ 4, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Lasketaan ensin kertolasku:
(n – 1) ⋅ 6 = 6 ⋅ (n – 1) = 6n – 6
Lasketaan ensin jonon differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 9−5 = 4.
Yleisen jäsenen lausekkeeseen tarvitaan myös ensimmäinen jäsen, joka on 𝑎 = 5.
Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 5 + (𝑛 −1)⋅4
= 5 + 4𝑛 −4
= 4𝑛+ 1, 𝑛 = 1, 2, 3, … b)
Lukujonon jäsen lasketaan sijoittamalla jäsenen järjestysluku n yleisen jäsenen lausekkeeseen.
Lasketaan lukujonon 25. jäsen sijoittamalla 𝑛= 25.
𝑎 = 4⋅25 + 1 = 101.
25. jäsen on siis 101.
c)
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 73 ja ratkaistaan järjestysluku n.
𝑎 = 73 4𝑛+ 1 = 73
4𝑛 = 72 | ∶ 4 𝑛 = 18
Luku 73 on siis jonon 18. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 4𝑛+ 1, 𝑛 = 1, 2, 3, … b) 𝑎 = 101 c) 18. jäsen
Yleinen jäsen an = 4n + 1.
Yleinen jäsen an = 5n + 1.
Kun aritmeettisen jonon differenssi on 3, saadaan seuraava jäsen lisäämällä edelliseen aina 3.
𝑎 = 2
𝑎 = 2 + 3 = 5 𝑎 = 5 + 3 = 8 𝑎 = 8 + 3 = 11 𝑎 = 11 + 3 = 14
Jonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat siis 2, 5, 8, 11, 14.
b)
Kun aritmeettisen jonon differenssi on −4, saadaan seuraava jäsen vähentämällä edellisestä 4.
Toisaalta edellinen jäsen saadaan lisäämällä seuraavaan 4.
𝑎 = 7 + 4 = 11 𝑎 = 7
𝑎 = 7−4 = 3 𝑎 = 3−4 = −1 𝑎 =−1−4 =−5
Jonon viisi ensimmäistä jäsentä ovat siis 11, 7, 3, −1, −5.
Vastaus a) 2, 5, 8, 11, 14 b) 11, 7, 3, −1, −5
Lukujono on aritmeettinen, jos sen peräkkäisten jäsenten erotus, eli differenssi, on aina sama.
𝑎 − 𝑎 =−5−(−9) = 4 𝑎 − 𝑎 = −1−(−5) = 4
Koska peräkkäisten lukujen erotus on sama, lukujono voi olla aritmeettinen.
b)
Lasketaan peräkkäisten lukujen erotus.
𝑎 − 𝑎 = 0,5−0,75 =−0,25 𝑎 − 𝑎 = −0,25−0,5 =−0,75
Koska peräkkäisten lukujen erotus ei ole sama, lukujono ei voi olla aritmeettinen.
Vastaus: a) voi olla b) ei voi olla
Peräkkäisten jäsenten erotus:
d = an + 1 – an.
Aritmeettisen jonon yleisen jäsenen lauseke on 𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑, kun 𝑛= 1, 2, 3, … Sijoitetaan yleisen jäsenen lausekkeeseen ensimmäinen jäsen 𝑎 = −8 ja differenssi 𝑑 = 3.
𝑎 =−8 + (𝑛 −1)⋅3
=−8 + 3𝑛 −3
= 3𝑛 −11, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Yleisen jäsenen lauseke on 𝑎 = 3𝑛 −11, kun 𝑛= 1, 2, 3, … b)
Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 2. Koska seuraava jäsen saadaan vähentämällä edellisestä 5, on peräkkäisten jäsenten erotus −5, ja differenssi 𝑑 =−5.
Sijoitetaan nämä yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 = 2 + (𝑛 −1)⋅(−5)
= 2−5𝑛+ 5
=−5𝑛+ 7, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Yleisen jäsenen lauseke on 𝑎 = −5𝑛+ 7, kun 𝑛 = 1, 2, 3, …
Vastaus: a) 𝑎 = 3𝑛 −11, kun 𝑛= 1, 2, 3, … b) 𝑎 = −5𝑛+ 7, kun 𝑛 = 1, 2, 3, …
Lasketaan jonon differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = −1−3 =−4 b)
Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 3 ja 𝑑 =−4. Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 3 + (𝑛 −1)⋅(−4)
= 3−4𝑛+ 4
=−4𝑛+ 7, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Yleinen jäsen on siis 𝑎 =−4𝑛+ 7, 𝑛 = 1, 2, 3, … c)
Lasketaan lukujonon 32. jäsen sijoittamalla 𝑛= 32.
𝑎 =−4⋅32 + 7 =−121.
32. jäsen on siis −121.
Vastaus: a) 𝑑 =−4 b) 𝑎 = −4𝑛+ 7, 𝑛 = 1, 2, 3, … c) 𝑎 =−121
Lasketaan ensin jonon differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 2−0,5 = 1,5
Yleisen jäsenen lausekkeeseen tarvitaan myös ensimmäinen jäsen, joka on 𝑎 = 0,5.
Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 0,5 + (𝑛 −1)⋅1,5
= 0,5 + 1,5𝑛 −1,5
= 1,5𝑛 −1, 𝑛= 1, 2, 3, …
Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 1,5𝑛 −1, 𝑛= 1, 2, 3, … b)
Lasketaan lukujonon 100. jäsen sijoittamalla 𝑛= 100.
𝑎 = 1,5⋅100−1 = 149 100. jäsen on siis 149.
c)
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 35 ja ratkaistaan järjestysluku n.
𝑎 = 35 1,5𝑛 −1 = 35
1,5𝑛= 36 | ∶ 1,5 𝑛= 24
Luku 35 on siis jonon 24. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 1,5𝑛 −1, 𝑛 = 1, 2, 3, … b) 𝑎 = 149 c) 24. jäsen
Lasketaan jonon differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 8−3 = 5 b)
Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 3 ja 𝑑 = 5. Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 3 + (𝑛 −1)⋅5
= 3 + 5𝑛 −5
= 5𝑛 −2, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 5𝑛 −2, 𝑛 = 1, 2, 3, … c)
Lukujonon jäsenmäärä on sama, kuin viimeisen luvun järjestysluku. Viimeinen jäsen on 103.
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 103 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 = 103 5𝑛 −2 = 103
5𝑛 = 105 | ∶ 5 𝑛 = 21
Viimeisen jäsenen järjestysluku on 21, joten jonossa on 21 jäsentä.
Vastaus: a) 𝑑 = 5 b) 𝑎 = 5𝑛 −2, 𝑛 = 1, 2, 3, … c) 21 jäsentä
Lukujonon seuraava jäsen saadaan aina lisäämällä edelliseen differenssi.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Näin ollen, kun ensimmäiseen jäseneen lisätään 4 differenssiä saadaan 5. jäsen.
Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan differenssi.
𝑎 =𝑎 + 4𝑑 19 = 3 + 4𝑑 4𝑑 = 16 | ⋅4
𝑑 = 4
Differenssi on siis 4.
b)
Muodostetaan jonon yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 3 + (𝑛 −1)⋅4
= 3 + 4𝑛 −4
= 4𝑛 −1, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 42 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 = 42 4𝑛 −1 = 42
4𝑛 = 43 | ∶ 2 𝑛 =43
2 = 21,5
Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, ei luku 42 ole lukujonon jäsen.
Vastaus: a) 𝑑 = 4 b) ei ole
Muodostetaan lukujonon yleinen jäsen. Lasketaan ensin differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 6−2 = 4
Sijoitetaan differenssi ja ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeeseen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 2 + (𝑛 −1)⋅4
= 2 + 4𝑛 −4
= 4𝑛 −2, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Lasketaan lukujonon 32. jäsen sijoittamalla 𝑛= 32.
𝑎 = 4⋅32−2 = 126.
32. jäsen on siis 126.
b)
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 3210 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 = 3210 4𝑛 −2 = 3210
4𝑛 = 3212 |∶4 𝑛 =3212
4 = 803
Luku 3210 on lukujonon 803. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 126 b) on lukujonon jäsen
Selvitetään ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeella. Tiedetään, että kun 𝑛= 6,
niin 𝑎 ja 𝑑 = 18. Sijoitetaan nämä yleisen jäsenen lausekkeeseen ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 .
𝑎 = 𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 = 𝑎 + (6−1)⋅18 135 =𝑎 + 90
𝑎 = 45 b)
Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 45 ja 𝑑 = 18. Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 = 45 + (𝑛 −1)⋅18
= 45 + (𝑛 −1)⋅18
= 45 + 18𝑛 −18
= 18𝑛+ 27, 𝑛= 1, 2, 3, …
Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö.
𝑎 = 1000 18𝑛+ 27 = 1000
18𝑛= 973 | : 18 𝑛= 973
18 ≈54,055. . .
Jos 𝑛 = 54, jonon jäsen 𝑎 = 18⋅54 + 27 = 999 < 1000.
Jos 𝑛 = 55, jonon jäsen 𝑎 = 18⋅55 + 27 = 1017 > 1000.
Jonon 54. jäsen on siis suurempi kuin 1000. Näin ollen 54 jäsentä on pienempiä kuin 1000.
Vastaus: a) 𝑎 = 45 b) 54 jäsentä
an = a1 + (n – 1)⋅d
• a1 = 45
• d = 18
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 268−252 = 16
Selvitetään ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeen avulla. Tiedetään, että 𝑎 = 252, jolloin 𝑛 = 15. Sijoitetaan nämä lausekkeeseen ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 .
𝑎 = 𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 = 𝑎 + (15−1)⋅16 252 = 𝑎 + 224
𝑎 = 28
Ensimmäinen jäsen on 28.
Vastaus: 𝑎 = 28
Tiedetään viides jäsen ja kymmenes jäsen. Seuraava luku saadaan aina lisäämällä edelliseen differenssi.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Näin ollen viidenteen jäseneen tulee lisätä 10−5 = 5 differenssia, jotta saadaan 10. jäsen.
Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan differenssi.
𝑎 =𝑎 + 5𝑑 28 =−2 + 5𝑑 30 = 5𝑑
5𝑑 = 30 |∶5 𝑑 = 6
Differenssi on 6.
b)
Selvitetään ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeen avulla. Tiedetään, että 𝑎 = 28, jolloin 𝑛 = 10. Sijoitetaan nämä lausekkeeseen ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 .
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 =𝑎 + (10−1)⋅6
28 =𝑎 + 54 𝑎 =−26
Ensimmäinen jäsen on −26.
Vastaus: a) 𝑑 = 6 b) 𝑎 =−26
Lasketaan jonon differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 2−1,5 = 0,5.
Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 1,5 ja 𝑑 = 0,5. Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 1,5 + (𝑛 −1)⋅0,5
= 1,5 + 0,5𝑛 −0,5
= 0,5𝑛+ 1, 𝑛= 1, 2, 3, . . .
Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 0,5𝑛+ 1, 𝑛= 1, 2, 3, … b)
Lasketaan lukujonon 10. jäsen sijoittamalla 𝑛= 10.
𝑎 = 0,5⋅10 + 1 = 6.
10. jäsen on siis 6.
c)
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 5,5 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 = 5,5 0,5𝑛+ 1 = 5,5
0,5𝑛= 4,5 |∶0,5 𝑛= 4,5
0,5= 9
Luku 5,5 on lukujonon 9. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = 0,5𝑛+ 1, 𝑛 = 1, 2, 3, … b) 𝑎 = 6 c) 9. jäsen
Lasketaan jonon differenssi.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = −15−(−12) =−3.
Ensimmäinen jäsen on 𝑎 =−12 ja 𝑑 =−3. Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
=−12 + (𝑛 −1)⋅(−3)
=−12−3𝑛+ 3
=−3𝑛 −9, 𝑛 = 1, 2, 3, . . .
Yleinen jäsen on siis 𝑎 =−3𝑛 −9, 𝑛 = 1, 2, 3, … b)
Lukujonon jäsenmäärä on sama, kuin viimeisen luvun järjestysluku. Viimeinen jäsen on −105.
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin −105 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 =−105
−3𝑛 −9 =−105
−3𝑛 =−96 |∶(−3) 𝑛 = 32
Viimeisen jäsenen järjestysluku on 32, joten jonossa on 32 jäsentä.
Vastaus: a) 𝑎 = −3𝑛 −9, 𝑛= 1, 2, 3, … b) 32 jäsentä
Lukujonon on aritmeettinen, kun peräkkäisten lukujen erotus on sama. Muodostetaan differenssi kahdella eri tavalla.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 𝑡 −5 𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 27− 𝑡
Merkitään differenssit samoiksi ja ratkaistaan muuttuja t.
𝑑 = 𝑑 𝑡 −5 = 27− 𝑡
2𝑡= 32 𝑡= 16 b)
Muodostetaan differenssit.
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 10−(𝑡+ 2)= 8− 𝑡 𝑑 =𝑎 − 𝑎 = 3𝑡 −6−10 = 3𝑡 −16
Merkitään differenssit samoiksi ja ratkaistaan muuttuja t.
𝑑 = 𝑑 8− 𝑡= 3𝑡 −16
−4𝑡= −24 |∶ (−4) 𝑡= 6
Vastaus: a) 𝑡= 16 b) 𝑡 = 6
Tiedetään ensimmäinen jäsen ja kuudes jäsen. Seuraava luku saadaan aina lisäämällä edelliseen differenssi.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Näin ollen ensimmäiseen jäseneen tulee lisätä 6−1 = 5 differenssia, jotta saadaan 6. jäsen.
Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan differenssi.
𝑎 =𝑎 + 5𝑑
−15 =−5 + 5𝑑
−10 = 5𝑑
5𝑑 =−10 |∶ 5 𝑑 =−2
b)
Muodostetaan jonon yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
=−5 + (𝑛 −1)⋅(−2)
=−5−2𝑛+ 2
=−2𝑛 −3, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin −38 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 =−38
−2𝑛 −3 =−38
−2𝑛 =−35 |∶(−2) 𝑛 =−35
−2 = 17,5
Koska n ei ole positiivinen kokonaisluku, ei luku −38 ole lukujonon jäsen.
Vastaus: a) 𝑑 =−2 b) ei ole
Selvitetään differenssi yleisen jäsenen lausekkeen avulla. Tiedetään, että 𝑎 = 8, ja tiedetään myös, että 𝑎 = −28. Tällöin 𝑛= 5. Sijoitetaan nämä lausekkeeseen ja ratkaistaan d.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 = 8 + (5−1)⋅ 𝑑
−28 = 8 + 4𝑑
−36 = 4𝑑 |∶ 4 𝑑 =−9
Muodostetaan jonon yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 8 + (𝑛 −1)⋅(−9)
= 8−9𝑛+ 9
=−9𝑛+ 17, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Yleinen jäsen on siis 𝑎 =−9𝑛+ 17, 𝑛 = 1, 2, 3, … b)
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin -127 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 =−127
−9𝑛+ 17 =−127
−9𝑛 =−144 | : 9 𝑛 = 16
Luku −127 on jonon 16. jäsen.
Vastaus: a) 𝑎 = −9𝑛+ 17, 𝑛= 1, 2, 3, … b) on
𝑑 =𝑎 − 𝑎 = −196−(−231) = 35.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
=−231 + (𝑛 −1)⋅35
=−231 + 35𝑛 −35
= 35𝑛 −266, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Lukujonon jäsenmäärä on sama, kuin viimeisen luvun järjestysluku. Viimeinen jäsen on −469.
Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 469 ja ratkaistaan sen järjestysluku n.
𝑎 = 469 35𝑛 −266 = 469
35𝑛= 735 |∶ 35 𝑛= 21
Viimeisen jäsenen järjestysluku on 21, joten jonossa on 21 jäsentä.
b) Selvitetään, millä n:n arvolla luvut muuttuvat positiivisiksi. Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 0.
𝑎 = 0 35𝑛 −266 = 0
35𝑛= 266 |∶ 35 𝑛= 266
35 ≈7,6
Jos 𝑛 = 7, jonon jäsen 𝑎 = 35⋅7−266 = −21 < 0.
Jos 𝑛 = 8, jonon jäsen𝑎 = 35⋅8−266 = 14 > 0.
Viimeisen negatiivisen luvun järjestysluku on 7, joten negatiivisia lukuja on 7.
Vastaus: a) 21 jäsentä b) 7 jäsentä
Selvitetään ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeen avulla. Tiedetään, että 𝑑 =−15 ja 𝑎 = 1520, jolloin 𝑛 = 8. Sijoitetaan nämä lausekkeeseen ja ratkaistaan ensimmäinen
jäsen 𝑎 .
𝑎 = 𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 = 𝑎 + (8−1)⋅(−15) 1520 =𝑎 −105
𝑎 = 1625
Ensimmäinen jäsen on 1625.
b)
Muodostetaan yleinen jäsen.
𝑎 =𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑
= 1625 + (𝑛 −1)⋅(−15)
= 1625−15𝑛+ 15
=−15𝑛+ 1640, 𝑛 = 1, 2, 3, …
Selvitetään, millä n:n arvolla luvut muuttuvat negatiivisiksi. Merkitään yleinen jäsen yhtä suureksi kuin 0.
𝑎 = 0
−15𝑛+ 1640 = 0
−15𝑛 =−1640 | : (−14) 𝑛 =−1640
−15 ≈109,333…
Jos 𝑛 = 109, jonon jäsen 𝑎 = −15⋅109 + 1640 = 5 > 0.
Jos 𝑛 = 110, jonon jäsen𝑎 = −15⋅110 + 1640 =−10 < 0.
Viimeisen positiivisen luvun järjestysluku on 109, joten positiivisia lukuja on 109.
Vastaus: a) 1625 b) 109 jäsentä
differenssi.
𝑎 𝑎 𝑎 𝑎
Näin ollen viidenteen jäseneen tulee lisätä 8−5 = 3 differenssia, jotta saadaan 8. jäsen.
Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan differenssi.
𝑎 =𝑎 + 3𝑑 33 = 12 + 3𝑑 21 = 3𝑑 3𝑑 = 21 | : 3
𝑑 = 7
Differenssi on 7.
b) Ratkaistaan ensin ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeen avulla.
𝑎 = 𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 = 𝑎 + (5−1)⋅7 12 =𝑎 + 28
𝑎 = −16
Yleinen jäsen on siis 𝑎 =−16 + (𝑛 −1)⋅7
=−16 + 7𝑛 −7
= 7𝑛 −23
Lasketaan lukujonon 65. jäsen sijoittamalla 𝑛= 65.
𝑎 = 7⋅65−23 = 432.
65. jäsen on siis 432.
Vastaus: a) 𝑑 = 7 b) 𝑎 = 432
differenssi. Näin ollen viidenteen jäseneen tulee lisätä 132−5 = 127 differenssia, jotta saadaan 132. jäsen.
Muodostetaan yhtälö, ja ratkaistaan differenssi.
𝑎 = 𝑎 + 127𝑑 1061 = 45 + 127𝑑 1016 = 127𝑑 | : 127
𝑑 = 8
Ratkaistaan ensin ensimmäinen jäsen yleisen jäsenen lausekkeen avulla.
𝑎 = 𝑎 + (𝑛 −1)⋅ 𝑑 𝑎 = 𝑎 + (5−1)⋅8 45 =𝑎 + 32
𝑎 = 13
Yleinen jäsen on siis 𝑎 = 13 + (𝑛 −1)⋅8
= 13 + 8𝑛 −8
= 8𝑛+ 5, 𝑛 = 1, 2, 3, …
b) Muodostetaan yleisen jäsenen avulla yhtälö.
𝑎 = 75000 8𝑛+ 5 = 75000
8𝑛 = 74995 | : 8 𝑛 =74995
8 ≈9374,38. . .
Jos 𝑛 = 9374, jonon jäsen 𝑎 = 8⋅9374 + 5 = 74997 < 75000.
Jos 𝑛 = 9375, jonon jäsen 𝑎 = 8⋅9375 + 5 = 75005 > 75000.
Jonon 9375. jäsen on ensimmäinen, joka on yli 75000.
Vastaus: a) 𝑎 = 8𝑛+ 5, 𝑛 = 1, 2, 3, … b) 9375. jäsenestä alkaen
