Ensimmäinen jäsen on

(1)

14.1

Hyödynnetään geometrisen jonon summakaavaa.

• Koska lasketaan jonon ensimmäisen seitsemän jäsenen summaa, 𝑛 = 7.

• Ensimmäinen jäsen ja suhde luku nähdään yleisen jäsenen lausekkeesta.

Koska 𝑎 =3⋅4 , ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 3 ja 𝑞= 4.

Sijoitetaan 𝑛 = 7,𝑎 = 3 ja 𝑞= 4 summakaavaan.

𝑆 = 3⋅1−4 1−4

= 3⋅1−4

−3

= 3⋅−16383

−3

= 3⋅5461

= 16383

Vastaus: 16383

Geometrinen jono 𝑎 =𝑎 ⋅ 𝑞

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞

(2)

• Koska lasketaan jonon ensimmäisen kuuden jäsenen summaa, 𝑛 = 6.

• Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 10000.

• Suhdeluku on 𝑞= 0,5.

Sijoitetaan 𝑛 = 6,𝑎 = 10000 ja 𝑞= 0,5 summakaavaan.

𝑆 = 10000⋅1−0,5 1−0,5

= 19687,5

Vastaus: 19687,5

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞

(3)

a)

Lukujonon 5, 25, 125, … ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 5 ja toinen jäsen 𝑎 = 25.

Lukujonon suhdeluku on 𝑞 = = = 5.

Lasketaan kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa käyttäen summakaavaa.

𝑆 = 5⋅1−5 1−5

= 5⋅−390624

−4

= 5⋅97656

= 488280 b)

Lukujonon −4, 12, −36, … ensimmäinen jäsen on 𝑎 = −4 ja toinen jäsen 𝑎 = 12.

Lukujonon suhdeluku on 𝑞 = = =−3.

𝑆 = −4⋅1− −3 1− −3

= −4⋅244 4

= −4⋅61

= −244

Vastaus: a) 488280 b) −244

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞 a1 = 5

q = 5 n = 8

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞 a1 = −4

q = −3 n = 5

(4)

a)

Viimeisen termin suhdeluvun potenssi on 25, joten ensimmäisen jäsenen jälkeen on 25 termiä. Yhteensä termejä suummassa on siis 25 + 1 = 26.

b)

Hyödynnetään summakaavaa.

• Yhteenlaskettavia on 26, joten 𝑛 = 26.

• Ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 14.

• Suhdeluku on 𝑞=𝑎

𝑎 = 14⋅1,2

14 = 1,2.

Sijoitetaan nämä summakaavaan.

𝑆 = 14⋅1−1,2 1−1,2

= 7943,282 …

= 7943,28

Vastaus: a) 26 termiä b) 7943,28

(5)

• Koska lasketaan jonon ensimmäisen kymmenen jäsenen summaa, 𝑛 = 10.

• Ensimmäinen jäsen ja suhde luku nähdään yleisen jäsenen lausekkeesta.

Koska 𝑎 =−4⋅2 , on ensimmäinen jäsen 𝑎 =−4 ja 𝑞= 2.

Sijoitetaan 𝑛 = 10,𝑎 =−4 ja 𝑞= 2 summakaavaan.

𝑆 = −4⋅1−2 1−2

= −4⋅−1023

−1

= −4⋅1023

= −4092

Vastaus: −4092

Geometrinen jono 𝑎 =𝑎 ⋅ 𝑞

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞

(6)

Lukujonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 5000 ja toinen jäsen 𝑎 = 2500.

Lukujonon suhdeluku on 𝑞= = = 0,5.

Lasketaan 𝑆 eli seitsemän ensimmäisen jäsenen summa käyttäen summakaavaa.

𝑆 = 5000⋅1−0,5 1−0,5

= 9921,875 Vastaus: 9921,875

(7)

Lukujonon termien määrää ei tunneta. Selvitetään se yleisen jäsenen avulla.

Jonossa

• ensimmäinen termi on 𝑎 = 2

• suhdeluku 𝑞= = = 6.

Jonon yleinen jäsen on 𝑎 = 2⋅6 .

Selvitetään, kuinka mones jäsen jonon viimeinen jäsen 3359232 on.

Muodostetaan yhtälö 𝑎 = 3359232 ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 3359232 2⋅6 = 3359232

𝑛= 9

Summassa on siis 9 yhteenlaskettavaa.

Lasketaan summan arvo summakaavan avulla.

𝑆 = 2⋅1−6 1−6

= 4031078

Vastaus: 4031078

(8)

Jonossa

Jonon yleinen jäsen on 𝑎 = 1⋅7 = 7 .

𝑎 = 823543 7 = 823543

𝑛= 8

𝑆 = 1⋅1−7 1−7

= 960800

Vastaus: 960800

(9)

Jonosta tiedetään, että

• suhdeluku 𝑞= 2

• 11 ensimmäisen jäsenen summa on 𝑆 = 24564.

Muodostetaan summakaavan avulla yhtälö, ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 .

𝑆 = 𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞 24564 =𝑎 ⋅1−2

1−2 𝑎 = 12

Ensimmäinen jäsen on siis 12.

Vastaus: 𝑎 = 12

Ratkaise yhtälö CAS-laskimella

(10)

a)

• suhdeluku 𝑞= −2.

Yleinen jäsen on tällöin 𝑎 = 10⋅ −2 . Hyödynnetään taulukkolaskentaohjelmaa 8 ensimmäisen jäsenen selvittämiseen.

Ensimmäiset 8 jäsentä ovat siis 10, −20, −40, 80, −160, 320, −640, 1280.

b)

Lasketaan 8 ensimmäisen jäsenen summa taulukkolaskentaohjelman summa-toiminnolla.

Kahdeksan ensimmäisen jäsenen summa on -850.

Vastaus: a) 10, −20, −40, 80, −160, 320, −640, 1280 b) 𝑆 =−850

(11)

• Koska lasketaan jonon ensimmäisen kuuden jäsenen summaa, 𝑛 = 6.

• Ensimmäinen jäsen ja suhdeluku nähdään yleisen jäsenen lausekkeesta.

Koska 𝑎 =−500000⋅ , on ensimmäinen jäsen 𝑎 =−500000 ja 𝑞= = 0,1.

Sijoitetaan tunnetut arvot summakaavaan.

𝑆 = −500000⋅1−0,1 1−0,1

= −555555

Vastaus: −555555

(12)

Jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 =−3 ja toinen jäsen 𝑎 = 6.

Lukujonon suhdeluku on 𝑞= = =−2.

𝑆 = −3⋅1− −2 1− −2

= −3⋅−255

= 255 3

Vastaus: 255

(13)

a)

Summassa 2⋅4

lasketaan geometrisen jonon 6 ensimmäistä jäsentä yhteen.

Yleisestä jäsenen avulla voidaan päätellä, että

• suhdeluku 𝑞= 4.

2⋅4

= 2⋅1−4 1−4

= 2⋅−4095

−3

= 2⋅1365

= 2730 b)

Summassa

−5⋅2

ensimmäinen yhteenlaskettava on 𝑎 ja viimeinen 𝑎 . Summassa on termejä yhteensä siis 7−2 = 5. 𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎 ,𝑎

Yleisestä jäsenen avulla voidaan päätellä, että

• ensimmäinen yhteenlaskettava on 𝑎 = −5⋅2 = −20

• suhdeluku 𝑞= 2.

−5⋅2

=−20⋅1−2 1−2

=−20⋅−31

−1

=−620

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞

(14)

Jonossa

Selvitetään, kuinka mones jäsen jonon viimeinen jäsen 57344 on. Muodostetaan yhtälö 𝑎 = 57344 ja ratkaistaan järjestysluku n.

𝑎 = 57344 7⋅2 = 57344

𝑛= 14

𝑆 = 7⋅1−2 1−2

= 114681

Vastaus: 114681

(15)

Jonossa

𝑎 = 354294 2⋅3 = 354294

𝑛= 11

𝑆 = 6⋅1−3 1−3

= 531438

Vastaus: 531438

(16)

Jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = 0,001 ja suhdeluku 𝑞= = ^,_, = 4.

Merkitään termien lukumäärää kirjaimella n.

Muodostetaan lauseke, joka kuvaa summaa, kun termejä on n kappaletta.

𝑆 = 0,001⋅1−4 1−4

Muodostetaan yhtälö 𝑆 = 100 ja ratkaistaan termien määrä n.

𝑆 = 100 0,001⋅1−4

1−4 = 100 𝑛 = 9,097 … Jos 𝑛 = 9, niin summa on 𝑆 = 0,001⋅1−4

1−4 = 87,381 < 100.

Jos 𝑛 = 10, niin summa on 𝑆 = 0,001⋅1−4

1−4 = 349,525>100.

Summassa on vähintään oltava 10 yhteenlaskettavaa, jotta sen arvo ylittää 100.

Vastaus: 10 yhteenlaskettavaa

𝑆 =𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞 a1 = 0,001 q = 4

(17)

Jonon ensimmäinen jäsen on 𝑎 = = 0,05 ja toinen jäsen 𝑎 = = 0,1.

Suhdeluku 𝑞= = _,^, = 2.

Merkitään termien lukumäärää kirjaimella n.

Muodostetaan lauseke, joka kuvaa summaa, kun termejä on n kappaletta.

𝑆 = 0,05⋅1−2 1−2

Muodostetaan yhtälö 𝑆 = 500 ja ratkaistaan termien määrä n.

𝑆 = 500 0,05⋅1−2

1−2 = 500 𝑛 = 13,287 … Jos 𝑛 = 13, niin summa on 𝑆 = 0,05⋅1−2

1−2 = 409,55 < 500.

Jos 𝑛 = 14, niin summa on 𝑆 = 0,05⋅1−2

1−2 = 819,15>500.

Jonon alusta on laskettava vähintään 14 jäsentä yhteen, jotta summa ylittää 500.

Pienin summa, joka ylittää arvon 500 on 𝑆 = 819,15.

Vastaus: 14 jäsentä, 𝑆 = 819,15

(18)

• suhdeluku 𝑞= 3

• 8 ensimmäisen jäsenen summa on 𝑆 = 49200.

Muodostetaan summakaavan avulla yhtälö, ja ratkaistaan ensimmäinen jäsen 𝑎 . 𝑆 = 𝑎 ⋅1− 𝑞

1− 𝑞 49200 =𝑎 ⋅1−3

1−3 𝑎 = 15

Ensimmäinen jäsen on siis 15.

Vastaus: 𝑎 = 15

(19)

Summasta tiedetään, että

• yhteenlaskettavia on 6, eli 𝑛 = 6

• ensimmäinen termi on 𝑎 = −4

• 6 termin summa on 𝑆 =−648,375.

Muodostetaan summakaavan avulla yhtälö, ja ratkaistaan suhdeluku q.

𝑆 = 𝑎 ⋅1− 𝑞 1− 𝑞

−648,375 =−4⋅1− 𝑞

1− 𝑞 | 𝑞 ≠1 𝑞= 5

2= 2,5 Vastaus: 𝑞= = 2,5

(20)

a)

Jonon yleinen jäsen on 𝑎 = 10⋅0,6 . Hyödynnetään taulukkolaskentaohjelmaa 10, 15 ja 25 ensimmäisen jäsenen summan selvittämiseksi.

Summat ovat 𝑆 24,8488,𝑆 24,9882 ja 𝑆 24,9999.

b)

Summat näyttävät jäävän aina kokonaisluvun 25 alle.

Vastaus: a) 𝑆 24,8488; 𝑆 24,9882 ja 𝑆 24,9999 b) 25