Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille II

Harjoitusten malliratkaisut, viikko 12, kevät 2014

24. a) KoskaD(x²+ 2x+ 2) = 2x+ 2 = 2(x+ 1), niin Z x+ 1

√3

x²+ 2x+ 2dx= Z

(x+ 1)(x²+ 2x+ 2)⁻¹³dx

= 1 2

Z

2(x+ 1)(x²+ 2x+ 2)⁻¹³dx

= 1

2· (x²+ 2x+ 2)²³

2 3

+c

= 3

4(x²+ 2x+ 2)²³ +c.

b) Koska Dx² = 2x, niin Z

xe^x2dx= 1 2

Z

2xe^x2dx= 1

2e^x2 +c.

c) Koska Dln(x²) = _x¹2 ·2x= ²_x, niin

Z x

x²ln(x²)dx=

Z 1

xln(x²)dx= 1 2

Z 2 xln(x²)dx

= 1 2

Z 2 x

ln(x²)dx= 1

2ln|ln(x²)|+c.

d) Koska D(x²+ 1) = 2x, niin Z

2^x2+1xdx= 1 2

Z

2x·2^x2+1dx = 1

2 ·2^x2+1

ln 2 +c= 2^x2 ln 2 +c.

e) Koska D(2x²+ 4x+ 5) = 4x+ 4 = 4(x+ 1), niin Z x+ 1

2x² + 4x+ 5dx= 1 4

Z 4(x+ 1)

2x²+ 4x+ 5dx= 1

4ln|2x²+ 4x+ 5|+c.

1

25. a)

Z

x²|x|dx=







R x²·xdx, kunx≥0 R x²·(−x)dx, kun x <0

=







R x³dx, kunx≥0 R −x³dx, kunx <0

=







1

4x⁴+c, kunx≥0

−¹₄x⁴+c, kunx <0

= 1

4x³|x|+c b)

Z dx 1 +e^x =

Z 1 +e^x−e^x 1 +e^x dx=

Z

1− e^x 1 +e^x

dx

=x−ln|1 +e^x

| {z }

>0

|+c=x−ln(1 +e^x) +c

c)

Z lnx x dx=

Z

(lnx)¹· 1

xdx= 1

2(lnx)²+c

26. a)

Z

(x²−√

x+ 2)dx= Z

(x²−x¹² + 2)dx= 1

3x³− x³²

3 2

+ 2x+c

= 1

3x³−2

3x³² + 2x+c= 1

3x³− 2 3x√

x+ 2x+c b)

Z √

2 + 5xdx= Z

(2 + 5x)¹²dx= 1 5

Z

5(2 + 5x)¹²dx

= 1

5 · (2 + 5x)³²

3 2

+c= 2

15(2 + 5x)³² +c

2

c)

Z dx (3x+ 2)² =

Z

(3x+ 2)⁻²dx = 1 3

Z

3(3x+ 2)⁻²dx

= 1

3· (3x+ 2)⁻¹

−1 +c=− 1

3(3x+ 2) +c=− 1

9x+ 6 +c d)

Z x³−1 x−1dx=

Z (x−1)(x²+x+ 1) x−1 dx=

Z

(x²+x+ 1)dx

= 1

3x³+ 1

2x²+x+c

27. a) Valitaan f⁰(x) = e^−x ja g(x) = x. Tällöin f(x) = −e^−x ja g⁰(x) = 1.

Nyt osittaisintegroinnilla saadaan Z

xe^−xdx =x·(−e^−x)− Z

(−e^−x·1)dx=−xe^−x− Z

−e^−xdx

=−xe^−x−e^−x+c=−e^−x(x+ 1) +c.

b) Valitaanf⁰(x) = x⁷ jag(x) = lnx. Tällöinf(x) = ¹₈x⁸ jag⁰(x) = _x¹. Nyt osittaisintegroinnilla saadaan

Z

x⁷lnxdx= 1

8x⁸·lnx− Z

1 8x⁸· 1

x

dx= 1

8x⁸lnx− Z 1

8x⁷dx

= 1

8x⁸lnx− 1 8· 1

8x⁸ +c= 1

8x⁸(lnx− 1 8) +c.

3