Matematiikan perusteet taloustieteilijöille Ia

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille Ia

Harjoitus 5, syksy 2011

1. Ratkaise seuraavat yhtälöt

a) 2 log₅(x+ 1) = 1 Vast: x=√ 5−1 b) log₁₀(x²−1) = 1 + log₁₀(x−1) Vast: x= 9

c) 2^x2 = 3^2x Vast:x= 0 ∨ x= log₂9 = 2^{ln 3}_{ln 2} d) log₃(2x) = log₉(3x) Vast: x= ³₄

e) log₂(2x) = log₃x Vast: x= ^{log2 3−1} q1

3. 2. Ratkaiset seuraavat epäyhtälöt

(a) log¹

2 (2x−1) + 2>log¹

2 (3x−4) Vast: x > ³₂ (b) log¹

2 (2x)<log₂7 Vast: x > ₁₄¹

(c) 2^x2 <3^2x Vast: 0< x <log₂9 3. Etsi seuraavien funktioiden määrittelyjoukot

a) f(x) = 1

√4x−1 −√

1−x² Vast: D_f =]¹₄,1]

b) f(x) = p√

x−1 Vast: Df = [1,∞[.

4. Olkoon f(x) = 2x²+ 3 ja g(x) = √

x−1 . Määrää

a) (f ◦g)(x) ja (f ◦g)(1) Vast: (f ◦g)(x) = 2x+ 1 b) (g◦f)(x) ja (g◦f)(1) Vast: (g◦f)(x) = √

2x²+ 2 c) (f ·g)(x) ja (f ·g)(2)

d) f

g

(x) ja f

g

(2) e) Df◦g, Dg◦f, D_f·g ja D^f

g

Vast:D_f◦g = [1,∞[, Dg◦f =R, Df·g = [1,∞[ ja Df

g

=]1,∞[

1