Tilastot ja todennäköisyyslaskenta pitkän sekä lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa. Tehtävien ratkaisumenetelmien, osaamistasojen ja pistejakaumien analyysi kolmella eri aikajänteellä

(1)

Tilastot ja todennäköisyyslaskenta pitkän sekä lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa

Tehtävien ratkaisumenetelmien, osaamistasojen ja pistejakaumien analyysi kolmella eri aikajänteellä

Helsingin yliopisto

Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta

Matematiikan aineenopettajan koulutusohjelma

Maisterintutkielma 2021

Karoliina Hannukkala

Ohjaaja: Anne-Maria Ernvall-Hytönen

(2)

Tiedekunta - Fakultet – Faculty

Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Matematiikan ja tilastotieteen osasto

Tekijä - Författare – Author

Karoliina Hannukkala

Työn nimi - Arbetets titel

Tilastot ja todennäköisyyslaskenta pitkän sekä lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa:

Tehtävien ratkaisumenetelmien, osaamistasojen ja pistejakaumien analyysi kolmella eri aikajänteellä

Oppiaine - Läroämne - Subject

matematiikka, matematiikan aineenopettajan koulutusohjelma

Työn laji/ Ohjaaja - Arbetets art/Handledare - Level/Instructor

Maisterintutkielma / Anne-Maria Ernvall-Hytönen

Aika - Datum - Year

syksy 2021

Sivumäärä - Sidoantal – Number of pages

70 + 5 liitesivua

Tiivistelmä - Referat – Abstract

Tavoitteet. Tutkimuksen tavoitteena on kartoittaa ja analysoida vuosina 2007–2021 järjestettyjen pitkän sekä lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa esiintyneiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien muutosta. Tutkimuksen erityiset kiinnepisteet ovat tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä hyödynnetyt ratkaisumenetelmät, tehtävien osaamistasoluokitukset sekä tehtäväkohtaiset pistejakaumat. Osaamistasoluokituksessa tukeudutaan Bloomin taksonomiaan. Tarkastelu jaetaan kolmeen aikajänteeseen matematiikan ylioppilaskokeessa ja sen järjestämistavassa tapahtuneisiin muutoksiin perustuen. Aikajänteet ovat 2007–2011 (perinteinen paperikoe), 2012–2018 (symbolisten laskimet sallittuja) ja 2019–2021 (kokeen toteutus kokonaan digitaalinen).

Menetelmät. Tutkimuksessa on käytetty kvantitatiivisia menetelmiä. Ratkaisumenetelmien, osaamistasojen ja pistejakaumien analysoinnissa on kaikissa hyödynnetty määrällisiä menetelmiä.

Tulokset ja johtopäätökset. Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävät peräänkuuluttavat sekä pitkässä että lyhyessä oppimäärässä laajasti erilaisten ratkaisumenetelmien hallintaa. Erityisen huomion kiinnittää lyhyen oppimäärän ylioppilaskokeiden taulukkolaskentaa vaativien tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien suuri suhteellinen osuus viimeisellä tarkastelujänteellä 2019–2021.

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien osaamistasovaade on vuosien saatossa kasvanut huomattavasti. Samaan aikaan suhteellinen tehtäväkohtainen pistemäärä on laskenut. Lyhyen oppimäärän tilasto- ja todennäköisyysaiheisten tehtävien osaamistasovaade on kasvanut hiukan, ja samanaikaisesti tehtäväkohtaiset pistemäärät ovat pysyneet suhteellisen tasaisina.

Avainsanat – Nyckelord

matematiikan ylioppilaskoe, tilastot ja todennäköisyyslaskenta

Muita tietoja - Övriga uppgifter - Additional information

(3)

1

Sisällys

1 Alkusanat... 3

2 Teoria ... 5

2.1 Aiempaa tutkimusta ... 5

2.2 Lukion opetussuunnitelman perusteet ... 7

2.2.1 Matematiikan oppiaineen yleinen kuvaus ... 8

2.2.2 Tilastot ja todennäköisyyslaskenta pitkässä oppimäärässä ... 9

2.2.3 Tilastot ja todennäköisyyslaskenta lyhyessä oppimäärässä ... 10

2.2.4 Oppimäärien tavoitteiden ja keskeisten sisältöjen vertailua ... 12

2.3 Matematiikan ylioppilaskoe ... 13

2.3.1 Matematiikan ylioppilaskokeen rakenne ... 14

2.3.2 Sähköinen matematiikan ylioppilaskoe ... 14

2.3.3 Ohjelmistoista ... 15

3 Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien analysointi ... 20

3.1 Ratkaisumenetelmät ... 21

3.1.1 Pitkä oppimäärä ... 21

3.1.2 Lyhyt oppimäärä ... 24

3.2 Osaamisen tasot ... 26

Esimerkkitehtävät ... 30

Esimerkkitehtävät ... 39

3.3 Pistejakaumat... 43

4 Tutkimustulokset ja pohdinta ... 56

4.1 Ratkaisumenetelmät ... 56

(4)

2

4.2 Osaamisen tasot ... 57

4.3 Pistejakaumat... 59

5 Loppulauseet ... 62

5.1 Tulevaisuuden tarkastelu – LOPS 2019 ... 62

5.2 Luotettavuustarkastelu ... 65

5.3 Jatkotutkimusehdotukset ... 66

Tiedonlähteet ... 68

Liitteet ... 71

(5)

3

1 Alkusanat

Tämän tutkielman tavoitteena on jäsentää ja analysoida vuosina 2007–2021 matematiikan ylioppilaskokeissa tapahtunutta muutosta. Tutkielma tarkastelee sekä pitkän että lyhyen oppimäärän kokeita. Erityisenä viitepisteenä ovat tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tietoja vaativat tehtävät. Tehtäviä tarkastellaan niissä hyödynnettyjen ratkaisumenetelmien, niiden osaamistasovaateiden sekä tehtäväkohtaisten pistejakaumien kautta.

Tarkasteltava aikaväli (2007–2021) on pilkottu kolmeen aikajänteeseen. Valittu jäsennys perustuu matematiikan ylioppilaskokeessa ja sen suorittamisessa tapahtuneisiin muutoksiin.

Keväällä 2019 matematiikan ylioppilaskoe toteutettiin ensimmäistä kertaa kokonaan sähköisenä. Ennen tätä kirjoituskertaa lukioissa oli jo harjoiteltu matematiikan sähköistä toteuttamista; kynä-paperi-käyttöliittymän tilalle oli tullut tietokone runsaine ohjelmistovalikoimineen. Tuorein aikajänne edustaakin juuri sähköisten matematiikan ylioppilaskirjoitusten aikaa. Tuoreimman tarkastelukehyksen muodostavat siis vuosien 2019–2021 matematiikan ylioppilaskoetehtävät.

Kauttaaltaan sähköistä matematiikan ylioppilaskoetta edelsi ajanjakso, jolloin kokelailla oli käytössään niin sanotut symboliset laskimet, joilla kyetään käsittelemään myös lausekkeita ja ratkaisemaan yhtälöitä. Tämä muutos astui voimaan keväällä 2012, ja näin ollen keskimmäinen tarkasteltava aikajänne muodostuu vuosista 2012–2018. Edellä kuvattuja aikajaksoja edelsi kynän, paperin ja perinteisten laskinten aikakausi. Tältä ajanjaksolta tarkempaan tarkasteluun otetaan vuodet 2007–2011.

Teoriaosuuden avaa katsaus aiempaan tutkimukseen. Tutkielma kiinnitetään näin laajempaan kehykseen, jossa todennäköisyyslaskentaa, sen oppimista ja opettamista, tarkastellaan muun muassa sen merkityksellisyyden ja tärkeyden näkökulmista. Tämän jälkeen käydään läpi Lukion opetussuunnitelman perusteita (LOPS, 2003; LOPS, 2015), joissa huomio keskitetään erityisesti matematiikan oppiaineen yleisiin tavoitteisiin sekä Tilastot ja todennäköisyys - kurssien tavoitteisiin sekä keskeisiin sisältöihin. Teoriaosuudessa käsittelen

(6)

4

myös matematiikan ylioppilaskoetta: sen rakennetta, sähköistä olomuotoa ja nykyään käytössä olevia laskinohjelmistoja.

Tutkielman kolmannessa osiossa esitetään tutkimuskysymykset sekä keskitytään tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien analysointiin. Analysointi tapahtuu tehtävissä tarvittujen ratkaisumenetelmien, osaamistasovaateiden ja pistejakaumien kautta. Osaamistasot on hahmotettu Bloomin taksonomian mukaisesti. Neljäs osio esittelee tutkimustulokset ja vastaa tutkimuskysymyksiin. Luku sisältää myös pohdintaa tulosten tiimoilta.

Viidennessä osiossa tarkastellaan tutkimuksen tulevaisuuden näkökulmia ja luotettavuutta. Lopuksi esitetään myös virikkeitä mahdolliselle jatkotutkimukselle.

(7)

5

2 Teoria

Teoriaosuuden alussa tutkimusaihe asetetaan laajempaan kehykseen luomalla katsaus aiempaan tutkimukseen, joka käsittelee todennäköisyyslaskennan osaamisen ja opettamisen tärkeyttä. Tämän jälkeen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan aihekokonaisuutta esitellään ja jäsennetään Lukion opetussuunnitelman perusteiden avulla. Tarkastelussa ovat opetussuunnitelmat vuosilta 2003 ja 2015 (LOPS, 2003; LOPS 2015). Teorialuvun viimeisessä osiossa kiteytetään matematiikan ylioppilaskokeen olemus; erityistä huomiota kiinnitetään sen rakenteessa tapahtuneisiin muutoksiin ja nykyiseen sähköiseen toteutustapaan.

2.1 Aiempaa tutkimusta

Todennäköisyyslaskennan oppikirjoille ja opetukselle tunnusomaista on konkreettisten, aidoista tosielämän tilanteista kumpuavien esimerkkien käyttö.

Tosielämäkonteksti saattaa olla omiaan myös lisäämään oppilaiden ja opiskelijoiden kiinnostusta kyseistä aihealuetta kohtaan. Toisaalta tutkimuksetkin osoittavat, että niin lapset kuin aikuisetkin tekevät säännöllisesti virheitä todennäköisyyslaskennan tehtävissä, joissa tarvitaan sekä suhteellista päättelykykyä että osuuksien hahmottamista (Bryant & Nunes, 2012).

Todennäköisyyden aihealue saatetaan siis samalla kokea myös haastavana ja ehkä jopa hiukan irrallisena muihin koulumatematiikan sisältöihin verrattuna.

Todennäköisyyksiin perustuva päättely voidaankin yleisesti ottaen nähdä kognitiivisesti mutkikkaana tehtävänä, jossa ratkaisijalla täytyy olla käsitys niin satunnaisuudesta, kaikkien mahdollisten tapahtumien joukosta, oikeiden suhteiden valitsemisesta kuin korrelaation käytöstäkin (Bryant & Nunes, 2012).

Tämä todennäköisyyslaskennan sisään kirjoitettu looginen ketju on omiaan kasvattamaan ratkaisijan loogisen päättelyn kykyä. Useimmat tämän päivän ja tulevaisuuden työnkuvista perustuvat suuriin tietomääriin ja niiden analysointiin.

Myös jokapäiväinen päätöksenteko ja kriittinen ajattelu vaativat taakseen logiikan, joka nojaa todennäköisyyslaskennan perusteisiin ja mittasuhteiden hahmottamiseen. Todennäköisyyslaskennan opetusta, kaikilla luokka-asteilla, onkin syytä motivoida ainakin kahdella toteamuksella: Opiskelija tarvitsee

(8)

6

todennäköisyyslaskentaa, jotta hän voi 1) kehittää (sattumaan ja satunnallisuuteen perustuvaa) kriittistä ajattelukykyään sekä 2) arvostaa todennäköisyyslaskennan sovellettavuutta jokapäiväiseen elämään. (Dvořáková, B., Giménez, J., Guzon, A. et al., 2017.)

Todennäköisyyslaskennan opetuksen, niin kuin opetuksen ylipäänsä, kulmakivinä voidaan nähdä opettajan substanssiosaaminen yhdistettynä pedagogisiin ratkaisuihin niin opetuspuheen kuin materiaalin käytönkin taholla.

Jokainen opettaja toteuttaa opetustaan oman pedagogisen käyttöteoriansa mukaisesti. Suomalaisessa lukiossa tämä tarkoittaa vapautta toteuttaa omaa opetustaan LOPSin kanssa linjassa olevalla, itse valitsemallaan opetustyylillä.

LOPSin (2015) mukaan lukioissa tuleekin käyttää ”monipuolisia opetus-, ohjaus- ja opiskelumenetelmiä”. Opetuksesta todetaan myös, että ”tutkimiseen, kokeilemiseen ja ongelmanratkaisuun perustuvat opiskelumenetelmät edistävät oppimaan oppimista ja kehittävät kriittistä ja luovaa ajattelua” (LOPS, 2015).

Tutkimuksellisuuden, kokeellisuuden ja ongelmanratkaisun asettamisesta keskiöön onkin saatu myös todennäköisyyslaskennan opettamisen viitekehyksessä kannustavia tutkimustuloksia. Pale (2016) tutki opiskelija- ja opettajakeskeisten opetustyylien vaikutusta lukio-opiskelijoiden asenteisiin ja oppimistuloksiin Keniassa. Viitekehyksenä oli nimenomaan todennäköisyyslaskennan opettaminen ja oppiminen.

Opettajakeskeiselle tyylille tunnusomaista oli perinteinen luennoiva opetustylli sekä opiskelijoiden työskentely itsenäisesti. Opiskelijakeskeisessä tyylissä korostettiin yhteistyötä, pienien ryhmien muodostamista sekä kannustavaa, auttavaa ja ohjaavaa asennetta niin kanssaopiskelijoilta kuin opettajaltakin.

Tutkimuksen teoriakehikossa näytettiin, kuinka opetustyylin valinnan ajatellaan vaikuttavan opiskelijan asenteisiin todennäköisyyslaskentaa kohtaan, mikä puolestaan toimii vaikuttimena todennäköisyyslaskennasta suoriutumiseen.

Tutkimuksessa saatiin selville, että oppilaskeskeinen opetustyyli oli tehokkaampi kuin opettajakeskeinen. Opiskelijat, jotka opiskelivat opiskelijakeskeisellä tyylillä, suhtautuivat todennäköisyyslaskentaan keskimäärin myönteisemmin sekä saavuttivat keksimäärin parempia oppimistuloksia. (Pale, 2016.)

(9)

7

Myös materiaali näyttelee opetustapahtumassa usein isohkoa roolia. Begolli, Dai, McGinn ja kumppanit (2021) ovat tutkineet todennäköisyyslaskennan ja suhteellisuutta koskevan päättelykyvyn yhteneväisyyttä sekä oppikirjojen esimerkkien merkitsevyyttä. Tutkimuksessa koehenkilöt (7.-luokkalaiset amerikkalaiset) jaettiin kontrolli- ja koeryhmään. Koeryhmän opettaja käytti oppitunneilla kirjaa, jota tutkijat olivat muokanneet. Muokatussa oppikirjassa oli perinteisten esimerkkien lisäksi myös virheellisesti toteutettuja esimerkkejä sekä vain osittain toteutettuja esimerkkejä, joiden uskottiin tarjoavan oppilaille varioidumpaa opetussisältöä. Muunneltu oppikirja sisälsi myös kehotuksia itseselitykseen, toisin sanoen se rohkaisi oppilasta myös sanallistamaan ratkaisunsa. Tutkimus osoitti, että varioiduilla esimerkkitehtävillä työskentely paransi todennäköisyyslaskennan taitoja erityisesti niillä oppilailla, joiden suhteellisuutta koskevan päättelykyvyn lähtötaso oli matala. (Begolli, K.N., Dai, T., McGinn, K.M. et al., 2021.) Voidaankin siis perustellusti todeta, että toisto ja variaatio muodostavat otollisen pohjan uuden oppimiselle.

Tämän tutkielman konteksti on matematiikan ylioppilaskoetehtävät todennäköisyyslaskennan ja tilastojen perspektiivistä. Edellä on hahmotettu todennäköisyyslaskennan osaamisen ja opettamisen tärkeyttä hyvin laajasta näkökulmasta. Vaikkakin lukiomatematiikan osaamisen ja opettamisen eräänä, opiskelijallekin erityisen tärkeänä, ilmentymänä voidaan nykyisellään nähdä menestyminen ylioppilaskokeissa, ei edellä hahmotettua isompaa kuvaa sovi unohtaa. Todennäköisyyslaskennan opetuksen ja oppimisen, ja myös koko matematiikan oppiaineen, merkitystä tulee tarkastella monesta näkökulmasta, joista vain yksi ilmenee ylioppilaskoesuorituksen muodossa.

2.2 Lukion opetussuunnitelman perusteet

Tutkielma keskittyy vuoden 2007 jälkeiseen lukiomatematiikkaan. Vuonna 2007 lukioissa toteutettiin kaksi vuotta aiemmin käyttöön otettuja Lukion opetussuunnitelman perusteita (LOPS, 2003). Uudempi laitos LOPSista julkaistiin vuonna 2015, ja se otettiin käyttöön vuonna 2016 (LOPS, 2015). Tässä osiossa perehdytään opetussuunnitelmatekstiin. Opetussuunnitelmia tarkastellaan matematiikan oppiaineen yhteisten yleisten tavoitteiden sekä myös erikseen pitkän ja lyhyen oppimäärän tahoilta.

(10)

8

2.2.1 Matematiikan oppiaineen yleinen kuvaus

Sekä vuoden 2003 että 2015 Lukion opetussuunnitelman perusteissa matematiikkaa käsittelevässä osiossa kirjoitetaan auki useita paikkaansa pitäviä seikkoja: ”Matematiikan asema aikamme kulttuurissa edellyttää valmiutta ymmärtää, hyödyntää ja tuottaa matemaattisesti esitettyä tietoa.” Molempien vuosikertojen teksteissä puhutaan myös opiskelijan tutustuttamisesta matemaattisen ajattelun malleihin sekä matematiikan perusideoihin ja rakenteisiin. Myös puhutun ja kirjoitetun matematiikan kielen sekä ongelmanratkaisun taidot tuodaan esille. Reilussa kymmenessä vuodessa matematiikan lukio-opetuksen ydinvirkkeet ovat pysyneet samanlaisina.

Vaikka lukiomatematiikka isojen sisältökokonaisuuksien puolesta ei ole muutoksille altista, on aiheen opetuksellinen lähestymiskulma saanut uusia värejä. Vuonna 2003 matematiikan roolia yhteiskunnan merkittävänä tietopohjana ei lukiotason opetussuunnitelmassa avattu vielä lainkaan.

Kymmenkunta vuotta myöhemmin matematiikan oppiaineen tehtävä ja tarkoitus kirjoitetaan auki monisanaisesti: ”Sillä on merkittävä tai ratkaiseva rooli muun muassa tieteissä, teknologiassa, taloudessa, yrittäjyydessä, terveydenhuollossa ja turvallisuudessa” (LOPS, 2015). Vuoden 2015 LOPS jatkaa oppiaineen yleistä esittelyä seuraavasti: ”Opetuksen lähtökohdat valitaan opiskelijoita kiinnostavista aiheista, ilmiöistä ja niihin liittyvistä ongelmista.” Opiskelija on vuoden 2015 opetussuunnitelmassa asetettu entistä selkeämmin opetuksen keskiöön, ja hänelle myös perustellaan entistä vahvemmin oppiaineen tarjoamat mahdollisuudet.

Myös ylioppilastutkinnon sähköistyminen näkyy vuoden 2015 Lukion opetussuunnitelman perusteissa. Matematiikan ylioppilaskirjoitukset toteutettiin sähköisinä ensimmäistä kertaa keväällä 2019. Tätä suurta toimintatavan muutosta pohjustetaan luonnollisesti myös vuoden 2015 LOPSissa. Oheinen katkelma avaa tietotekniikan roolia matematiikan oppiaineessa.

Opiskelija harjaannutetaan käyttämään tietokoneohjelmistoja matematiikan oppimisen ja tutkimisen sekä ongelmanratkaisun apuvälineinä. Matematiikan opiskelussa hyödynnetään muun muassa dynaamisen matematiikan ohjelmistoja, symbolisen laskennan ohjelmistoja, tilasto-ohjelmistoja,

(11)

9

taulukkolaskentaa, tekstinkäsittelyä sekä mahdollisuuksien mukaan digitaalisia tiedonlähteitä. Tärkeää on myös arvioida apuvälineiden hyödyllisyyttä ja käytön rajallisuutta. Edellä mainituista apuvälineistä käytetään jatkossa nimitystä tekniset apuvälineet. (LOPS, 2015: matematiikan oppiaineen yleinen kuvaus)

Oheisen LOPS-otteen käsitteistö kertoo vahvasti niin matematiikan oppiaineen kuin koko ylioppilastutkinnonkin sähköistymisestä. Vuonna 2016 voimaan tullutta opetussuunnitelmaa kirjoittaessa ylioppilastutkinnon kokonaisvaltaiseen sähköistämiseen tähtäävä projektihanke (Digabi; YLE, 2015) oli käynnistetty.

Matematiikan ylioppilaskoe oli määrä toteuttaa ensimmäistä kertaa täysin digitaalisena keväällä 2019 – viimeisenä sähköistyneenä oppiaineena.

Erilaisten tietokonetoimintojen, dynaamisten piirto-ohjelmien sekä symbolisen ja taulukkolaskennan ohjelmistojen mukaantulo matematiikan oppiaineeseen on ollut omiaan muokkaamaan niin aineen opetusta kuin sen arviointiakin. Aiempina vuosina aikaa ja ajatustyötä vaativat tehtävät voisi oikeaoppisella ohjelmistojen käytöllä ratkaista hyvinkin sukkelasti.

2.2.2 Tilastot ja todennäköisyyslaskenta pitkässä oppimäärässä

Vuoden 2003 Lukion opetussuunnitelman perusteissa Todennäköisyys ja tilastot -oppikokonaisuus oli kurssipaikalla MAA6. Uudemmassa LOPSissa (LOPS, 2015) kokonaisuus on siirtynyt kurssipaikalle MAA10. Kurssien tavoitteet ja keskeiset sisällöt ovat pysyneet suurimmalta osin samanlaisina.

Opetussuunnitelman uudistettu laitos (LOPS, 2015) listaa Tilastot ja todennäköisyys -kurssille yhden uuden tavoitteen: ”opiskelija [- -] osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla.”

Muut opetuksen tavoitteet ovat kahden eri vuosikymmenen opetussuunnitelmien perusteissa yhtenevät, eikä kurssin keskeisissä sisällöissäkään ole tapahtunut muutosta. Alla on esitetty Lukion opetussuunnitelman perusteiden (LOPS, 2015) Todennäköisyys ja tilastot -kurssille (MAA10) määräämät tavoitteet ja keskeiset sisällöt.

(12)

10 10. Todennäköisyys ja tilastot (MAA10)

Tavoitteet

Kurssin tavoitteena on, että opiskelija

• osaa havainnollistaa diskreettejä ja jatkuvia tilastollisia jakaumia sekä määrittää ja tulkita jakaumien tunnuslukuja

• perehtyy kombinatorisiin menetelmiin

• perehtyy todennäköisyyden käsitteeseen ja todennäköisyyksien laskusääntöihin

• ymmärtää diskreetin todennäköisyysjakauman käsitteen ja oppii määrittämään jakauman odotusarvon ja soveltamaan sitä

• perehtyy jatkuvan todennäköisyysjakauman käsitteeseen ja oppii soveltamaan normaalijakaumaa

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla.

Keskeiset sisällöt

• diskreetti ja jatkuva tilastollinen jakauma

• jakauman tunnusluvut

• klassinen ja tilastollinen todennäköisyys

• kombinatoriikka

• todennäköisyyksien laskusäännöt

• diskreetti ja jatkuva todennäköisyysjakauma

• diskreetin jakauman odotusarvo

• normaalijakauma LOPS, 2015

2.2.3 Tilastot ja todennäköisyyslaskenta lyhyessä oppimäärässä

Matematiikan lyhyessä oppimäärässä Tilastot ja todennäköisyys -kokonaisuus on sekä vuoden 2003 että 2015 Lukion opetussuunnitelman perusteissa kurssipaikalla MAB5. Vuoden 2015 Lukion opetussuunnitelman perusteista löytyy, edeltäjästään poiketen, lyhyen matematiikan syventävä Tilastot ja todennäköisyys II -kurssi. Tämä todennäköisyyslaskennan kurssin jatko-osa korvaa aiemmin kurssipaikalla MAB8 olleen Matemaattisia malleja III -kurssin, joka käsitteli muun muassa trigonometriaa ja vektoreita. Edellä mainitut osa- alueet poistuivat oppimäärästä uudistuksen myötä. Lyhyen matematiikan syventävän kurssin paikalla (MAB8) on siis entistä painokkaammin teknisiä apuvälineitä hyödyntävä Tilastot ja todennäköisyys II -kurssi.

(13)

11

Myös kurssien tavoitteet ja keskeiset sisällöt ovat vuosien saatossa muuttuneet.

Vuoden 2015 LOPSin Tilastot ja todennäköisyys I -kurssin tavoitteisiin on tullut uutena sisältökokonaisuutena regressiomallien tulkitseminen ja näihin pohjautuvien ennusteiden tekeminen. Uudeksi tavoitteeksi määrättiin myös teknisten apuvälineiden käytön hallitseminen, kun digitaalisessa muodossa olevaa dataa haetaan, käsitellään ja tutkitaan. Teknisiä apuvälineitä tulisi osata käyttää myös diskreettien jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyslaskennassa.

Lukion opetussuunnitelman perusteiden uudistuksessa MAB5-kurssin keskeiset sisällöt rikastuivat. LOPS 2015 listaa uudistetun kurssin keskeisiksi sisällöiksi myös regression ja korrelaation käsitteet, havainnon ja poikkeavan havainnon sekä ennusteiden tekemisen.

Vuoden 2015 LOPSiin lisätty, uusi Tilastot ja todennäköisyys II -kurssi jatkaa aihekokonaisuuden ensimmäisen kurssin teemoista; kurssin tavoitteissa mainitaankin, että opiskelija ”vahvistaa ja monipuolistaa tilastojen käsittelytaitojaan”. Kurssin keskeisiin sisältöihin kuuluvat normaalijakauma ja jakauman normittamisen käsite (kuuluivat vuoden 2003 LOPSissa jo kurssin MAB5 sisältöihin), toistokoe, binomijakauma sekä luottamusvälin käsite. Uusin sisältöihin vuoden 2015 LOPS liittää saumattomasti myös tekniset apuvälineet.

Kurssin tavoitteissa mainitaankin, että opiskelija ”osaa käyttää teknisiä apuvälineitä [- -] todennäköisyysjakauman odotusarvon ja keskihajonnan määrittämisessä, todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla sekä luottamusvälin laskemisessa” (LOPS, 2015). Alla on esitetty Lukion opetussuunnitelman perusteiden (LOPS, 2015) kursseille Tilastot ja todennäköisyys I ja II (MAB5 ja MAB8) määräämät tavoitteet sekä keskeiset sisällöt.

5. Tilastot ja todennäköisyys (MAB5)

Tavoitteet

• harjaantuu käsittelemään ja tulkitsemaan tilastollisia aineistoja

• arvioi erilaisia regressiomalleja mm. taulukkolaskentaohjelman avulla ja tekee ennusteita mallien avulla

• perehtyy todennäköisyyslaskennan perusteisiin

(14)

12

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa sekä diskreettien jakaumien tunnuslukujen määrittämisessä ja todennäköisyyslaskennassa.

• diskreettien tilastollisten jakaumien tunnuslukujen määrittäminen

• regression ja korrelaation käsitteet

• havainto ja poikkeava havainto

• ennusteiden tekeminen

• kombinatoriikka

• todennäköisyyden käsite

• todennäköisyyden laskulakien ja niitä havainnollistavien mallien käyttöä LOPS, 2015

8. Tilastot ja todennäköisyys II (MAB8)

Tavoitteet

• vahvistaa ja monipuolistaa tilastojen käsittelytaitojaan

• osaa määrittää tilastollisia tunnuslukuja ja todennäköisyyksiä jatkuvien jakaumien avulla hyödyntäen teknisiä apuvälineitä

• osaa käyttää teknisiä apuvälineitä digitaalisessa muodossa olevan datan hakemisessa, käsittelyssä ja tutkimisessa, todennäköisyysjakauman odotusarvon ja keskihajonnan määrittämisessä, todennäköisyyksien laskemisessa annetun jakauman ja parametrien avulla sekä

luottamusvälien laskemisessa.

• normaalijakauman ja jakauman normittamisen käsitteet

• toistokoe

• binomijakauma

• luottamusvälin käsite LOPS, 2015

2.2.4 Oppimäärien tavoitteiden ja keskeisten sisältöjen vertailua

Lukion opetussuunnitelman perusteiden (LOPS, 2015) Tilastot ja todennäköisyys -kurssien tavoite- ja sisältöluetteloista havaitaan selkeitä oppimääräkohtaisia eroavaisuuksia. Lyhyen matematiikan oppimäärän tavoitteistossa (MAB5 ja MAB8) on selkeä painotus tilastojen käsittelytaitojen hallintaan. Tavoitteissa on lisäksi selkeämmin esillä kurssin aihealueiden yhteys teknisiin apuvälineisiin.

Kyseiset lyhyen matematiikan kurssit sisältävät myös aihealueita, jotka jäävät

(15)

13

pitkän oppimäärän vastaavan kurssin keskeisen käsitteistön ulkopuolelle:

regression ja korrelaation käsitteet (MAB5), havainto ja poikkeava havainto (MAB5), ennusteiden tekeminen (MAB5) sekä luottamusvälin käsite (MAB8).

Vuoden 2015 LOPSin lyhyen ja pitkän oppimäärän Tilastot ja todennäköisyys - kurssien tavoitteita ja keskeisiä sisältöjä verrattaessa eräs havainto keskittyy pitkän matematiikan teoreettisempaan olemukseen, erotuksena lyhyen matematiikan välineellistävämpi tulokulma. Nämä oppimääräkohtaiset eroavaisuudet tosin tuodaan selkeästi esille jo oppimäärien yleiskuvauksissakin.

Saman oppiaineen eri oppimäärien tavoitteiden laadinnassa on käytetty selkeästi toisistaan eroavia painopisteitä. Lyhyen matematiikan oppimäärän opetuksen yleiseksi tavoitteeksi mainitaan muun muassa, että opiskelija ”osaa käyttää matematiikkaa jokapäiväisen elämän ja yhteiskunnallisen toiminnan apuvälineenä” ja ”sisäistää matematiikan merkityksen välineenä, jolla ilmiöitä voidaan kuvata, selittää ja mallintaa ja jota voidaan käyttää johtopäätösten tekemisessä”. Pitkän oppimäärän opetuksen yleisissä tavoitteissa taasen todetaan seuraavaa: ”opiskelija [- -] ymmärtää ja osaa käyttää matematiikan kieltä, kuten seuraamaan matemaattisen tiedon esittämistä, lukemaan matemaattista tekstiä, keskustelemaan matematiikasta, ja oppii arvostamaan esityksen täsmällisyyttä ja perustelujen selkeyttä.” Opetuksen tavoitteeksi todetaan myös, että ”opiskelija [- -] kehittää lausekkeiden käsittely-, päättely- ja ongelmanratkaisutaitojaan.” (LOPS, 2015; LOPS, 2003.)

2.3 Matematiikan ylioppilaskoe

Ylioppilastutkintoon sisältyy matematiikan koe (Lukiolaki 18§). Matematiikan ylioppilaskokeen voi suorittaa joko pitkässä tai lyhyessä oppimäärässä, riippumatta siitä kumman oppimäärän mukaan opiskelija on pääasiallisesti edennyt. Ylioppilaskokeiden laadinnassa nojaudutaan Lukion opetussuunnitelman perusteisiin. Matematiikan ylioppilaskokeen tarkoituksena on saada selville, onko opiskelija omaksunut lukion opetussuunnitelman perusteiden mukaiset tiedot ja taidot sekä saavuttanut lukion tavoitteiden mukaisen riittävän kypsyyden oppiaineen hallinnassa (Laki ylioppilastutkinnosta 1§).

(16)

14

2.3.1 Matematiikan ylioppilaskokeen rakenne

Keväästä 2007 syksyyn 2015 matematiikan, sekä pitkän että lyhyen oppimäärän, ylioppilaskokeissa oli 15 tehtävää, joista kokelas sai vastata enintään kymmeneen. Kunkin tehtävän maksimipistemäärä oli 6, lukuun ottamatta pitkän oppimäärän kokeen tehtäviä 14 ja 15. Näiden niin sanottujen jokeritehtävien maksimipistemäärä oli 9. Koko kokeen maksimipistemäärä oli siis lyhyessä oppimäärässä 60 ja pitkässä 66.

Keväästä 2016 eteenpäin matematiikan ylioppilaskoe on toteutettu kaksiosaisena: sekä lyhyessä että pitkässä oppimäärässä on A- ja B-osat. A- osassa tehtäviä on neljä, joista jokaiseen tulee vastata. Syksyyn 2018 asti vastaaminen toteutettiin erilliselle konseptipaperille, jonka palautettuaan kokelas sai käyttöönsä myös laskimen. Sähköisissä ylioppilaskirjoituksissa kokelas saa edistyneemmät laskinohjelmistot käyttöönsä palautettuaan A-osan. B-osa jakautuu edelleen kahteen erilliseen osioon: B1- ja B2-osioihin. B1-osiossa tehtäviä on yhteensä viisi, joista kolmeen vastataan, B2-osiossa tehtäviä on neljä ja vastata tulee kolmeen. Näin ollen kaksiosaisessakin matematiikan ylioppilaskokeessa kokelas saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät olivat kevääseen 2019 asti kuuden pisteen arvoisia, joten kokeen maksimipistemäärä oli molemmissa oppimäärissä 60.

Keväästä 2019 alkaen matematiikan ylioppilaskoe on toteutettu sähköisenä. Koe säilytti kaksiosaisen rakenteensa, mutta kaikki tehtävät muuttuivat 12 pisteen arvoisiksi. Näin ollen kokeen maksimipistemääräksi tuli 120. Pisteet annetaan matematiikan ylioppilaskokeessa kokonaislukuina.

2.3.2 Sähköinen matematiikan ylioppilaskoe

Matematiikan ylioppilaskoe järjestettiin ensimmäistä kertaa kokonaan sähköisenä keväällä 2019. Rissanen (2020) tarkastelee pro gradu - tutkielmassaan matematiikan ylioppilaskokeessa, sekä sen rakenteessa että tehtävätyypeissä, sähköistymisen mukanaan tuomia muutoksia. Rissasen (2020) havaitsemat, oletettavasti myös tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävätyyppejä koskevat muutokset on esitetty alla alkuperäisessä muodossaan.

(17)

15

• Tehtäviin voi luoda erilaisia vastauksia, ja niiden tuottamiseen kokelas voi käyttää itse valitsemaansa apuohjelmaa. Jos vastaus on oikein ja perusteltu, niin se tuottaa täydet pisteet riippumatta käytetystä vastaustavasta.

• Tehtävien sisällöt eivät ole enää pelkkää mekaanista matematiikan laskemista. Kokonaisuuksien ja ilmiöiden ymmärtäminen korostuu.

• Pitkän matematiikan koetehtävät ovat tarkoituksella haastavia. Tällä halutaan antaa enemmän liikkumavaraa arvosteluasteikon yläpäähän, jolloin myös taitavimmilla kokelailla on mahdollisuus virheisiin.

• Sanallisten selitysten merkitys nousee. Jos vastaus on hyvin perusteltu, niin sanallinen selitys voi tuoda yhtä paljon pisteitä kuin matemaattinen todistus.

Vastauksen eri vaiheita voi ja olisi suotavaa kommentoida.

Rissanen, 2020

Matematiikan ylioppilaskokeiden tehtävätyyppien luonteessa on siis tapahtunut muutosta. Muutoksen voidaan katsoa johtuvan muun muassa ylioppilaskirjoitusten sähköistymisestä ja sen mukanaan tuomista teknisistä apuvälineistä. Rissasen (2020) toteaa tehtävien haastekertoimien sekä kokeen maksimipistemäärän kasvun olleen erityisesti arvioinnin näkökulmasta tehty muutos. Muutaman pisteen menetys huolimattomuusvirheeseen ei välttämättä enää kostaudu alempana arvosanana (ks. YTL, ”Pisterajat”). Tässä tutkielmassa on tarkoitus saada selville, miten edellä kuvattu muutos heijastuu tietyn aihealueen tehtävien ratkaisumenetelmiin, osaamistasovaateisiin ja pistejakaumiin.

2.3.3 Ohjelmistoista

Tutkielma tarkastelee matematiikan ylioppilaskokeita vuodesta 2007 eteenpäin.

Vuosina 2007–2011 kokelaiden apuvälineinä olivat MAOL-taulukkokirja ja perinteinen numeerinen laskin. Vuosina 2012–2018 kokelailla oli käytössään myös niin sanottu symbolinen laskin, jolla on mahdollista käsitellä muun muassa matemaattisia lausekkeita ja ratkaista yhtälöitä. Vuodesta 2016 alkaen koe on toteutettu kaksiosaisena niin, että A-osaan vastataan ilman laskimen apua.

Viimeisin laskimiin liittyvä uudistus tapahtui keväällä 2019, kun matematiikan ylioppilaskirjoitukset järjestettiin ensimmäistä kertaa kokonaan digitaalisina.

(18)

16

Tuolloin kokeessa oli jo aiemmilta vuosilta tuttu kaksiosainen rakenne, mutta erotuksena edellisiin vuosiin myös A-osassa oli käytössä niin sanottu numeerinen laskin. Laajempi ohjelmistotarjonta aukeaa, kun kokelas on palauttanut A-osan.

Tässä osiossa tehdään katsaus matematiikan ylioppilaskokeissa nykyään käytössä oleviin apuvälineisiin. Luvussa esitellään MAOL-taulukot, TI-Nspire- laskin, SpeedCruch-laskin, GeoGebra sekä LibreOffice Calc. Kutakin apuohjelmistoa tarkastellaan erityisesti tilastojen ja todennäköisyyslaskennan näkökentästä käsin.

Ylioppilastutkintolautakunta linjasi vuonna 2019, että paperisten taulukkokirjojen ja erillisten laskinten käyttö on sallittua syksyyn 2020 saakka. Tämän jälkeen kaikki tarvittava, niin taulukot kuin laskimetkin, ovat kokelaan käytössä vain digitaalisessa muodossa. (YTL, ”Matematiikan digitaalisen kokeen määräykset).

MAOL-taulukot

MAOLista Tilastot ja todennäköisyys -kursseille apuja löytyy matematiikan osion alaluvuista Todennäköisyyslaskenta ja tilastotiede sekä Numeerisia taulukoita.

Edellä mainitusta osiosta löytyy muun muassa kaavat ja selitykset tilastollisten jakaumien tunnusluvuille, tietoa korrelaation tulkinnasta, diskreetteihin ja jatkuviin todennäköisyysjakaumiin liittyviä kaavoja, kombinatoriikkaoppia sekä keskeisimmät tiedot luottamusväleistä. Numeeriset taulukot -alaluku esittelee normaalijakauman sekä sen tiheys- ja kertymäfunktiot. MAOLin digitalukot löytyy myös sähköisen ylioppilaskokeen käyttöjärjestelmästä. (Otavan Opepalvelu.) Texas Instruments TI-Nspire CAS

TI-Nspire on symbolinen laskin. Ohjelmaa on pystynyt käyttämään tavanomaisena pöytälaskimena, mutta nykysäädösten mukaisesti TI-Nspire- laskinta käytetään matematiikan ylioppilaskokeissa vain digitaalisena. Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan osalta laskin tarjoaa Listat ja taulukot - sekä Data ja Tilastot -sovellukset. Kenties käytetyimmät todennäköisyyslaskennan apuvälineet löytyvät kuitenkin TI-Nspiren työkaluvarastosta: kertoma, permutaatiot ja kombinaatiot.

(19)

17 SpeedCrunch

SpeedCrunch-laskin on käytössä myös matematiikan ylioppilaskokeen A- osiossa. Kyseessä on perinteisempi laskin, joka taipuu myös todennäköisyyslaskennan tueksi. SpeedCrunch tarjoaa lukuisia näppäriä komentoja. Todennäköisyyslaskennassa on hyötyä muun muassa komennoista average (laskee syötettyjen lukujen keskiarvon), median (mediaani), stddev (keskihajonta), binompmf (binomitodennäköisyys), ncr (kombinaatiot) ja npr (permutaatiot).

Kuva 1: SpeedCrunchin käyttöä

GeoGebra

GeoGebra on dynaaminen matematiikkaohjelmisto, joka sisältää muun muassa piirtoalueen (2D ja 3D), CAS-laskimen sekä taulukko- ja todennäköisyyslaskentaan sopivat alustat. GeoGebran Todennäköisyyslaskurin avulla pystytään muun muassa tutkimaan binomi- ja normaalijakaumiin liittyviä todennäköisyyksiä; opiskelijan tehtäväksi jää haluttujen parametrien syöttäminen ohjelmaan ja ratkaisun tulkitseminen. Lyhyen matematiikan puolella myös luottamusväleihin liittyvissä tehtävissä voidaan käyttää GeoGebran Todennäköisyyslaskuria. Sekä otoskeskiarvon että suhteellisen osuuden jakaumille löytyy omat komennot.

GeoGebran Taulukkolaskenta-alustalla voidaan muun muassa tehdä frekvenssitaulukoita ja pylväskuvaajia, käsitellä näppärästi niin luokiteltua kuin

(20)

18

luokittelematontakin dataa sekä määrittää aineiston tilastollisia tunnuslukuja.

GeoGebran avulla pystytään myös määrittämään korrelaatiokerroin ja regressiosuoran yhtälö.

Kuva 2: Todennäköisyyslaskurin käyttöä GeoGebra 6:lla

LibreOffice Calc

LibreOffice Calc on taulukkolaskentaohjelma, jonka erityisenä vahvuutena voidaan nähdä visuaalisesti näyttävien diagrammien tekeminen ja isomman datamäärän käsitteleminen. Ohjelmistolla voidaan muun muassa etsiä aineiston pienin ja suurin luku sekä laskea keski- ja hajontalukuja. Ohjelmalla voidaan luoda muun muassa ympyrädiagrammeja ja kertymäfunktioiden kuvaajia. Libre Office Calcista löytyy taulukkolaskennassa hyödynnettäviä kaavoja ja datan analysointiin tarvittavia työkaluja.

(21)

19

Kuva 3: LibreOffice Calcin käyttöä tehtävässä k2021/6

Kuva 4: LibreOffice Calcin käyttöä tehtävässä k2021/9

(22)

20

3 Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien analysointi

Tutkielman keskeisenä viitepisteenä on vuosina 2007–2021 pidettyjen, sekä pitkän että lyhyen oppimäärän, matematiikan ylioppilaskokeiden (Kivelä; YLE, Abitreenit) tehtävien analysointi sekä vuosien saatossa tapahtuneen muutoksen jäsentäminen. Osion ensimmäisessä alaluvussa kartoitetaan tilastojen ja todennäköisyyslaskennan osaamista mittaavissa ylioppilaskoetehtävissä tarvittuja ratkaisumenetelmiä. Toisessa alaluvussa selvitetään ylioppilaskoetehtävissä vaadittuja Bloomin taksonomian mukaisia osaamisen tasoja. Lopuksi käsitellään myös tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien pistejakaumia.

Kaikki vuosina 2007 (kevät) – 2021 (kevät) pidetyt pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeet on käyty tehtävä tehtävältä läpi. Tarkempaan analyysiin on poimittu todennäköisyyslaskennan ja tilasto-osaamisen taitoja mittaavat tehtävät.

Tarkastelu on jaettu kolmeen eri aikajänteeseen: 2007–2011, 2012–2019 ja 2019–2021. Vuosina 2007–2011 matematiikan ylioppilaskokeet toteutettiin paperikokeina, eikä kokelailla ollut käytössä symbolisia laskimia. Keväällä 2012 Ylioppilastutkintolautakunta salli ensimmäistä kertaa matematiikan ylioppilaskokeissa symbolisten laskinten käytön. Tämä vähensi kokelaiden mekaanista laskentatyötä ja oli kenties omiaan muuttamaan myös tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien luonnetta. Tutkielman toiseksi tarkasteltavaksi aikajänteeksi valikoituikin vuodet 2012–2018. Matematiikan ylioppilaskoe siirtyi kokonaan nykyiseen digitaaliseen muotoonsa keväällä 2019.

Näin ollen viimeinen analysoitavien tehtävien ajanjakso muodostuu vuosista 2019–2021.

Vuosien 2007–2011 pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa (n = 10) esiintyi 10 tilastojen ja todennäköisyyslaskennan osaamista vaativaa tehtävää. Vuosien 2012–2018 kokeissa (n = 14) vastaavia tehtäviä esiintyi 17 ja vuosien 2019–2021 kokeissa (n = 5) 7 kappaletta. Lyhyessä oppimäärässä vastaavat luvut olivat seuraavat: vuosien 2007–2011 kokeissa oli 17, vuosien 2012–2018 kokeissa 27

(23)

21

ja vuosien 2019–2021 kokeissa 14 tilastojen ja todennäköisyyslaskennan osaamista vaativaa tehtävää. (Ks. Liitteet.)

Tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien analysoinnille esitetään seuraavat tutkimuskysymykset. Kutakin kysymystä pohditaan sekä pitkän että lyhyen oppimäärän taholta.

1. Mitä ratkaisumenetelmiä tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävissä on tarvittu tarkasteltavilla aikajänteillä? Onko ratkaisumenetelmien yleisyydessä tapahtunut muutosta?

2. Millaista osaamistasoa tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävät ovat testanneet tarkasteltavilla aikajänteillä? Onko ylioppilaskoetehtävissä tapahtunut tässä suhteessa muutosta?

3. Miten tilasto- ja todennäköisyyslaskennan taitoja mittaavien tehtävien pistejakaumat ovat mahdollisesti muuttuneet tarkasteltavilla aikajänteillä?

3.1 Ratkaisumenetelmät

Tässä osiossa vuosien 2007–2021 tilastojen ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävät luokitellaan tehtävässä tarvittujen ratkaisumenetelmien mukaisiin ryhmiin. Kategorioiden luomisessa on hyödynnetty Lukion opetussuunnitelman perusteita (LOPS 2003; LOPS 2015; ks. myös Vesanen, 2016).

3.1.1 Pitkä oppimäärä

Taulukossa 1 on luokiteltuna pitkän oppimäärän kokeessa esiintyneet tilasto- ja todennäköisyyslaskennan taitoja mittaavat tehtävät niissä käytettyjen ratkaisumenetelmien osalta. Kukin tehtävä on merkitty taulukkoon kaikkien kyseisessä tehtävässä tarvittujen menetelmien kohdalle.

(24)

22

Menetelmäluokittelu

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021

Tilastot ja todennäköisyys -kurssin aihealueista sisältävät tehtävät (MAA6 / MAA10) menetelmä vuosien 2007–2011

tehtävät

vuosien 2012–2018 tehtävät

vuosien 2019–2021 tehtävät Binomitodennäköisyys S2010/6 K2012/6, S2012/8,

K2013/6, S2015/6

K2019/6, S2020/7 Ehdollinen

todennäköisyys

S2008/8, K2009/6 - -

Geometrinen todennäköisyys

- - K2019/6

Kertolaskusääntö S2007/8, K2008/5, K2009/6, K2010/6, S2011/8

K2012/6, S2012/8, K2015/*14, S2016/8, S2017/7

S2019/7, S2020/7, K2020/7, K2021/7

Kombinaatiot K2011/6 K2018/7, S2018/12 K2020/7

Komplementtisääntö S2007/8, K2008/5 K2012/6, S2012/8, K2013/6

S2019/7, S2020/7, K2021/7

Muiden kurssien sisältö K2007/8, S2012/*14, S2017/7, S2017/9

-

Normaalijakauma - S2014/7, K2015/6 -

Odotusarvo S2008/8, S2009/7, S2011/8

K2012/6, S2012/8, K2014/7, S2015/6, K2016/5

K2021/7

Permutaatiot K2008/5 - -

Tilastot,

taulukkolaskenta, simulaatio

- K2017/11 K2020/12, K2021/8

Yhteenlaskusääntö S2008/8, K2009/6, K2010/6, S2011/8,

K2013/6, S2015/6, S2016/8

S2019/7, S2020/7, K2021/7

Yhtälönratkaisu - S2013/8, K2015/*14,

S2015/6

S2020/7

Taulukko 1: Menetelmäluokittelu, Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021

Kuvaajassa 1 on havainnollistettu kunkin ratkaisumenetelmän esiintyvyyden suhteellista osuutta tarkasteltavana ajanjaksona. Tarkastelu on tehty erikseen aikajänteille 2007–2011, 2012–2018 ja 2019–2021.

(25)

23

Kuvaaja 1: Pitkä matematiikka - Menetelmien käyttö ylioppilaskokeissa tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä

Vuosina 2007–2011 yleisimmin tarvitut ratkaisumenetelmät ovat kertolaskusääntö (tarvittiin 25 % tilasto- ja todennäköisyysaiheisista tehtävistä), yhteenlaskusääntö (20 %), odotusarvo (15 %), ehdollinen todennäköisyys (10 %) ja komplementtisääntö (10 %). Tarkasteluvälillä 2012–2018 eniten kysytyt ratkaisumenetelmät ovat kertolaskusääntö (16 %), odotusarvo (16 %), binomitodennäköisyys (13 %) sekä komplementtisääntö, muiden kurssien sisällöt, yhteenlaskusääntö ja yhtälönratkaisu, joita kutakin tarvitaan 10 % analysoiduista tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä. Viimeisellä tarkasteluvälillä, vuosina 2019–2021, kysytyimmät ratkaisumenetelmät ovat kertolaskusääntö (22 %), komplementtisääntö (17 %), yhteenlaskusääntö (17 %), binomitodennäköisyys (11 %) sekä tilasto-, taulukkolaskenta- tai simulaatio- osaaminen (11 %).

Kuvaajasta 1 huomataan, että ratkaisumenetelmiä on tarvittu varsin laajasti kaikkina tarkasteltavina ajanjaksoina. Ratkaisumenetelmistä korostuvat erityisesti niin sanotut todennäköisyyden laskusäännöt, eli kertolasku-, komplementti- ja yhteenlaskusääntö, sekä odotusarvo. Näitä voidaankin

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

Pitkä matematiikka

Menetelmien käyttö ylioppilaskokeissa tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä

2007-2011 2012-2018 2019-2021

(26)

24

perustellusti pitää lukion todennäköisyyslaskennan keskeisimpinä menetelminä.

Erityistä huomiota kiinnittää muutamien ratkaisumenetelmien esiintyminen vain tietyllä ajanjaksolla: ehdollinen todennäköisyys (tarvittiin 25 % tehtävistä) ja permutaatiot (5 %) esiintyvät tehtävissä vain vuosina 2007–2011, normaalijakauma (6 %) vain vuosina 2012–2018 sekä geometrinen todennäköisyys (6 %) vain vuosina 2019–2021. Huomionarvoista on myös todeta, että tilasto-, taulukkolaskenta- tai simulaatio-osaamista peräänkuuluttavien tehtävien osuus on kasvanut vuosien saatossa huomattavasti: vuosina 2007–2011 kyseisiä taitoja ei tarvittu yhdessäkään tehtävässä, vuosina 2012–2018 kyseisiä taitoja tarvitaan 3 % ja vuosina 2019–

2021 11 % tilasto- ja todennäköisyyslaskennan aihealueen tehtävistä. Tässä keskeisimpänä selittäjänä lienee matematiikan ylioppilaskokeen sähköistymisen mukanaan tuomat, tehtävätyyppeihinkin vaikuttaneet, muutokset.

3.1.2 Lyhyt oppimäärä

Taulukossa 2 on luokiteltu tilasto- ja todennäköisyyslaskennan taitoja mittaavat lyhyen oppimäärän kokeessa esiintyneet tehtävät niissä käytettyjen ratkaisumenetelmien osalta. Kukin tehtävä on merkitty taulukkoon kaikkien kyseisessä tehtävässä käytettyjen menetelmien kohdalle.

Menetelmäluokittelu

Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021

Tilastot ja todennäköisyys -kurssin aihealueista sisältävät tehtävät (MAB5 / MAB8) menetelmä vuosien 2007–2011

tehtävät

vuosien 2019–2021 tehtävät Diagrammin / taulukon

laadinta

k2009/4 k2013/10, k2018/7 k2019/10, k2021/6 Kertolaskusääntö s2007/11, s2007/15A,

k2008/8, k2009/11, s2009/9, k2010/8, s2010/8

k2014/9, s2016/7, s2016/10, k2017/4, s2017/7

s2020/4.1, k2021/7

Kombinaatiot - s2012/8 k2021/7

Komplementtisääntö s2007/11, s2007/15A, k2008/8, k2009/11, s2009/9, k2010/8, k2011/8

s2016/10, s2017/11, k2018/9.2

k2019/9.2

Korrelaatio ja regressio - - s2020/12

Luottamusvälit s2008/15A - -

Normaalijakauma k2007/15, k2008/15A, s2009/9

k2012/14, k2013/12, k2017/8, s2018/7

-

Permutaatiot - k2016/7 -

(27)

25

Taulukkolaskenta - - s2019/9.2, s2019/10,

k2020/6, s2020/9, k2021/9

Tilastolliset tunnusluvut

k2011/7 s2013/11, s2014/8, k2015/13, k2017/2a, k2018/12, s2018/12

k2021/11

Toistokoe s2007/15A,

k2008/15A

k2015/10, s2017/7, k2018/9.2, s2018/9.2

k2019/9.2, k2020/9.2 Tuloperiaate k2007/10, s2011/9,

k2011/8

s2012/8, k2015/10 - Yhteenlaskusääntö s2007/15A, k2008/8,

k2010/8, s2010/8, k2011/8

k2016/13, k2018/7, k2018/9.2

s2020/4.1

Yhtälönratkaisu k2007/15 s2013/8, k2014/12 -

Taulukko 2: Menetelmäluokittelu, Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021

Kuvaajalla 2 on havainnollistettu kunkin ratkaisumenetelmän esiintyvyyden suhteellista osuutta tarkasteltavana ajanjaksona. Tarkastelu on tehty erikseen aikajänteille 2007–2011, 2012–2018 ja 2019–2021.

Kuvaaja 2: Lyhyt matematiikka - Menetelmien käyttö ylioppilaskokeissa tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä

Vuosina 2007–2011 yleisimmin tarvitut ratkaisumenetelmät ovat kertolaskusääntö (tarvittiin 23 % tilasto- ja todennäköisyysaiheisista tehtävistä), komplementtisääntö (23 %), yhteenlaskusääntö (16 %), normaalijakauma (10 %) ja tuloperiaate (10 %). Vuosien 2012–2018 kysytyimmät ratkaisumenetelmät ovat tilastolliset tunnusluvut (18 %), kertolaskusääntö (15 %), normaalijakauma (12 %)

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

Lyhyt matematiikka

Menetelmien käyttö ylioppilaskokeissa tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä

2007-2011 2012-2018 2019-2021

(28)

26

ja toistokoe (12 %). Vuosina 2019–2021 käytetyimmät ratkaisumenetelmät tehtävissä ovat taulukkolaskenta (31 %), diagrammin laadinta (13 %), kertolaskusääntö (13 %) ja toistokoe (13 %).

Kuvaajasta 2 huomataan, että tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ratkaisumenetelmiä on tarvittu varsin laajasti. Tosin luottamusväleistä (tarvittiin 3

% tilasto- ja todennäköisyysaiheisista tehtävistä) kysytään vain vuosina 2007–

2011. Vastaavasti permutaatioita (3 %) tarvitaan ratkaisumenetelmänä vain vuosina 2012–2018. Korrelaatiota ja regressiota (6 %) sekä taulukkolaskentaa (31 %) hyödynnetään ratkaisumenetelminä vain vuosina 2019–2021. Erityistä huomiota kuvaajassa kiinnittää taulukkolaskennan ratkaisumenetelmän voimakas esiintulo sähköisen matematiikan ylioppilaskokeen aikakautena. Liki kolmannes sähköisen ylioppilaskokeen ajanjakson tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä peräänkuuluttaa juuri taulukkolaskennan osaamista.

3.2 Osaamisen tasot

Benjamin Bloom kollegoineen kehitti apuvälineen osaamisen tason määrittämiseen. Niin kutsuttu Bloomin taksonomia julkaistiin vuonna 1956.

Alkuperäinen luokittelukehys sisältää kuusi pääkategoriaa osaamisen tason arviointiin: tieto (knowledge), ymmärrys (comprehension), sovellus (application), analyysi (analysis), synteesi (synthesis) ja arviointi (evaluation). Kaikki tasot,

”sovellus”-luokkaa lukuun ottamatta, sisältävät useita alakohtia osaamisen tarkempaa erittelyä varten. Kategoriat ovat jäsentyneet hierarkkisesti:

yksinkertaisesta monimutkaisempaan ja konkreettisemmasta abstraktimpaan.

Bloomin kehittämää luokittelutapaa on sittemmin uudistettu. Krathwohl siirtyi aikaisemmasta yhden ulottuvuuden tarkastelusta kahden erillisen ulottuvuuden malliin. Hän erotti tarkastelussaan toisistaan substantiivin (noun) ja verbin (verb), ja loi näin ollen tarkastelukehykset tiedon ja kognitiivisten prosessien ulottuvuuksille (knowledge dimension, cognitive process dimesion). Tässä täsmennetyssä taksonomiassa tiedon ulottuvuus pitää sisällään yksinomaan tietoa asioista. Alaluokkina ovat faktuaalinen (tosiasioita koskeva), konseptuaalinen (määritelmiä koskeva), proseduraalinen (tekemisen tapaa koskeva) ja metakognitiivinen (itse tietoisuutta koskeva) tieto. (Krathwohl, 2002.)

(29)

27

Tässä tutkielmassa tehtäviä kategorisoidaan kognitiivisten prosessien näkökulmasta. Kognitiivisten prosessien ulottuvuudessa korostuvat aktiiviset verbit. Krathwohl muuttikin taksonomian luokkien nimet verbimuotoisiksi.

Luokkien lukumäärä säilyi samana, ja myös ajatus niiden hierarkkisesta järjestyksestä pysyi muuttumattomana. Krathwohlin täsmennetty näkemys Bloomin taksonomiasta on esitetty alla olevassa taulukossa 3. (Krathwohl, 2002.)

1. Muistaa – tiedon hakeminen pitkäkestoisesta muistista, tunnistaminen ja muistiin palauttaminen

2. Ymmärtää – ohjeistuksen merkityksen määrittäminen, tulkitseminen, luokitteleminen, johtopäätösten tekeminen, vertaileminen ja selittäminen 3. Soveltaa – tietyn menettelytavan mukaan toimiminen, suunnitelman

toteuttaminen

4. Analysoida – tiedon pilkkominen, jäsentäminen ja yhdistäminen, yhteyksien löytäminen

5. Arvioida – kriteereihin ja standardeihin nojautuva arvioiden tekeminen, kriittinen tarkastelu

6. Luoda – osatekijöiden yhdistäminen, kokonaisuuden suunnittelu ja luominen

Taulukko 3: Krathwohlin täsmentämä Bloomin taksonomia

Tutkielmassa seuraavaksi esitettävä analyysi perustuu yllä olevaan Krathwohlin täsmentämään Bloomin taksonomiaan. Kukin ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävä on sijoitettu yhteen Bloomin taksonomian luokkaan; luokka on valittu korkeimman tehtävässä vaaditun taidon mukaan.

Luokkaan ”Muistaa” olisi sijoitettu yksinkertaiset, niin sanotut kaavaan sijoittamista tai puhdasta mekaanista laskemista mittaavat tehtävät. Näitä tehtäviä ei kuitenkaan esiintynyt kummankaan oppimäärän analysoitavissa tehtävissä. Luokkaan ”Ymmärtää” on sijoitettu tehtävät, jotka ratkeavat kaavaan sijoittamalla, mutta ratkaisuun tarvittiin myös tehtävänannon tilanteen hieman tarkempaa määrittämistä ja tulkitsemista. Luokkaan ”Soveltaa” sijoitettiin suhteellisen yksinkertaisia lausekkeita ja suoraviivaista ratkaisemista vaativat tehtävät. Kyseisten lausekkeiden muodostaminen vaatii kuitenkin astetta enemmän omia havaintoja ja soveltamista kuin ”Ymmärtää”-luokassa. Luokkaan

”Analysoida” sijoitettiin tehtävät, joissa vaaditaan tehtävänannon huolellisempaa

(30)

28

tarkastelua. Näissä tehtävissä saattaa myös korostua tehtävänannon sanallisuus ja useampien erilaisten menetelmien hyödyntäminen. ”Arvioida”-luokkaan sijoitettiin niin laskennallisesti kuin analysoinninkin määrän suhteen selkeästi haastavammat tehtävät. Osassa tehtävistä pyydetään suoraan arvioimaan esitettyä tietoa. Tehtävissä tulee esille myös tietojen laajempi yhdistäminen sekä uuden esitetyn aineiston tai tiedon jäsentäminen ja ymmärtäminen. Tehtävissä saatetaan myös selkeästi vaatia tietoa myös muilta kursseilta. Bloomin taksonomian korkeimmalle ”Luoda”-tasolle sijoittuivat tehtävät, joissa kirjaimellisesti pyydetään luomaan tai simuloimaan jotain uutta. Näissä tehtävissä peräänkuulutetaan erityisesti tilastojen, taulukkolaskennan ja jopa ohjelmoinnin taitoja. (Ks. Glumoff & Paukkeri, 2017.)

3.2.1 Pitkä oppimäärä

Taulukkoon 4 on eritelty Bloomin osaamistasoluokituksen mukaisesti kaikki aikavälillä 2007–2021 esiintyneet pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävät, joiden ratkaisemiseen tarvitaan Tilastot ja todennäköisyys -kurssien tietoja.

Osaamistasoluokittelu

Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021

Tilastot ja todennäköisyys -kurssin aihealueista sisältävät tehtävät (MAA6 / MAA10) taso vuosien 2007–2011

tehtävät

1. Muistaa - - -

2. Ymmärtää - - -

3. Soveltaa S2007/8, K2008/5, S2008/8, K2010/6, S2010/6, K2011/6

K2012/6, S2012/8, K2013/6, S2013/8, K2014/7, S2015/6, K2016/5

-

4. Analysoida K2007/8, K2009/6, S2009/7, S2011/8

S2014/7, K2015/6, S2016/8, K2018/7

K2019/6, S2019/7, K2020/7, S2020/7, K2021/7

5. Arvioida - S2012/*14, K2015/*14,

K2017/11, S2017/7, S2017/9, S2018/12

-

6. Luoda - - K2020/12, K2021/8

Taulukko 4: Osaamistasoluokittelu - Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021

Kuvaajalla 3 on nähtävöitetty tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien sijoittumista Bloomin osaamistasoa tarkastelevalla asteikolla. Pylvään korkeus kertoo, kuinka monta prosenttia kyseisen aikajänteen tilastojen ja

(31)

29

todennäköisyyslaskennan tehtävistä sijoittuu kyseiselle osaamisen tasolle.

Tarkastelu on tehty erikseen aikajänteille 2007–2011, 2012–2019 ja 2019–2021.

Kuvaaja 3: Pitkä matematiikka - Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien painottuminen Bloomin taksonomian tasoille

Vuosien 2007–2011 pitkän matematiikan tilastoihin ja todennäköisyyksiin liittyvistä ylioppilaskoetehtävistä tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää”, ”Arvioida” ja

”Luoda” ei sijoittunut lainkaan tehtäviä. Tasoille ”Soveltaa” ja ”Analysoida”

sijoittuu tässä järjestyksessä 60 % ja 40 % analysoiduista tehtävistä.

Tarkasteluajankohtana 2012–2018 tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää” ja ”Luoda” ei sijoittunut yhtään tehtävää. Tasolle ”Soveltaa” sijoittuu 41 %, tasolle ”Analysoida”

24 % ja tasolle ”Arvioida” 35 % tarkastelluista tehtävistä. Viimeisellä tarkastelujänteellä 2019–2021 tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää”, ”Soveltaa” ja

”Arvioida” ei sijoittunut yhtään tehtävää. Sen sijaan tasolle ”Analysoida” sijoittuu 71 % ja tasolle ”Luoda” 29 % kyseisen aikavälin tehtävistä.

Kun kullekin Bloomin taksonomian tasolle annetaan tason vaativuutta kuvaava numeroarvo (”Muistaa” = 1, ”Ymmärtää” = 2, ”Soveltaa” = 3, ”Analysoida” = 4,

”Arvioida” = 5 ja ”Luoda” = 6), saadaan aikajänteille seuraavat osaamistasokeskiarvot: vuosien 2007–-2011 keskiarvo on 3,40, vuosien 2012–

2018 keskiarvo on 3,94 ja vuosien 2019–2021 keskiarvo on 4,58.

0%

10%

20%

30%

40%

50%

60%

70%

80%

Muistaa Ymmärtää Soveltaa Analysoida Arvioida Luoda

Pitkä matematiikka

Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien painottuminen Bloomin taksonomian tasoille

2007-2011 2012-2018 2019-2021

(32)

30

Esimerkkitehtävät

Tässä osiossa käydään läpi pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa esiintyneitä tilasto- ja todennäköisyysaiheisia tehtäviä, joihin kuhunkin on laadittu myös ratkaisuehdotus. Tehtävät on valittu siten, että jokainen Bloomin taksonomian osaamistaso tulee edustetuksi. Matematiikan pitkässä oppimäärässä tehtävät sijoittuivat tasoille ”Soveltaa”, ”Analysoida”, ”Arvioida” ja ”Luoda”, joilta kultakin on valittu yksi tehtävä edustamaan kyseistä luokkaa. Kunkin tehtävän kohdalla on kerrottu Bloomin taksonomian luokitus sekä esitetty perusteet, joiden mukaan kyseinen tehtävä on kategorisoitu juuri tälle tasolle. Tehtäviä valittaessa on kiinnitetty huomiota myös siihen, että mahdollisimman moni ratkaisumenetelmä tulee esille. Tehtävän ratkaisussa esiintyneet menetelmät on korostettu lihavoinnilla.

Tehtävä: S2008/8

Laatikossa on kaksi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi palloa. Olkoon satunnaismuuttuja X nostossa saatujen mustien pallojen lukumäärä. Laske todennäköisyydet P(X = k), k = 0, 1, 2. Määritä odotusarvo E(X).

Bloomin taksonomian taso: Soveltaa

Tehtävässä tulee määrittää laatikosta nostettujen mustien pallojen lukumäärän odotusarvo. Tätä ennen pitää laskea todennäköisyydet erilaisille nostovariaatioille. Tässä ”Soveltaa”-tason tehtävässä tulee hallita useampi todennäköisyyslaskennan laskukaava ja -menetelmä kuin ”Ymmärtää”-tasolla.

Kuitenkin kyseessä on hyvin mutkaton, ”oppikirjamainen”, tehtävä, joka ratkeaa hyvin suoraviivaisella ratkaisutaktiikalla.

Ratkaisu

Kyseessä on ehdollinen todennäköisyys, sillä pallojen lukumäärä laatikossa muuttuu nostojen myötä. Käytetään ehdollisen todennäköisyyden määritelmää, josta saadaan

P(A ja B) = P(A) ∙ P(B|A).

(33)

31

Tätä kaavaa voidaan myös yleistää useammalle kuin kahdelle tapahtumalle.

Lasketaan nyt todennäköisyydet käyttäen kerto- ja yhteenlaskusääntöjä P(X = 0) = P(valkoinen, valkoinen) =2

5∙1 4= 1

10

P(X = 1) = P(musta, valkoinen TAI valkoinen, musta) =3 5∙2

4+2 5∙3

4= 6 10

P(X = 2) = P(musta, musta) =3 5∙2

4= 3 10.

Lasketaan seuraavaksi mustien pallojen lukumäärän odotusarvo.

E(X) = 1

10∙ 0 + 6

10∙ 1 + 3

10∙ 2 =12

10= 1,2.

Vastaus: Mustien pallojen lukumäärän odotusarvo on 1,2.

Koripalloilijan vapaaheitot (12 p.)

Pitkäaikaisten tilastojen perusteella erään koripalloilijan todennäköisyys heittää pallo vapaaheitolla koriin on p (0 ≤ p ≤ 1). Rautahermoisena pelaajana hänen heittojensa onnistumistodennäköisyydet ovat riippumattomia aikaisempien heittojen tuloksista ja pelitilanteesta.

Eräässä ottelussa kyseinen pelaaja saa kaksi vapaaheittoa, jotka on heitettävä peräkkäin. Merkitään

P(0) = todennäköisyys sille, että pelaaja ei saa yhtään heittoa koriin

P(1) = todennäköisyys sille, että pelaaja saa täsmälleen yhden heiton koriin P(2) = todennäköisyys sille, että pelaaja saa kaksi heittoa koriin.

1. Laske P(2), kun p = 0,82. (3 p.)

2. Määritä P(2), P(1) ja P(0) todennäköisyyden p avulla lausuttuina. (6 p.) 3. Millä todennäköisyyden p arvoilla P(1) = P(2)? (3 p.)

Bloomin taksonomian taso: Analysoida

Tehtävässä hyödynnetään useampia todennäköisyyslaskennan laskumenetelmiä. Haastekerrointa lisää myös muuttuja p. Tehtävänannon tarjoamaa tietoa tulee jäsentää juuri oikealla tavalla, jotta tarkasteltavien tapahtumien todennäköisyydet tulevat laskettua oikein.

(34)

32 Ratkaisu

1. Heitot ovat toisistaan riippumattomia, joten käytetään riippumattomien tapausten kertolaskusääntöä: pelaaja saa ensimmäisellä heitolla korin ja pelaaja saa toisella heitolla korin. Saadaan

P(2) = p · p = 0,82 · 0,82 = 0,6724 ≈ 0,67.

2. Edellisestä kohdasta saadaan

P(2) = p · p = p².

Yhden heiton lopputulemassa on kaksi vaihtoehtoa: pelaaja joko saa korin tai ei saa koria. Todennäköisyys, että pelaaja ei saa koria saadaan komplementin avulla, ja se on 1– p. Koska heitot ovat riippumattomat, voidaan käyttää binomitodennäköisyyden kaavaa.

Saadaan

P(1) = (2

1) p¹(1– p)²⁻¹= 2p(1– p) = 2p– 2p².

Todennäköisyys, että pelaaja ei saa yhtään heittoa koriin saadaan riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä: pelaaja ei saa 1. heitolla koria ja pelaaja ei saa 2. heitolla koria. Saadaan

P(0) = (1– p) · (1– p) = p²– 2p + 1.

3. Sijoitetaan edellä lasketut todennäköisyydet yhtälöön P(1) = P(2). Saadaan 2p– 2p² = p².

Ratkaistaan tämä yhtälö laskimella, saadaan seuraavat arvot:

p = 0 tai p =2

3≈ 0,67.

Tavallista noppaa heitetään kolme kertaa, jolloin saadaan heittojärjestyksessä luvut a, b, c. Laske seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:

a) Jono (a, b, c) on aidosti kasvava ja aritmeettinen.

b) Jono (a, b, c) on geometrinen.