Benjamin Bloom kollegoineen kehitti apuvälineen osaamisen tason määrittämiseen. Niin kutsuttu Bloomin taksonomia julkaistiin vuonna 1956.
Alkuperäinen luokittelukehys sisältää kuusi pääkategoriaa osaamisen tason arviointiin: tieto (knowledge), ymmärrys (comprehension), sovellus (application), analyysi (analysis), synteesi (synthesis) ja arviointi (evaluation). Kaikki tasot,
”sovellus”-luokkaa lukuun ottamatta, sisältävät useita alakohtia osaamisen tarkempaa erittelyä varten. Kategoriat ovat jäsentyneet hierarkkisesti:
yksinkertaisesta monimutkaisempaan ja konkreettisemmasta abstraktimpaan.
Bloomin kehittämää luokittelutapaa on sittemmin uudistettu. Krathwohl siirtyi aikaisemmasta yhden ulottuvuuden tarkastelusta kahden erillisen ulottuvuuden malliin. Hän erotti tarkastelussaan toisistaan substantiivin (noun) ja verbin (verb), ja loi näin ollen tarkastelukehykset tiedon ja kognitiivisten prosessien ulottuvuuksille (knowledge dimension, cognitive process dimesion). Tässä täsmennetyssä taksonomiassa tiedon ulottuvuus pitää sisällään yksinomaan tietoa asioista. Alaluokkina ovat faktuaalinen (tosiasioita koskeva), konseptuaalinen (määritelmiä koskeva), proseduraalinen (tekemisen tapaa koskeva) ja metakognitiivinen (itse tietoisuutta koskeva) tieto. (Krathwohl, 2002.)
27
Tässä tutkielmassa tehtäviä kategorisoidaan kognitiivisten prosessien näkökulmasta. Kognitiivisten prosessien ulottuvuudessa korostuvat aktiiviset verbit. Krathwohl muuttikin taksonomian luokkien nimet verbimuotoisiksi.
Luokkien lukumäärä säilyi samana, ja myös ajatus niiden hierarkkisesta järjestyksestä pysyi muuttumattomana. Krathwohlin täsmennetty näkemys Bloomin taksonomiasta on esitetty alla olevassa taulukossa 3. (Krathwohl, 2002.)
1. Muistaa – tiedon hakeminen pitkäkestoisesta muistista, tunnistaminen ja muistiin palauttaminen
2. Ymmärtää – ohjeistuksen merkityksen määrittäminen, tulkitseminen, luokitteleminen, johtopäätösten tekeminen, vertaileminen ja selittäminen 3. Soveltaa – tietyn menettelytavan mukaan toimiminen, suunnitelman
toteuttaminen
4. Analysoida – tiedon pilkkominen, jäsentäminen ja yhdistäminen, yhteyksien löytäminen
5. Arvioida – kriteereihin ja standardeihin nojautuva arvioiden tekeminen, kriittinen tarkastelu
6. Luoda – osatekijöiden yhdistäminen, kokonaisuuden suunnittelu ja luominen
Taulukko 3: Krathwohlin täsmentämä Bloomin taksonomia
Tutkielmassa seuraavaksi esitettävä analyysi perustuu yllä olevaan Krathwohlin täsmentämään Bloomin taksonomiaan. Kukin ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävä on sijoitettu yhteen Bloomin taksonomian luokkaan; luokka on valittu korkeimman tehtävässä vaaditun taidon mukaan.
Luokkaan ”Muistaa” olisi sijoitettu yksinkertaiset, niin sanotut kaavaan sijoittamista tai puhdasta mekaanista laskemista mittaavat tehtävät. Näitä tehtäviä ei kuitenkaan esiintynyt kummankaan oppimäärän analysoitavissa tehtävissä. Luokkaan ”Ymmärtää” on sijoitettu tehtävät, jotka ratkeavat kaavaan sijoittamalla, mutta ratkaisuun tarvittiin myös tehtävänannon tilanteen hieman tarkempaa määrittämistä ja tulkitsemista. Luokkaan ”Soveltaa” sijoitettiin suhteellisen yksinkertaisia lausekkeita ja suoraviivaista ratkaisemista vaativat tehtävät. Kyseisten lausekkeiden muodostaminen vaatii kuitenkin astetta enemmän omia havaintoja ja soveltamista kuin ”Ymmärtää”-luokassa. Luokkaan
”Analysoida” sijoitettiin tehtävät, joissa vaaditaan tehtävänannon huolellisempaa
28
tarkastelua. Näissä tehtävissä saattaa myös korostua tehtävänannon sanallisuus ja useampien erilaisten menetelmien hyödyntäminen. ”Arvioida”-luokkaan sijoitettiin niin laskennallisesti kuin analysoinninkin määrän suhteen selkeästi haastavammat tehtävät. Osassa tehtävistä pyydetään suoraan arvioimaan esitettyä tietoa. Tehtävissä tulee esille myös tietojen laajempi yhdistäminen sekä uuden esitetyn aineiston tai tiedon jäsentäminen ja ymmärtäminen. Tehtävissä saatetaan myös selkeästi vaatia tietoa myös muilta kursseilta. Bloomin taksonomian korkeimmalle ”Luoda”-tasolle sijoittuivat tehtävät, joissa kirjaimellisesti pyydetään luomaan tai simuloimaan jotain uutta. Näissä tehtävissä peräänkuulutetaan erityisesti tilastojen, taulukkolaskennan ja jopa ohjelmoinnin taitoja. (Ks. Glumoff & Paukkeri, 2017.)
3.2.1 Pitkä oppimäärä
Taulukkoon 4 on eritelty Bloomin osaamistasoluokituksen mukaisesti kaikki aikavälillä 2007–2021 esiintyneet pitkän matematiikan ylioppilaskoetehtävät, joiden ratkaisemiseen tarvitaan Tilastot ja todennäköisyys -kurssien tietoja.
Osaamistasoluokittelu
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021
Tilastot ja todennäköisyys -kurssin aihealueista sisältävät tehtävät (MAA6 / MAA10) taso vuosien 2007–2011
tehtävät
3. Soveltaa S2007/8, K2008/5, S2008/8, K2010/6,
4. Analysoida K2007/8, K2009/6, S2009/7, S2011/8
Taulukko 4: Osaamistasoluokittelu - Pitkän matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021
Kuvaajalla 3 on nähtävöitetty tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien sijoittumista Bloomin osaamistasoa tarkastelevalla asteikolla. Pylvään korkeus kertoo, kuinka monta prosenttia kyseisen aikajänteen tilastojen ja
29
todennäköisyyslaskennan tehtävistä sijoittuu kyseiselle osaamisen tasolle.
Tarkastelu on tehty erikseen aikajänteille 2007–2011, 2012–2019 ja 2019–2021.
Kuvaaja 3: Pitkä matematiikka - Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien painottuminen Bloomin taksonomian tasoille
Vuosien 2007–2011 pitkän matematiikan tilastoihin ja todennäköisyyksiin liittyvistä ylioppilaskoetehtävistä tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää”, ”Arvioida” ja
”Luoda” ei sijoittunut lainkaan tehtäviä. Tasoille ”Soveltaa” ja ”Analysoida”
sijoittuu tässä järjestyksessä 60 % ja 40 % analysoiduista tehtävistä.
Tarkasteluajankohtana 2012–2018 tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää” ja ”Luoda” ei sijoittunut yhtään tehtävää. Tasolle ”Soveltaa” sijoittuu 41 %, tasolle ”Analysoida”
24 % ja tasolle ”Arvioida” 35 % tarkastelluista tehtävistä. Viimeisellä tarkastelujänteellä 2019–2021 tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää”, ”Soveltaa” ja
”Arvioida” ei sijoittunut yhtään tehtävää. Sen sijaan tasolle ”Analysoida” sijoittuu 71 % ja tasolle ”Luoda” 29 % kyseisen aikavälin tehtävistä.
Kun kullekin Bloomin taksonomian tasolle annetaan tason vaativuutta kuvaava numeroarvo (”Muistaa” = 1, ”Ymmärtää” = 2, ”Soveltaa” = 3, ”Analysoida” = 4,
”Arvioida” = 5 ja ”Luoda” = 6), saadaan aikajänteille seuraavat osaamistasokeskiarvot: vuosien 2007–-2011 keskiarvo on 3,40, vuosien 2012–
2018 keskiarvo on 3,94 ja vuosien 2019–2021 keskiarvo on 4,58.
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
Muistaa Ymmärtää Soveltaa Analysoida Arvioida Luoda
Pitkä matematiikka
Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien painottuminen Bloomin taksonomian tasoille
2007-2011 2012-2018 2019-2021
30
Esimerkkitehtävät
Tässä osiossa käydään läpi pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa esiintyneitä tilasto- ja todennäköisyysaiheisia tehtäviä, joihin kuhunkin on laadittu myös ratkaisuehdotus. Tehtävät on valittu siten, että jokainen Bloomin taksonomian osaamistaso tulee edustetuksi. Matematiikan pitkässä oppimäärässä tehtävät sijoittuivat tasoille ”Soveltaa”, ”Analysoida”, ”Arvioida” ja ”Luoda”, joilta kultakin on valittu yksi tehtävä edustamaan kyseistä luokkaa. Kunkin tehtävän kohdalla on kerrottu Bloomin taksonomian luokitus sekä esitetty perusteet, joiden mukaan kyseinen tehtävä on kategorisoitu juuri tälle tasolle. Tehtäviä valittaessa on kiinnitetty huomiota myös siihen, että mahdollisimman moni ratkaisumenetelmä tulee esille. Tehtävän ratkaisussa esiintyneet menetelmät on korostettu lihavoinnilla.
Tehtävä: S2008/8
Laatikossa on kaksi valkoista ja kolme mustaa palloa. Laatikosta otetaan umpimähkään kaksi palloa. Olkoon satunnaismuuttuja X nostossa saatujen mustien pallojen lukumäärä. Laske todennäköisyydet P(X = k), k = 0, 1, 2. Määritä odotusarvo E(X).
Bloomin taksonomian taso: Soveltaa
Tehtävässä tulee määrittää laatikosta nostettujen mustien pallojen lukumäärän odotusarvo. Tätä ennen pitää laskea todennäköisyydet erilaisille nostovariaatioille. Tässä ”Soveltaa”-tason tehtävässä tulee hallita useampi todennäköisyyslaskennan laskukaava ja -menetelmä kuin ”Ymmärtää”-tasolla.
Kuitenkin kyseessä on hyvin mutkaton, ”oppikirjamainen”, tehtävä, joka ratkeaa hyvin suoraviivaisella ratkaisutaktiikalla.
Ratkaisu
Kyseessä on ehdollinen todennäköisyys, sillä pallojen lukumäärä laatikossa muuttuu nostojen myötä. Käytetään ehdollisen todennäköisyyden määritelmää, josta saadaan
P(A ja B) = P(A) ∙ P(B|A).
31
Tätä kaavaa voidaan myös yleistää useammalle kuin kahdelle tapahtumalle.
Lasketaan nyt todennäköisyydet käyttäen kerto- ja yhteenlaskusääntöjä P(X = 0) = P(valkoinen, valkoinen) =2
5∙1 4= 1
10
P(X = 1) = P(musta, valkoinen TAI valkoinen, musta) =3 5∙2
Lasketaan seuraavaksi mustien pallojen lukumäärän odotusarvo.
E(X) = 1
10∙ 0 + 6
10∙ 1 + 3
10∙ 2 =12
10= 1,2.
Vastaus: Mustien pallojen lukumäärän odotusarvo on 1,2.
Tehtävä: S2020/7
Koripalloilijan vapaaheitot (12 p.)
Pitkäaikaisten tilastojen perusteella erään koripalloilijan todennäköisyys heittää pallo vapaaheitolla koriin on p (0 ≤ p ≤ 1). Rautahermoisena pelaajana hänen heittojensa onnistumistodennäköisyydet ovat riippumattomia aikaisempien heittojen tuloksista ja pelitilanteesta.
Eräässä ottelussa kyseinen pelaaja saa kaksi vapaaheittoa, jotka on heitettävä peräkkäin. Merkitään
P(0) = todennäköisyys sille, että pelaaja ei saa yhtään heittoa koriin
P(1) = todennäköisyys sille, että pelaaja saa täsmälleen yhden heiton koriin P(2) = todennäköisyys sille, että pelaaja saa kaksi heittoa koriin.
1. Laske P(2), kun p = 0,82. (3 p.)
2. Määritä P(2), P(1) ja P(0) todennäköisyyden p avulla lausuttuina. (6 p.) 3. Millä todennäköisyyden p arvoilla P(1) = P(2)? (3 p.)
Bloomin taksonomian taso: Analysoida
Tehtävässä hyödynnetään useampia todennäköisyyslaskennan laskumenetelmiä. Haastekerrointa lisää myös muuttuja p. Tehtävänannon tarjoamaa tietoa tulee jäsentää juuri oikealla tavalla, jotta tarkasteltavien tapahtumien todennäköisyydet tulevat laskettua oikein.
32 Ratkaisu
1. Heitot ovat toisistaan riippumattomia, joten käytetään riippumattomien tapausten kertolaskusääntöä: pelaaja saa ensimmäisellä heitolla korin ja pelaaja saa toisella heitolla korin. Saadaan
P(2) = p · p = 0,82 · 0,82 = 0,6724 ≈ 0,67.
2. Edellisestä kohdasta saadaan
P(2) = p · p = p².
Yhden heiton lopputulemassa on kaksi vaihtoehtoa: pelaaja joko saa korin tai ei saa koria. Todennäköisyys, että pelaaja ei saa koria saadaan komplementin avulla, ja se on 1– p. Koska heitot ovat riippumattomat, voidaan käyttää binomitodennäköisyyden kaavaa.
Saadaan
P(1) = (2
1) p1(1– p)2−1= 2p(1– p) = 2p– 2p2.
Todennäköisyys, että pelaaja ei saa yhtään heittoa koriin saadaan riippumattomien tapahtumien kertolaskusäännöllä: pelaaja ei saa 1. heitolla koria ja pelaaja ei saa 2. heitolla koria. Saadaan
P(0) = (1– p) · (1– p) = p²– 2p + 1.
3. Sijoitetaan edellä lasketut todennäköisyydet yhtälöön P(1) = P(2). Saadaan 2p– 2p2 = p2.
Ratkaistaan tämä yhtälö laskimella, saadaan seuraavat arvot:
p = 0 tai p =2
3≈ 0,67.
Tehtävä: S2017/7
Tavallista noppaa heitetään kolme kertaa, jolloin saadaan heittojärjestyksessä luvut a, b, c. Laske seuraavien tapahtumien todennäköisyydet:
a) Jono (a, b, c) on aidosti kasvava ja aritmeettinen.
b) Jono (a, b, c) on geometrinen.
33 Bloomin taksonomian taso: Arvioida
Tässä tehtävässä tullaan hyödyntämään keskeisiä sisältöjä myös lukujonoja käsittelevältä kurssilta. Tehtävän nostaa ”Arvioida”-tasolle juuri tämä kurssisisältöjen poikkileikkaus sekä edistyneempää loogista päättelyä vaativa ratkaisutaktiikka. Tehtävässä kaavoilla ei niinkään ole merkitystä, vaan ratkaisijan tulee hahmottaa tilanne systemaattisen taulukoinnin avulla.
Ratkaisu
Tehtävässä olennaista on lukujonojen hallinta. (Muiden kurssien sisältö.) a) Jotta jono olisi aidosti kasvava ja aritmeettinen, tulee erotusvakion eli differenssin olla positiivinen (kokonaisluku). Käydään kaikki mahdolliset vaihtoehdot läpi.
Erotusluku on 1: (1, 2, 3), (2, 3, 4), (3, 4, 5), (4, 5, 6) Erotusluku on 2: (1, 3, 5), (2, 4, 6)
Suotuisia jonoja on siis kuusi kappaletta. Kaikkiaan kolmen nopan jonoja on 63 = 216 kappaletta.
Näin ollen todennäköisyydeksi saadaan
P(jono aidosti kasvava ja aritmeettinen) = 6 216= 1
36≈ 0,028.
Vastaus: Jono (a, b, c) on aidosti kasvava ja aritmeettinen todennäköisyydellä 0,028.
b) Jotta jono olisi geometrinen, tulee ensimmäisen ja toisen jäsenen sekä toisen ja kolmannen jäsenen suhteen olla vakio. Näin ollen
b a= c
b, josta kertomalla ristiin saadaan c =b2 a .
Käydään läpi mahdollisia noppien silmäluvuista muodostuvia jonoja, joiden ensimmäiset jäsenet ovat a ja b; kolmas jäsen saadaan käyttämällä yllä laskettua kaavaa. Tutkitaan ensiksi aidosti kasvavia lukujonoja. Lopetetaan jonojen läpi käyminen kunkin tapauksen kohdalla silloin, kun toinen tai kolmas jäsen tulee suuremmaksi kuin suurin mahdollinen silmäluku kuusi.
34 Ensimmäinen jäsen 1: (1, 2, 4), (1, 3, 9) Ensimmäinen jäsen 2: (2, 3, 9
2), (2, 4, 8) Ensimmäinen jäsen 3: (3, 4, 16
3), (3, 5, 25
3) Ensimmäinen jäsen 4: (4, 5, 25
4)
Aidosti kasvavilla jonoilla ensimmäinen jäsen voi olla korkeintaan 4, sillä muuten kolmas jäsen olisi väistämättä suurempi kuin 6. Ainoa mahdollinen aidosti kasvava geometrinen jono on siis (1, 2, 4).
Tutkitaan seuraavaksi aidosti väheneviä lukujonoja. Aidosti kasvavien lukujonojen tutkimisesta huomataan, että ainoa mahdollisuus aidosti vähenevälle lukujonolle on (4, 2, 1).
Huomataan myös, että kaikki lukujonot, joiden suhdeluku on 1 ovat geometrisia.
Nämä ovat: (1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5) ja (6, 6, 6). Suotuisia jonoja on siis 8 kappaletta ja kolmen nopan jonoja on edelleen 63 = 216 kappaletta. Todennäköisyydeksi saadaan
P(jono geometrinen) = 8 216= 1
27 ≈ 0,037.
Vastaus: Jono (a, b, c) on geometrinen todennäköisyydellä 0,037.
Tehtävä: K2020/12
Geometrisen keskiarvon todennäköisyyksiä (12 p.)
Kahden positiivisen luvun a ja b geometrinen keskiarvo on √ab.
1. Anna esimerkki välin 2–100 kahdesta eri kokonaisluvusta a ja b, joille √ab on kokonaisluku. (3 p.)
2. Satunnaislukugeneraattori arpoo toisistaan riippumatta kaksi kokonaislukua väliltä 1–100 niin, että jokaisen luvun todennäköisyys on
1
100. Mikä on todennäköisyys sille, että arvottujen lukujen geometrinen keskiarvo on kokonaisluku? Voit laskea tapahtuman klassisen todennäköisyyden tarkasti tai esittää sille simulointiin perustuvan arvion.
(9 p.)
35 Bloomin taksonomian taso: Luoda
Tehtävässä kokelaalle esitellään kenties ennestään tuntematon käsite geometrinen keskiarvo. Tehtävässä esitelty uusi käsite ja taulukkolaskenta taidot ovat omiaan sijoittamaan kyseisen tehtävän ”Luoda”-tasolle. Tehtävä peräänkuuluttaa vahvasti ratkaisun suunnitelmallisuutta sekä ison kokonaisuuden omatoimista luomista ja käsittelyä.
Ratkaisu
1. Esimerkiksi käyvät luvut a = 3 ja b = 12. Näiden lukujen geometriseksi keskiarvoksi saadaan
√ab = √3 ∙ 12 = √36 = 6.
2. Hyödynnetään LibreOffice Calcin taulukkolaskentaohjelmaa. Tehdään taulukko, jonka sarakkeessa A (riveillä 2–101) on luvun a mahdolliset arvot ja rivillä 1 (sarakkeissa B-CW / 2-101) on luvun b mahdolliset arvot. Lasketaan sitten kuhunkin taulukon soluun geometrinen keskiarvo sitä vastaavista a:n ja b:n arvoista. Tämä saadaan esimerkiksi solun B2 tapauksessa seuraavalla kaavalla:
=NELIÖJUURI($A2*B$1). Kopioidaan tämä kaava taulukon kaikkiin soluihin.
36
Vihreästä taulukosta pystyttäisiin laskemaan kokonaislukujen lukumäärä, mutta se on melko työläs toimintatapa. Tehdään siis uusi taulukko samaisella metodiikalla. Nyt halutaan selvittää, kuinka monessa vihreän taulukon solussa on kokonaisluku. Käytetään apuna LibreOfficen JOS-funktiota. Mikäli vihreässä taulukossa vastaavan solun arvo on kokonaisluku, tulee sen arvoksi punaisessa taulukossa 1, muussa tapauksessa arvoksi tulee 0. Esimerkiksi solun B104 (kuvassa) kaavaksi tulee =JOS(B2=PYÖRISTÄ.DES.ALAS(B2);1;0). Kopioidaan tämä kaava kaikkiin punaisen taulukon soluihin.
Lasketaan punaisen taulukon solujen summa. Tämä summa kertoo, kuinka monen lukuparin geometrinen keskiarvo on kokonaisluku. Käytetään siis kaavaa
=SUMMA(B104:CW203). Summaksi saadaan 310.
Nyt voidaan laskea todennäköisyys. Kaiken kaikkiaan soluja on 100 ∙ 100 = 10 000. Todennäköisyydeksi saadaan
P(geometrinen keskiarvo kokonaisluku) = 310
10 000= 0,031.
37
3.2.2 Lyhyt oppimäärä
Taulukkoon 5 on kategorisoitu Bloomin osaamistasoluokituksen mukaisesti kaikki aikavälillä 2007–2021 esiintyneet lyhyen matematiikan ylioppilastehtävät, joiden ratkaisemiseen tarvitaan Tilastot ja todennäköisyys -kurssien tietoja.
Osaamistasoluokittelu
Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021
Tilastot ja todennäköisyys -kurssien aihealueista sisältävät tehtävät (MAB5 / MAB8) taso vuosien 2007–2011
tehtävät
2. Ymmärtää k2011/7 s2014/8, k2015/13, k2017/2a
- 3. Soveltaa k2007/10, k2008/8,
s2008/11, s2009/9,
4. Analysoida s2007/11, s2008/15A, k2009/11, s2010/8,
5. Arvioida s2007/15A, k2007/15, k2008/15A
Taulukko 5: Osaamistasoluokittelu - Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeet 2007–2021
Kuvaajalla 4 on havainnollistettu tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien sijoittumista Bloomin osaamistasoa tarkastelevalla asteikolla. Pylvään korkeus kertoo, kuinka monta prosenttia kyseisen aikajänteen tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä sijoittuu kyseiselle Bloomin määräämälle osaamisen tasolle. Tarkastelu on tehty erikseen aikajänteille 2007–2011, 2012–
2019 ja 2019–2021.
38
Kuvaaja 4: Lyhyt matematiikka - Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien painottuminen Bloomin taksonomian tasoille
Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävät sijoittuvat taksonomian tasoille tarkasteluvälillä 2007–2011 seuraavasti:
”Muistaa” 0 %, ”Ymmärtää” 6 %, ”Soveltaa” 41 %, ”Analysoida” 35 %, ”Arvioida”
18 % ja ”Luoda” 0 %. Aikavälillä 2012–2018 tasoille ”Muistaa” ja ”Luoda” ei sijoittunut yhtään tehtävää. Sen sijaan tasoille ”Ymmärtää”, Soveltaa”,
”Analysoida” ja ”Arvioida” sijoittuu tässä järjestyksessä 11 %, 33 %, 37 % ja 19
% aikavälin analysoiduista tehtävistä. Viimeisen tarkasteluajankohdan, vuosien 2019–2021, tasoille ”Muistaa”, ”Ymmärtää” ja ”Luoda” ei sijoittunut yhtään tehtävää. Tarkastelluista tehtävistä 42 % sijoittuu tasolle ”Soveltaa”. Sekä tasolle
”Analysoida” että ”Arvioida” sijoittuu 29 % kyseisen aikavälin tehtävistä.
Kun kullekin Bloomin taksonomian tasolle annetaan tason vaativuutta kuvaava numeroarvo (”Muistaa” = 1, ”Ymmärtää” = 2, ”Soveltaa” = 3, ”Analysoida” = 4,
”Arvioida” = 5 ja ”Luoda” = 6), saadaan aikajänteille seuraavat osaamistasokeskiarvot: vuosien 2007–2011 keskiarvo on 3,65, vuosien 2012–
2018 keskiarvo on 3,64 ja vuosien 2019–2021 keskiarvo on 3,87.
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
45%
Muistaa Ymmärtää Soveltaa Analysoida Arvioida Luoda
Lyhyt matematiikka
Tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävien painottuminen Bloomin taksonomian tasoille
2007-2011 2012-2018 2019-2021
39
Esimerkkitehtävät
Tässä osiossa käydään läpi lyhyen matematiikan ylioppilaskokeissa esiintyneitä tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtäviä. Tehtäville on myös laadittu ratkaisuehdotukset. Tehtävät on valittu siten, että jokainen Bloomin taksonomian osaamistaso tulee edustetuksi. Matematiikan lyhyessä oppimäärässä tehtävät sijoittuivat tasoille ”Ymmärtää”, ”Soveltaa”, ”Analysoida” ja ”Arvioida”. Kultakin tasolta on valittu yksi tehtävä edustamaan kyseistä luokkaa. Kunkin tehtävän kohdalla on kerrottu Bloomin taksonomian luokitus sekä esitetty perusteet, joiden mukaan kyseinen tehtävä on asetettu juuri tähän luokkaan. Esimerkkitehtäviä kartoittaessa on kiinnitetty huomiota myös siihen, että mahdollisimman moni ratkaisumenetelmä tulee esille. Tehtävän ratkaisussa esiintyneet menetelmät on korostettu lihavoinnilla.
Tehtävä: s2014/8
Alla olevassa taulukossa ovat jääkiekon SM-liigan kuuden seuratuimman joukkueen keskimääräiset kotiottelujen katsojaluvut liigakaudella 2011–2012.
a) Laske katsojalukujen keskiarvo ja keskihajonta.
b) Minkä joukkueiden katsojaluvut poikkeavat keskiarvosta enemmän kuin keskihajonnan verran?
Jokerit 9 173 HIFK 8 266 Kärpät 5 821
TPS 5 534
Tappara 5 359 Ilves 5 177
Bloomin taksonomian taso: Ymmärtää
Tehtävässä tulee hallita kaavaan sijoittaminen sekä yksinkertaisten johtopäätösten tekeminen. Ratkaisu perustuu tehtävänannon käsitteiden ymmärtämiseen, kaavojen oikeaoppiseen käyttöön ja ennen kaikkea huolelliseen laskurutiiniin.
40 Ratkaisu
a) Katsojalukujen keskiarvoksi saadaan
𝑥̅ =9173 + 8266 + 5821 + 5534 + 5359 + 5177
6 = 39330
6 = 6555.
Keskihajonnan kaava löytyy Maolista. Keskihajonnaksi saadaan:
𝑠 = √∑𝑛𝑖=1(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
𝑛 = √
(9173 − 6555)2 + (8266 − 6555)2+ (5821 − 6555)2 +(5534 − 6555)2+ (5359 − 6555)2+ (5177 − 6555)2
6
= 1564,818 … ≈ 1565.
Vastaus: Katsojalukujen keskiarvo on 6555 ja keskihajonta 1565 katsojaa.
b) Määritetään väli [keskiarvo – kesihajonta, keskiarvo + keskihajonta], ja tutkitaan, minkä joukkueiden katsojaluvut eivät kuulu tälle välille. Tarkasteltavaksi väliksi saadaan
[6555– 1565, 6555 + 1565] = [4990, 8120].
Huomataan, että vain Jokereiden ja HIFK:n katsojaluvut eivät kuulu tälle välille.
Vastaus: Jokereiden ja HIFK:n katsojaluvut poikkeavat keskiarvosta enemmän kuin keskihajonnan verran.
Tehtävä: k2020/9.2 Nopan heitto (12 p.)
Noppaa heitetään 10 kertaa. Mikä on todennäköisyys, että saadaan täsmälleen 2 kuutosta?
Bloomin taksonomian taso: Soveltaa
Tehtävän olennaisin osa on hahmottaa siinä kuvattu tilanne toistokokeeksi ja hyödyntää oikeaa kaavaa. Binomitodennäköisyyden kaavan käyttäminen on suhteellisen mutkatonta toimintaa, mutta tehtävätyypin (toistokoe) hahmottaminen vaatii ”Soveltaa”-tasolle tyypillisen loogisen päättelyketjun.
41 Ratkaisu
Kyseessä on toistokoe. Käytetään siis binomitodennäköisyyden kaavaa (nk)pk(1– p)n−k.
Koska noppaa heitetään kymmenen kertaa n = 10. kuutosen todennäköisyys p on 1
6. Todennäköisyys saada 10 heitolla tasan kaksi kuutosta on P(tasan kaksi kuutosta) = (102) (1
6)2· (1–1
6)10–2=1953125
6718464= 0.29071. . . ≈ 0,291.
Vastaus: Todennäköisyys saada 10 heitolla tasan kaksi kuutosta on 0,291.
Tehtävä: k2013/12
Valmistajan tarkistusmittauksissa todettiin, että hajuvesipullon sisällön määrä noudattaa normaalijakaumaa, jonka keskiarvo on 52 millilitraa ja keskihajonta on 1,25 millilitraa. Millä todennäköisyydellä hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa?
Bloomin taksonomian taso: Analysoida
Kyseessä on tyypillinen normaalijakaumatehtävä, joka vaati tehtävänannon täydellistä ymmärtämistä ja ratkaisuvaiheiden oikeanlaista jäsentämistä.
Oleellista on myös hallita kertymäfunktiotaulukon lukeminen ja soveltaminen tarkasteltavaan tilanteeseen.
Ratkaisu
Merkitään X = ”satunnaisesti valitun hajuvesipullon sisällön määrä”. Tällöin satunnaismuuttujan X arvoa vastaava normitettu arvo on Z =X–52
1,25, ja Z noudattaa normitettua normaalijakaumaa. Normitetaan satunnaismuuttujan arvo X = 50.
Z =50– 52
1,25 = −1,6.
Määritetään sitten todennäköisyys P(X ≤ 50) = P(Z ≤ −1,6). Käytetään kaavaa Φ(−a) = 1– Φ(a), ja luetaan a:n arvo kertymäfunktiotaulukosta. Nyt siis saadaan
P(Z ≤ −1,6) = 1– Φ(1,6) = 1– 0,9452 = 0,0548 ≈ 0,055.
42
Vastaus: Hajuvesipullon sisältö on alle 50 millilitraa todennäköisyydellä 0,055.
Tehtävä: s2020/9 Merimetsot (12 p.)
Aineisto: Taulukko: Merimetsot
Taulukossa 9. A on merimetson pesien lukumäärä eri yhdyskunnissa vuonna 2019. Samassa kunnassa sijaitsevia yhdyskuntia on merkitty taulukossa numeroilla, esimerkiksi Kirkkonummi 1 ja Kirkkonummi 2.
1. Kuinka monta merimetson pesää oli aineiston mukaan olemassa vuonna 2019? (2 p.)
2. Selvitä, mikä yhdyskunnista oli pienin ja mikä suurin, sekä se, mikä oli samaan yhdyskuntaan kuuluvien pesien lukumäärän keskiarvo ja keskihajonta. (3 p.)
3. Aineisto luokitellaan keskihajonnan pituisiin luokkiin siten, että keskiarvo on yhtenä luokkarajana. Mihin luokkaan Kokkolan merimetsoyhdyskunta kuuluu? (3 p.)
4. Määritä luokitellun aineiston suhteelliset frekvenssit ja kuvaile sanallisesti luokiteltua jakaumaa. (4 p.)
Bloomin taksonomian taso: Arvioida
Tehtävässä käytetään taulukkolaskentataitoja. Oleellista on isomman kokonaisuuden hallitseminen ja ongelmanratkaisukyky. Oikeanlaisten komentojen löytämiseen voi käyttää niin aiemmin opittua tietoa tai tilanteeseen sovellettua systemaattista etsimistä ja tarkastelua. Tehtävässä tulee myös olla erittäin hyvin hallussa tilastotieteen käsitteistö ja toimintatavat.
Ratkaisu
Ratkaistaan tehtävä Libre Office Calcin, eli taulukkolaskennan avulla.
1. Pesien summa saadaan funktiolla =SUMMA(B2:B48). Summaksi saadaan 25 685.
Vastaus: Pesiä on 25 685.
2. Käytetään sopivia komentoja.
43
Vastaus: Suurin yhdyskunta on Raumalla, pienin Helsingissä. Keskiarvo on 546 ja keskihajonta 576 pesää.
3. Kokkolan merimetsoyhdyskunnassa on 600 pesää. Koska keskiarvo on yhtenä luokkarajana, tulee Kokkolan merimetso yhdyskunnan kuulua välille [keskiarvo, keskiarvo + keskihajonta]. Näin ollen väliksi saadaan [546,49; 546,49 + 576,45] ≈ [546, 1123]. Tälle välille kuuluu Kokkolan yhdyskunnan pesämäärä 600.
Vastaus: Kokkolan yhdyskunta kuuluu luokkaan [546, 1123].
4. Käytetään sopivia komentoja.
Luokkiin kuuluvien yhdyskuntien lukumäärät saadaan selville huolellisella käsin laskemisella. Lasketaan tämän jälkeen frekvenssit yhteen. Nyt voidaan selvittää suhteelliset frekvenssit oheisessa kuvassa näkyvän kaavan avulla.
Vastaus: Suhteelliset frekvenssit ovat 0,638; 0,191; 0,085 ja 0,085.
Frekvensseistä voidaan päätellä, että pieniä yhdyskuntia on oikein runsaasti ja keskikokoisia jonkin verran. Suuria yhdyskuntia on taas todella niukasti.