Tässä osiossa tarkastellaan pitkän ja lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien pistejakaumia (YTL, Arkistoaineistot). Tarkastelu on tehty kullakin aikajänteellä (2007–2011, 2012–
2018 ja 2019–2021) erikseen. Lisäksi on tutkittu kokelaiden keskimääräistä suoriutumista kunkin tarkasteltavan ajanjakson tilasto- ja
44
todennäköisyyslaskennan tehtävissä. Tehtävistä suoriutumista on tarkasteltu myös osaamistasoluokituksen perusteella.
3.2.1 Pitkä oppimäärä
Pitkän matematiikan tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtäväkohtaisten pistejakaumien yhteiseksi trendiksi hahmottuu ääripäiden korostuminen: joko kokelas osaa tai ei osaa tehtävää. Tämä ääripäiden korostuminen näkyy selkeimmin varhaisimmassa tarkasteltavassa aikakehikossa. Kuvaajasta 5 näkee selkeästi, kuinka vuosina 2007–2011 sekä 0 että 6 pisteen pylväskeskittymät ovat keskimäärin korkeimmat. Täysien pisteiden arvoisia suorituksia on ensimmäisellä aikajänteellä verrattain runsaasti. Aikajänteen 2012–2018 (kuvaaja 6) tehtäväkohtaisissa pistejakaumissa on havaittavissa yhtäläistä trendiä: pylväät ovat selkeästi korkeimmat pisteiden ääripäiden, 0 ja 6 pisteen kohdilla. Erotuksena aikaisempaan aikahaarukkaan huomataan, että vuosina 2012–2018 pistemäärien 1–5 pylväät ovat kasvattaneet suhteellista osuuttaan. Vuosien 2019–2021 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien pistejakaumia on havainnollistettu kuvaajassa 7. Tässä otoksessa huomataan lievää ääripäiden pistemäärien korostumista.
Kuvaaja 5: Pitkä matematiikka – Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2007–2011
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
80,00%
0 1 2 3 4 5 6
Pitkä matematiikka
Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2007-2011
K2007/8 S2007/8 K2008/5 S2008/8 K2009/6 S2009/7 K2010/6 S2010/6 K2011/6 S2011/8
45
Kuvaaja 6: Pitkä matematiikka – Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2012–2018
Kuvaaja 7: Pitkä matematiikka – Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2019–2021
Taulukko 6 sekä kuvaajat 8 ja 9 tarkastelevat kokelaiden keskimääräistä tehtäväkohtaista suoriutumista neljästä luokasta käsin; tarkemmassa tarkastelussa alle 50 % ja yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden sekä nolla pistettä ja maksimipisteet saaneiden kokelaiden suhteelliset osuudet.
Taulukosta 6 sekä kuvaajista 8 ja 9 käy ilmi, että niin sanottujen ääripäiden osuus tehtäväkohtaisissa pisteissä on laskenut vuosien saatossa. Vuosina 2007–2011 keskimäärin 27 % kokelaista sai valitsemastaan tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävästä 0 pistettä; vastaavat luvut vuosille 2012–
2018 ja 2019–2021 ovat 24 % ja 9 %. Vuosina 2007–2011 keskimäärin 40 %
Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2012-2018
K2012/6 S2012/8 K2013/6 S2013/8 K2014/7 K2015/6 S2015/6 K2016/5 S2016/8 K2017/11 S2017/7 S2017/9 K2018/7 S2018/12
0,00%
Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2019-2021
K2019/6 S2019/7 K2020/7 K202012 S2020/7 K2021/7 K2021/8
46
kokelaista ratkaisi valitsemansa tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän täysien pisteiden arvoisesti. Vuosina 2012–2018 näiden kokelaiden osuus oli 24
% ja vuosina 2019–2021 7 %. Kun tarkastellaan alle 50 % ja yli 50 % maksimipisteistä saaneiden kokelaiden osuuksia, huomataan, että vuosina 2007–2011 kokelaat jakautuivat likimain kahtia: keskimäärin 52 % kokelaista sai alle puolet ja 48 % yli puolet valitsemansa tilasto- ja todennäköisyysaiheisen tehtävän maksimipistemäärästä. Tarkasteluajankohtana 2012–2018 alle puolet valitsemansa tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän maksimipistemäärästä sai 60 % kokelaista ja vastaavasti yli puolet maksimipisteistä sai 40 % kokelaista. Tuoreimpana tarkasteluajankohtana, vuosina 2019–2021, osuudet olivat 76 % ja 24 %.
Pitkä matematiikka
Tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän valinneiden kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen kyseisestä tehtävästä
selite
osuus tehtävän valinneista kokelaista 2007–2011 2012–2018 2019–2021
0 pistettä 27 % 24 % 9 %
alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä 52 % 60 % 76 % yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä 48 % 40 % 24 %
maksimipisteet 40 % 24 % 7 %
Taulukko 6: Pitkä matematiikka - Tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän valinneiden kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen kyseisestä tehtävästä
Kuvaaja 8: Pitkä matematiikka – Yli ja alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden kokelaiden osuudet
Yli ja alle 50 % tehtävän maksimipisteistä saaneiden kokelaiden osuudet
alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä
47
Kuvaaja 9: Pitkä matematiikka - Nolla pistettä ja maksimipisteet saaneiden kokelaiden osuudet
Kuvaajassa 10 on havainnollistettu pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyystehtävistä saatujen pisteiden keskimääräistä suhteellista osuutta maksimipistemäärästä. Vuosien 2007–2011 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä saatiin keskimäärin 54 % pistettä tehtävän maksimipistemäärästä. Tarkasteluajankohtana 2012–2018 vastaava luku oli 46
%, ja vuosina 2019–2021 40 %. Näissä luvuissa on havaittavissa selkeää laskua, mikä voi osittain selittyä muun muassa ylioppilaskokeen rakenteessa tapahtuneilla muutoksilla (ks. Rissanen, 2020).
Kuvaaja 10: Pitkä matematiikka - Tilasto- ja todennäköisyystehtävistä saatujen pisteiden keskimääräinen suhteellinen osuus maksimipistemäärästä
Nolla pistettä ja maksimisteet saaneiden kokelaiden osuudet
0 pistettä maksimipisteet
Tilasto- ja todennäköisyystehtävistä saatujen pisteiden keskimääräinen suhteellinen osuus maksimipistemäärästä
2007-2011 2012-2018 2019-2021
48
Taulukossa 7 ja kuvaajassa 11 tarkastellaan kokelaiden keskimääräistä suoriutumista pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyystehtävissä Bloomin osaamistasoluokitukseen perustuen. Kuvaaja tarkastelee kokelaiden keskimääräistä tehtäväkohtaista suoriutumista neljästä eri kategoriasta käsin; tarkemmassa tarkastelussa ovat 0 pistettä saaneiden, alle 50
% ja yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden sekä maksimipisteet saaneiden kokelaiden suhteelliset osuudet. Pitkän oppimäärän kokeissa tilastojen ja todennäköisyyslaskennan tehtävät sijoittuivat tasoille ”Soveltaa”,
”Analysoida”, ”Arvioida” ja ”Luoda”. ”Soveltaa”-tason tehtävistä keskimäärin 24
% kyseisen tehtävän valinneista kokelaista sai 0 pistettä, 55 % alle ja 45 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 33 % täydet pisteet. ”Analysoida”-tason tehtävän valinneita kokelaista keskimäärin 21 % sai 0 pistettä, 59 % alle ja 41 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 26 % täydet pisteet. ”Arvioida”-tason tehtävistä suoriuduttiin keskimäärin seuraavasti: 0 pistettä sai 33 % tehtävän valinneista kokelaista, 66 % sai alle ja 34 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 14 % sai täydet pisteet. ”Luoda”-tasoisista tehtävistä keskimäärin 3 % tehtävän valinneista kokelaista sai 0 pistettä, 80 % alle ja 20 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 3 % sai täydet pisteet.
Kuvaajasta 11 huomataan, mitä korkeamman osaamisen tason tehtävä on kyseessä, sitä suurempi osuus tehtävän valinneista kokelaista saa alle puolet tehtävän maksimipistemäärästä. Myös kokelaiden, jotka ovat saaneet tehtävästä 0 pistettä, osuus kasvaa, mitä korkeammalle osaamistasoluokituksessa kohotaan, ja vastaavasti tehtävän täysien pisteiden arvoisesti suorittaneiden kokelaiden osuus laskee. Poikkeuksen tähän tekee sähköisen ylioppilaskokeen aikakausi, jolloin sekä nollan että maksimipistemäärän osuus on huomattavasti aiempia tarkastelujänteitä pienempi. Tämä selittynee muuttuneella pisteskaalalla. Kaikki ”Luoda”-tason tehtävät sijoittuivat vuosille 2019–2021, jolloin tehtävät arvioitiin pisteasteikolla 0-12.
49
Pitkä matematiikka
Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
selite
osuus tehtävän valinneista kokelaista
3. Soveltaa 4. Analysoida 5. Arvioida 6. Luoda
Taulukko 7: Pitkä matematiikka - Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
Kuvaaja 11: Pitkä matematiikka - Kokelaiden suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
3.2.2 Lyhyt oppimäärä
Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien pistejakaumissa on havaittavissa ensimmäisenä ja toisena tarkasteluajankohtana, eli vuosina 2007–2011 (kuvaaja 12) ja 2012–2018 (kuvaaja 13), ääripäiden pistemäärien korostumista. Ääripäiden pistemäärien, eli nollan pisteen ja maksimipistemäärän, saaneiden kokelaiden osuus ei ole yhtä korostunut viimeisemmän tarkasteluajankohdan, eli vuosien 2019–2021 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä (kuvaaja 14).
0%
3. Soveltaa 4. Analysoida 5. Arvioida 6. Luoda
Pitkä matematiikka
Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
0 pistettä alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä maksimipisteet
50
Kuvaaja 12: Lyhyt matematiikka - Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2007–2011
Kuvaaja 13: Lyhyt matematiikka – Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2012–2018
Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2007-2011
k2007/10 k2007/15 s2007/11 s2007/15A k2008/8 k2008/15A s2008/11 s2008/15A k2009/4 k2009/11 s2009/9 k2010/8 s2010/8 k2011/7 k2011/8 s2011/9 s2011/10
0,00%
Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2012-2018
k2012/14 s2012/8 k2013/10 k2013/12 s2013/8 s2013/11 k2014/9 k2014/12 k2015/10 k2015/13 s2015/13 k2016/7 k2016/13 s2016/7 s2016/10 k2017/4 k2017/8 s2017/7 s2017/11 k2018/7 k2018/9.2 k2018/12 s2018/7 s2018/9.2 s2018/12
51
Kuvaaja 14: Lyhyt matematiikka – Pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2019–2021
Taulukko 8 sekä kuvaajat 15 ja 16 käsittelevät kokelaiden keskimääräistä tehtäväkohtaista suoriutumista neljään eri luokkaan perustuen: tarkemmassa tarkastelussa ovat alle 50 % ja yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden sekä nolla pistettä ja maksimipisteet saaneiden kokelaiden suhteelliset osuudet. Taulukosta 8 nähdään, että vuosina 2007–2011 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän valinneista kokelaista keskimäärin 49 % sai kyseisestä tehtävästä 0 pistettä, vastaava osuus vuosille 2012–2018 on 40 % ja osuus vuosille 2019–2021 on 18 %. Vuosina 2007–2011 keskimäärin 13 %, vuosina 2012–2018 keskimäärin 17 % ja vuosina 2019–2021 keskimäärin 9 % sai valitsemastaan tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävästä täydet pisteet.
Vuosina 2007–2011 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän valinneista kokelaista keskimäärin 77 % sai alle ja 23 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä. Vuosina 2012–2018 tehtävän valinneista kokelaista keskimäärin 69 % sai yli ja 31 % alle puolet tehtävän maksimipistemäärästä.
Vuosina 2019–2021 keskimäärin 66 % tämän aihealueen tehtävän valinneista kokelaista sai alle puolet ja 34 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä.
0,00%
10,00%
20,00%
30,00%
40,00%
50,00%
60,00%
70,00%
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
Lyhyt matematiikka
Tehtäväkohtaisten pisteiden jakautuminen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä vuosina 2019-2021
k2019/4 k2019/9.2 k2019/10 s2019/9.2 s2019/10 k2020/6 k2020/9.2 s2020/4.1 s2020/9 s2020/12 k2021/6 k2021/7 k2021/9 k2021/11
52
Lyhyt matematiikka
Tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän valinneiden kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen kyseisestä tehtävästä
selite
osuus tehtävän valinneista kokelaista 2007–2011 2012–2018 2019–2021
0 pistettä 49 % 40 % 18 %
alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä 77 % 69 % 66 % yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä 23 % 31 % 34 %
maksimipisteet 13 % 17 % 9 %
Taulukko 8: Lyhyt matematiikka - Tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävän valinneiden kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen kyseisestä tehtävästä
Kuvaaja 15: Lyhyt matematiikka – Yli ja alle 50 % tehtävän maksimipisteistä saaneiden kokelaiden osuudet
Kuvaaja 16: Lyhyt matematiikka - Nolla ja maksimipisteet saaneiden kokelaiden osuudet
Kun tarkastellaan kokelaiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä saamia suhteellisia keskimääräisiä pistemääriä, huomataan että ne ovat vaihdelleet kuuden prosenttiyksikön sisällä. Kuvaajassa 17 on näytetty, että
77% 69% 66%
Yli ja alle 50 % tehtävän maksimipisteistä saaneiden kokelaiden osuudet
alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä
49%
Nolla pistettä ja maksimisteet saaneiden kokelaiden osuudet
0 pistettä maksimipisteet
53
vuosina 2007–2011 kyseisen aihealueen tehtävästä saatiin keskimäärin 31 %, vuosina 2012–2018 keskimäärin 37 % ja vuosina 2019–2021 keskimäärin 33 % tehtävän maksimipistemäärästä. Lyhyen oppimäärän ylioppilaskokeissa ei siis ole havaittavissa trendiä, jossa suhteellinen keskimääräinen pistemäärä tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä olisi laskusuhdanteinen (vrt. pitkä oppimäärä, kuvaaja 10). Tutkitun aineiston perusteella lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyystehtävistä saadaan suhteellisesti mitattuna jopa hiukan enemmän pisteitä tuoreimpina ajanjaksoina, eli vuosina 2012–2018 ja 2019–2021, kuin vuosina 2007–2011.
Kuvaaja 17: Lyhyt matematiikka - Tilasto- ja todennäköisyystehtävistä saatujen pisteiden keskimääräinen suhteellinen osuus maksimipistemäärästä
Taulukossa 9 sekä kuvaajassa 18 on näytetty, miten kokelaat ovat keskimäärin suoriutuneet lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävissä. Tarkastelu on tehty kunkin Bloomin osaamistasoluokan kohdalla erikseen. Lyhyen oppimäärän kokeissa tehtävät sijoittuivat tasoille ”Ymmärtää”, ”Soveltaa”, ”Analysoida” ja ”Arvioida”.
”Ymmärtää”-tason tehtävistä keskimäärin 23 % kyseisen tehtävän valinneista kokelaista sai 0 pistettä, 69 % sai alle ja 31 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 10 % täydet pisteet. ”Soveltaa”-tason tehtävän valinneita kokelaista 33 % sai 0 pistettä, 67 % alle ja 33 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 16 % täydet pisteet. ”Analysoida”-tason tehtävistä suoriuduttiin keskimäärin seuraavasti: 0 pistettä sai 42 % tehtävän valinneista kokelaista, 74 % sai alle ja 26 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 12
31%
Tilasto- ja todennäköisyystehtävistä saatujen pisteiden keskimääräinen suhteellinen osuus maksimipistemäärästä
2007-2011 2012-2018 2019-2021
54
% sai täydet pisteet. ”Arvioida”-tasoisista tehtävistä keskimäärin 32 % tehtävän valinneista kokelaista sai 0 pistettä, 78 % alle ja 22 % yli puolet tehtävän maksimipistemäärästä ja 7 % sai täydet pisteet.
Isoa kuvaa tarkasteltaessa voidaan todeta, että alle 50 % tehtävän maksimipisteistä saaneiden kokelaiden osuus kasvaa tehtävän osaamistasovaateen kasvaessa. Samaa voidaan todeta, kun tarkastellaan 0 pisteen arvoisesti tehtävän suorittaneiden kokelaiden osuuksia. Yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden kokelaiden osuus näyttää pienenevän, mitä korkeamman osaamistasoluokan tehtäviä tarkastellaan. Vastaavasti täysien pisteiden arvoisesti tehtävän suorittaneiden kokelaiden osuus laskee tehtävän osaamistasovaateen noustessa.
Aivan saumatonta edellä kuvailtua ketjua kuvaajasta 18 ei kuitenkaan voida lukea. Esimerkiksi ”Soveltaa”-tason tehtävistä keskimäärin 16 % tehtävän valinneista kokelaista sai täydet pisteet, kun taas yhtä tasoa alempana, tasolla
”Ymmärtää”, vastaava tehtävän täysien pisteiden arvoisesti ratkaisseiden kokelaiden osuus on vain 10 %. ”Analysoida”-tasoisen tehtävän valinneista kokelaista keskimäärin 42 % sai nolla pistettä, ja vastaava osuus yhtä tasoa ylempänä, tasolla ”Arvioida”, on 32 %. Korkeampi tasoluokitus ei siis aina automaattisesti kerro, että kokelaat suoriutuisivat kyseisestä tehtävästä keskimäärin heikommin kuin alemman tasoluokan tehtävästä. Tätä ilmiötä voitaneen selittää muun muassa osaamistasoille sijoitettujen tehtävien moninaisuudella; kullekin tasolle sijoittui hyvin erityyppisiä ja erilaisia ratkaisumenetelmiä hyödyntäviä tehtäviä. Ilmiötä selittänee myös mahdollisten tyyppivirheiden vaikutus: kokelaiden ratkaisuissa saattaa esiintyä jokin yleinen tyyppivirhe, joka on omiaan viemään sekä kokelaan henkilökohtaisia tehtäväpisteitä että koko tutkintokerran tehtäväkohtaista pistejakaumaa alaspäin, vaikka kyseessä olisi verrattain alemman osaamistasoluokituksen tehtävä.
55
Lyhyt matematiikka
Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
selite
osuus tehtävän valinneista kokelaista
2. Ymmärtää 3. Soveltaa 4. Analysoida 5. Arvioida
0 pistettä 23 % 33 % 42 % 32 %
alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä
69 % 67 % 74 % 78 %
yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä
31 % 33 % 26 % 22 %
maksimipisteet 10 % 16 % 12 % 7 %
Taulukko 9: Lyhyt matematiikka - Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
Kuvaaja 18: Lyhyt matematiikka - Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
0%
20%
40%
60%
80%
100%
2. Ymmärtää 3. Soveltaa 4. Analysoida 5. Arvioida
Lyhyt matematiikka
Kokelaiden keskimääräinen suoriutuminen osaamistasoluokkien tehtävissä vuosina 2007–2021
0 pistettä alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä maksimipisteet
56
4 Tutkimustulokset ja pohdinta
Tässä osiossa esitetään tutkimustulokset ja vastataan tutkielman alussa esitettyihin tutkimuskysymyksiin. Osio on jaettu kolmeen alalukuun, joista kukin ottaa käsittelyyn yhden tutkielman tarkastelu-ulottuvuuden, ja sille esitetyn tutkimuskysymyksen. Alaluvut käsittelevät ratkaisumenetelmiä, osaamisen tasoja ja pistejakaumia. Alaluvut sisältävät myös tuloksiin liittyvää pohdintaa.
4.1 Ratkaisumenetelmät
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeissa ratkaisumenetelmiä on vuosina 2007–
2021 kysytty varsin laajasti. Erityisesti on tarvittu todennäköisyyden laskusääntöjä (kerto-, komplementti- ja yhteenlaskusääntö) sekä odotusarvon laskemista. Vuosien 2007–2011 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien ratkaisumenetelminä korostuvat eritoten edellä mainitut todennäköisyyden laskusäännöt. Tarkasteluvälillä 2012–2018 todennäköisyyksien laskusääntöjen lisäksi korostuu binomitodennäköisyys. Vuosina 2019–2021 kysytyimpien ratkaisumenetelmien joukkoon nousee edellä mainittujen lisäksi tilasto-, taulukkolaskenta- ja simulaatio-osaaminen. Sähköisen matematiikan ylioppilaskokeen aikana (2019–2021) 11 % kyseisen aihealueen tehtävistä peräänkuuluttaa tällaista ohjelmisto-osaamista.
Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden ratkaisumenetelmätarkastelussa käy ilmi, että todennäköisyyden laskusäännöillä on ollut huomattavan suuri painoarvo vuosina 2007–2011. Kyseisiä laskusääntöjä hyödynnetään ratkaisumenetelminä edelleen, mutta viimeisellä tarkasteluvälillä keskeisimmän ja käytetyimmän menetelmän paikan on ottanut taulukkolaskenta, jota tarvitaan peräti 31 % vuosien 2019–2021 tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä. Tämä voidaan nähdä myös isona lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen profiilimuutoksena. Tilastot ja todennäköisyys II -kurssin (MAB8) mukaantulo opetussuunnitelmaan ja matematiikan ylioppilaskokeen sähköistyminen lienevät painavimpia syitä lyhyen oppimäärän ratkaisumenetelmäkehikon uudistumiseen.
Huomionarvoista on myös todeta, että lyhyen oppimäärän koe näyttää menetelmätarkastelun perusteella profiloituneen paljon vahvemmin tilasto- ja taulukkolaskennan hyödyntäjänä verrattuna pitkän oppimäärän kokeeseen.
57
Eräs molempia oppimääriä yhdistävä havainto on normaalijakauman poistuminen ratkaisumenetelmien joukosta. Laskinohjelmistot lienevät pääsyy siihen, miksi normaalijakaumaa käsitteleviä tehtäviä ei tuoreimmalla tarkasteluvälillä niin pitkän kuin lyhyenkään oppimäärän kokeessa ollut lainkaan (ks. GeoGebra: Todennäköisyyslaskuri). On mielenkiintoista nähdä, miten matematiikan ylioppilaskoe tulee vastamaan tähän uudessakin LOPSissa määritettyyn sisältöalueeseen.
4.2 Osaamisen tasot
Pitkän matematiikan ylioppilaskokeen tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävät sijoittuvat vuosina 2007–2021 tasoille ”Soveltaa”, ”Analysoida”,
”Arvioida” ja ”Luoda”. Vuosien 2007–2011 tehtävät sijoittuvat tasoille ”Soveltaa”
ja ”Analysoida”, vuosien 2012–2018 tehtäviä sijoittuvat tasoille ”Soveltaa”,
”Analysoida” ja ”Arvioida”. Aikajänteen 2019–2021 tehtävät sijoittuvat yksinomaan tasoille ”Analysoida” ja ”Luoda”.
Kun kullekin Bloomin taksonomian tasolle annetaan tason vaativuutta kuvaava numero (”Muistaa” = 1, ”Ymmärtää” = 2, ”Soveltaa” = 3, ”Analysoida” = 4,
”Arvioida” = 5 ja ”Luoda” = 6), saadaan aikajänteiden tehtäville osaamistasoa kuvaavat keskiarvot. Keskiarvo pitkän matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien osaamistasotarkastelussa vuosina 2007–
2011 on 3,40, vuosina 2012–2018 keskiarvo on 3,94 ja vuosien 2019–2021 keskiarvo on 4,58. Keskiarvoluvuissa on havaittavissa hyvin selkeä nouseva trendi. Pitkän matematiikan tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävien keskimääräinen osaamistaso on noussut reilun yhden (1,18) tason ylemmäs, kun katsoo koko tarkastelujännettä 2007–2021.
Vaikkakin viimeisen tarkasteluajankohdan (2019–2021) tehtävien lukumäärä on pienempi (7 tehtävää), voidaan alustavia johtopäätöksiä kuitenkin tehdä.
Osaamistasotarkastelu näyttää, että tehtävien profiili on vuosien saatossa siirtynyt kohti korkeampia osaamisen tasoja. Mitä tuoreempi tarkasteluajankohta on kyseessä, sitä selkeämmin tarkastellut tehtävät sijoittuvat Bloomin taksonomian korkeammille tasoille. Vuosina 2019–2021 kokeeseen ilmestyivät ensimmäiset ”Luoda”-tason tehtävät. Tässä selittävänä tekijänä lienee juuri taulukkolaskennan mahdollistamat simulointia ja mallintamista mittaavat
58
tehtävät. Näissä tehtävissä peräänkuulutetaan erityisesti kokonaisuuksien hahmottamista ja ratkaisumenetelmän omatoimista luomista.
Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyysaiheiset tehtävät sijoittuvat vuosina 2007–2021 tasoille ”Ymmärtää”, ”Soveltaa”,
”Analysoida” ja ”Arvioida”. Vuosina 2007–2011 ja 2012–2018 tehtäviä sijoittuu kaikille edellä luetelluille tasoille. Vuosina 2019–2021 tehtäviä sijoittuu vain tasoille ”Soveltaa”, ”Analysoida” ja ”Arvioida”. Tarkasteluajankohta 2019–2021 erottuu edellisistä vuosiväleistä ”Arvioida”-tasolle sijoittuneiden tehtävien suhteellisesti suuremmalla määrällään. Lisäksi vuosina 2019–2021 ”Ymmärtää”-tasolle, aiemmista aikaväleistä poiketen, ei sijoittunut yhtään tehtävää.
Tuoreimmalla tarkasteluvälillä huomiota tosin herättää ”Soveltaa”-tasolle sijoittuneiden tehtävien edellisiä ajankohtia suhteellisesti runsaampi määrä. Tätä voinee osittain selittää toistokoe-tyyppisten tehtävien (k2018/9.2, s2018/9.2, k2019/9.2, k2020/9.2) sijoittumien kyseiselle tasolle. Toistokoetehtävät ovat ratkaisuiltaan hyvin suoraviivaisia; oikeanlainen kaavaan sijoittaminen nousee näissä tehtävissä keskiöön. Huomionarvoista on myös todeta, että lyhyen oppimäärän osalta osaamisen korkeimmalle tasolle ”Luoda” ei sijoittunut vuosina 2007–2021 yhtään tehtävää.
Lyhyen oppimäärän osalta kahden ensimmäisen tarkasteluajankohdan (2007–
2011 ja 2012–2018) tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävät ovat osaamistasoprofiililtaan suhteellisen samankaltaiset. Kun hyödynnetään edellä esitettyä numeroitua Bloomin taksonomian keskiarvotarkastelua, aikajänteiden 2007–2011 ja 2012–2018 tehtävien osaamistasokeskiarvoksi saadaan tässä järjestyksessä 3,65 ja 3,64. Viimeisen aikajänteen tehtävien osaamistason keskiarvoksi saadaan numeroidulla Bloomin asteikolla 3,87. Tämä osoittaa, että tehtävien keskiarvoisessa osaamistasoprofiilissa on tapahtunut muutosta kohti korkeampaa tasoluokitusta. Trendi ei kuitenkaan ole niin vahva kuin pitkässä oppimäärässä. Lyhyessä oppimäärässä tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ylioppilaskoetehtävien osaamistaso on noussut tarkasteluvälillä 2007–2021 noin viidennestasopykälän ylöspäin.
59
4.3 Pistejakaumat
Matematiikan pitkän oppimäärän ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan aihepiirien tehtävistä saatiin pisteitä suhteessa maksimipistemäärään seuraavasti: vuosina 2007–2011 saatiin keskimäärin 54 % tehtävän maksimipisteistä, vuosina 2012–2018 keskimäärin 46 % ja vuosina 2019–2021 keskimäärin 40 % täysistä pisteistä. Edellä kuvattu tehtäväkohtainen keskimääräinen laskeva pistesaldo käy yksiin osaamistasoluokituksessa havaitun muutosten kanssa; tehtävässä vaadittu osaamistaso kasvaa ja samalla keskimääräiset tehtäväkohtaiset pisteet vähenevät. Pitkän matematiikan tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtäväkohtaisten pistejakaumien yhteiseksi suunnaksi hahmottuu ääripäiden, eli nollan tai maksimipistemäärän, korostuminen: joko kokelas osaa tai ei osaa tehtävää. Tämä ääripäiden korostuminen näkyy selkeimmin vuosina 2007–2011 ja 2012–2018.
Kun pitkän oppimäärän ylioppilaskokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtäviä tarkastellaan yli ja alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden kokelaiden osuuksien kautta, havaitaan selkeästi, että alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden kokelaiden osuus on sitä suurempi, mitä tuoreemmasta aikajänteestä on kysymys. Tämä havainto käy niin ikään yksin osaamistasokeskiarvon nousujohteisuuden kanssa.
Pitkän oppimäärän suhteen kiintoisaksi havainnoksi nousee, että 0 pistettä ja maksimipisteet saaneiden kokelaiden osuudet ovat vuosien saatossa laskeneet.
Toisin sanoen ääripäiden korostuminen ei ole enää yhtä selkeää viimeisemmällä tarkasteluvälillä Tähän vaikuttanee osaltaan tehtävien arviointiskaalassa tapahtunut muutos: 0-6 pisteen arvioinnista siirryttiin keväällä 2019 0-12 pisteen arviointihaarukkaan. Tehtävän tarkastajalla näyttää siis olevan matalampi kynnys antaa oikeansuuntaisesta yrittämisestä pisteitä, mutta toisaalta korkeampi kynnys todeta tehtävä täysien pisteiden arvoisesti ratkaistuksi. Tutkijalle herääkin kysymys, vaaditaanko tehtävän ”täydelliseen suorittamiseen” sähköisen ylioppilaskokeen aikakautena enemmän kuin aiempina vuosina.
Lyhyessä oppimäärässä tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtävistä saatiin pisteitä seuraavasti: vuosina 2007–2011 keskimäärin 31 %, vuosina 2012–2018
60
keskimäärin 37 % ja vuosina 2019–2021 keskimäärin 33 % tehtävän maksimipistemäärästä. Vuosille 2012–2018 sijoittuu Bloomin numeroidulla asteikolla mitattuna osaamistasovaateeltaan helpoimmat tehtävät; tällöin myös keskimääräinen pistesaalis tehtävää kohden on korkeimmillaan. Erityisestä mielenkiintoa herättääkin vuosien 2007–2011 ja 2019–2021 tehtävien osaamistasojen ja pistemäärien suhteen tarkastelu. Tällöin päädytään havaintoon, jossa kasvanut osaamistasovaade ei vaikuta niin suuresti tehtävästä suoriutumiseen suhteellisen pistesaldon valossa.
Vuosina 2007–2011 tehtävät ovat lyhyen oppimäärän kokeissa Bloomin numeroidulla asteikolla mitattuna keskimäärin helpompia, mutta pisteitä saatiin suhteellisesti keskimäärin vähemmän kuin vuosina 2019–2021. Vastaava ilmiö nähdään myös toisinpäin kääntyneenä: vuosina 2019–2021 tehtävät ovat keskimäärin haastavampia, mutta pisteitä saatiin suhteellisesti keskimäärin enemmän kuin vuosina 2007–2011. Edellä kuvattua ilmiötä voidaan hahmottaa myös yli ja alle 50 % tehtävän maksimipisteistä saaneiden kokelaiden osuuksia tarkastelemalla. Kun tarkastellaan lyhyen oppimäärän tilasto- ja todennäköisyyslaskennan koetehtäviä yli ja alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä saaneiden kokelaiden osuuksien kautta, huomataan, että mitä tuoreempi aikajänne on kyseessä, sitä suurempi osuus kokelaista saa yli 50
% tehtävän maksimipistemäärästä. Vuosina 2007–2011 77 % kokelaista sai alle 50 % tehtävän maksimipistemäärästä. Vastaavasti 23 % kokelaista sai tuolloin yli 50 % tehtävän maksimipistemäärästä, vastaavat osuudet vuosina 2019–2021 ovat 66 % ja 34 %.
Edellä kuvattua ilmiötä voi osaltaan selittää ratkaisumenetelmätarkastelussa havaittu muutos, joka kertoo taulukkolaskentaosaamisen jopa dominoivan tuoreimmalla tarkasteluvälillä lyhyen oppimäärän kokeiden tilasto- ja todennäköisyyslaskennan tehtäväkenttää. Tällaiset tehtävät ovat omiaan asettumaan haastavuudeltaan ”Analysoida”- ja ”Arvioida”-luokkiin, koska tehtävissä yleisesti ottaen peräänkuulutetaan isomman kokonaisuuden hallintaa, tiedon pilkkomista pienempiin osiin ja kriittistä tarkastelua. Toisaalta tehtäväkohtaisia pisteitä voi saada hyvinkin monenlaisista taulukkolaskennallisista yrityksistä, ja absoluuttisesti ”väärään suuntaan” on
61
tällaisessa tehtävässä vaikeampi lähteä, ja tällä tavoin saada nolla pistettä (vrt.
todennäköisyyden laskusäännöt ja oikean menetelmän täsmällinen käyttö).
Eräänä selittävänä tekijänä voidaan pohtia myös kyseisten tehtävien valinneiden kokelaiden profiilia. Vuodesta 2019 alkaen taulukkolaskenta on dominoinut lyhyen matematiikan tilasto- ja todennäköisyyslaskennan ratkaisumenetelmäkenttää. Mikäli tehtävästä käy selkeästi ilmi, että se vaatii taulukkolaskentaosaamista, voitaneen olettaa, että kyseiseen tehtävään tarttuvat herkemmin ne kokelaat, jotka tuntevat taulukkolaskennan ja näin ollen suoriutuvat siitä suhteellisen ansiokkaasti. Taulukkolaskentatehtävää lähdetään harvoin vain ”kokeilemaan”, jos vaadittu ratkaisumenetelmä on täysin vieras.
Lyhyen matematiikan ylioppilaskokeen suorittavista kokelaista osa on myös varmasti jättänyt oppimäärän valinnaisen Tilastot ja todennäköisyys II -kurssin suorittamatta. Kyseinen kurssi keskittyy erityisesti taulukkolaskentaohjelmistojen käytön opetteluun. Tässä tapauksessa taulukkolaskentatehtävään tarttumiselle on varmasti korkeampi kynnys.
62
5 Loppulauseet
Tässä osiossa käydään keskustelua tutkimusaiheen tulevaisuuden näkymistä uuden opetussuunnitelman (LOPS, 2019) kautta. Osiossa esitetään myös tutkimusaiheen luotettavuustarkastelu ja virikkeitä jatkotutkimukselle.