i
Pro gradu -tutkielma Lokakuu 2018
Fysiikan ja matematiikan laitos Itä-Suomen yliopisto
PERUSTELEMINEN PITKÄN MATEMATIIKAN GEOMETRIAN
KURSSIN OPPIKIRJOISSA
Iiro Peltola
ii
Iiro Peltola Perusteleminen pitkän matematiikan geometrian kurssin oppikirjoissa
Itä-Suomen yliopisto
Fysiikan ja matematiikan laitos Matematiikan aineenopettajakoulutus Työn ohjaajat Tutkijatohtori Antti Viholainen
Tiivistelmä
Tutkielmalla haluttiin selvittää millä tavalla ja minkä verran lukion pitkän matematiikan geometrian kurssin eri oppikirjat perustelevat matemaattisia väittämiä. Lisäksi haluttiin selvittää millä tavoin oppikirjat havainnollistavat perusteluja ja millaisten asioiden perustelemista vaaditaan oppikirjan tehtävissä. Tutkimukseen kuuluu kvantitatiivinen ja kvalitatiivinen analyysi.
Kvantitatiivisessa tutkimuksessa analysoitiin molempien oppikirjojen jokainen teoriaosassa esitetty lauseen perustelu käyttäen tutkimusmenetelmissä esitettyä analysointityökalua. Perustelut luokiteltiin tutkimusmenetelmissä esitettyihin luokkiin, jotka ovat empiirinen perustelu, geneerinen perustelu, täsmällinen perustelu ja sivuutettu perustelu. Lisäksi kvantitatiivisessa tutkimuksessa luokiteltiin molempien oppikirjojen jokainen tehtävä sen mukaan, vaatiiko tehtävä perustelemista vai ei.
Kvalitatiivisessa tutkimuksessa tarkasteltiin oppikirjoissa esiintyviä perustelujen havainnollistamistapoja. Näitä tapoja olivat kuva, esimerkki, appletti ja video. Jokaisesta havainnollistamistavasta valittiin yksi esimerkki, jota analysoitiin.
Tutkimus osoitti, että kummankin oppikirjan lauseista noin puolet oli perusteltu ja puolet oli sivuutettu kokonaan tai jätetty harjoitustehtäväksi. Otavan Juuri -kirjan tehtävistä 19,2% ja SanomaPron Tekijä Pitkä matematiikka -kirjan tehtävistä 5,7% oli perustelemista vaativia. Suurimpana erona oppikirjoilla oli perustelemista vaativien tehtävien määrä. Kvalitatiivisessa tutkimuksessa ilmeni, että oppikirjat käyttävät erilaisia keinoja havainnollistamaan perusteluja. Teknologian mahdollistamat
iii
havainnollistamistavat ovat hyviä, mutta eivät korvaa vielä täysin täsmällisiä matemaattisia todistuksia.
iv
Abstract
The aim of this study was to find out how and how much geometry course’s textbooks in high school arguments mathematical statements. Furthermore, the aim was to find out how the textbooks visualize arguments and what kind of arguments are required to solve exercises. Both quantitative and qualitative analysis are included in the study.
The quantitative study analysed arguments of mathematical statements. All the arguments of each mathematical statement of both textbooks were analysed by using analytical tool which is presented in chapter 3.2. Arguments were classified into the categories which are empirical arguments, generic arguments, symbolic arguments and disregarded arguments. These categories are also presented in chapter 3.2. In addition, quantitative study categorised all the exercises of each textbooks whether the exercise required argumentation or not.
The qualitative study observed visualizations of arguments that were presented in the textbooks. The different ways to visualize arguments were a picture, an example, an applet and a video. One example of each way to visualize arguments were chosen to be analysed.
The study showed that about half of the mathematical statements had an argument and the other half the statements were disregarded. 19,2% of the Otava Juuri -books exercises and 5,7% of the SanomaPro Tekijä Pitkä matematiikka -books exercises required argumentation. The most significant difference between the textbooks were the amount of exercises that required argumentation. The qualitative study showed that the textbooks use different ways to visualize arguments. The ways to visualize arguments that are enabled by technology are valuable they do not replace correct mathematical proofs yet.
v
Esipuhe
Pro gradu -tutkielmani tekeminen alkoi jo viime syksynä, kun mahdollisia aiheita ohjaajani Antti Viholaisen kanssa. Nyt vuotta myöhemmin työ on saatettu viimein päätökseen ja myös oma opiskeluni saatettu päätökseen. Haluankin kiittää Antti Viholaista tutkielmani ohjaamisesta ja neuvoista siitäkin huolimatta, että asuin jo toisella paikkakunnalla.
Haluan myös kiittää opiskelukavereitani näistä opiskeluvuosista. Haluan myös kiittää lähipiiriäni tuesta ja kannustuksesta gradun kirjoittamisessa.
Helsingissä 21. lokakuuta 2018 Iiro Peltola
vi
Sisältö
1 Johdanto 1
2 Teoreettinen viitekehys 3
2.1 Matematiikan rakenne 3
2.2 Määritysongelma ja todistusongelma 5
2.3 Todistamisen tarpeellisuus opetuksessa 6
2.4 Perustelutavat 8
2.5 Aiemmat tutkimukset 11
3 Tutkimusmenetelmät 13
3.1 Tutkimusaineiston esittely 15
3.2 Luokittelukriteerit 16
3.3 Kvalitatiivinen analyysi 18
4 Tulokset 19
4.1 Lauseiden perustelujen luokitteleminen 19
4.2 Todistusongelmat oppikirjojen tehtävissä 25
4.3 Perustelujen havainnollistaminen 28
5 Pohdinta 33
5.1 Perustelutapojen vertailu 33
5.2 Todistusongelmat oppikirjoissa 35
5.3 Perustelujen havainnollistaminen 36
5.4 Tutkimuksen luotettavuus 37
vii
5.5 Jatkotutkimusaiheita 37
Viitteet 39
Liite A Juuri 3 Geometria -kirjan lauseet ja niiden perustelutavat 41 Liite B Tekijä Pitkä matematiikka 3 Geometria -kirjan lauseet ja niiden perustelutavat
45
1
Luku I 1 Johdanto
Todistaminen on matematiikan rakeenteen ydin, jota jokaisen matematiikkaa opiskelevan olisi syytä ymmärtää. Matemaattisten väitteiden todistamisen tarkoituksena on rakentaa aukoton rakenne, jossa kaikki epäily tehdään mahdottomaksi. Todistaminen tapahtuu aina aiemmin todistettujen ja määriteltyjen asioiden avulla, jolloin syntyy matematiikalle ominainen deduktiivinen rakenne (Malaty, 2003). Matemaattinen todistaminen on muodollinen tapa perustella väittämiä (National Council of Teachers of Mathematics, 2000-2004). Perustelutavat voidaan jakaa erilaisiin luokkiin sen mukaan, miten niissä käytetään kuvailevia esitysmuotoja (Reid & Knipping, 2010). Myös matematiikan tehtävät voidaan jaotella probleemoihin ja teoreemoihin. Tämän tutkielman kannalta teoreemat ovat mielenkiinnon kohteena, sillä teoreemoissa tehtävänä on osoittaa väite todeksi tai epätodeksi. Teoreemojen todistaminen onkin jo edistynyttä matematiikkaa.
Todistamisella on matematiikassa useita funktioita. Tärkeimmät funktiot opetuksen kannalta ovat asian oikeaksi vahvistaminen ja selitys miksi -kysymyksiin (Hanna, 2000).
Asioiden perustelemisen kautta opiskeltavat asiat linkittyvät toisiinsa ja muodostavat näin kokonaisuuksia, joita on helpompi oppia ja muistaa kuin yksittäisiä asioita (Pólya, 2014).
Todistukset voidaan esittää kokonaan tai vain se osa, mikä sen hetkisillä tiedoilla on mahdollista tehdä (Pólya, 2014).
Opetussuunnitelmassa on vahvasti esillä teknologian hyödyntäminen oppimisen työkaluna (Opetushallitus, 2015). Teknologian kehittyminen on edesauttanut uudenlaisten havainnollistamistapojen käyttöönottoon. Dynaamisilla matematiikan ohjelmilla on mahdollista havainnollistaa todistuksia ja käyttää niitä tehtävien
2
ratkaisemisen apuna. Nykyään lukio opiskelijoilla on käytössään tietokoneet, joten jokaisella on mahdollisuus käyttää näitä ohjelmia sekä koulussa että kotona.
Opetuksen kannalta tärkeässä roolissa on edelleen oppikirjat, jotka kootaan opetussuunnitelman perusteita noudattaen. Todistuksien ja perustelemisen kannalta on tärkeää, että oppikirjat tukevat ja auttavat opiskelijaa ymmärtämään todistuksia ja niiden merkitystä matematiikalle. Malatyn (2003) mukaan yksinkertaisten todistusten opettelu tulisi aloittaa jo alakoulussa ja perusopetuksen 7.-9. luokilla ja lukiossa pitäisi todistamista käyttää probleemien ratkaisuun.
Oppikirjoissa esiintyvät matemaattiset todistuksen ovat opiskelijoille vaikeita ymmärtää ja usein ne jätetään lukematta (Partanen, 2013). Opiskelijalle voikin olla hankalaa hahmottaa todistuksien tärkeys, jos jo itse todistuksia on hankalaa ymmärtää. Omalta lukio ajaltani muistan, kuinka yleensä jätin todistukset lukematta ja käytin suoraan ainoastaan lauseita ja niissä esiintyviä kaavoja ymmärtämättä, miten ja miksi ne on perusteltu. Tällä tutkimuksella haluankin selvittää minkälaisia perusteluja nykyisen opetussuunnitelman mukaiset oppikirjat sisältävät ja minkälaisia havainnollistamistapoja niissä käytetään. Lisäksi tarkastellaan oppikirjojen tehtäviä ja sitä, minkä verran niissä esiintyy tehtäviä, jotka vaativat perustelemista. Näillä kysymyksillä saadaan selville, mitkä lähtökohdat opiskelijoilla on oppia todistamista oppikirjojen avulla. Tutkittavaksi aiheeksi valikoitui geometria, koska se on oman kokemukseni ja myös Pólyan (2014) mukaan hyvä aihe oppia matemaattista todistamista.
Tutkielman toisessa luvussa esitetään taustatietoa matemaattisesta todistamisesta ja perustelemisesta. Luvussa esitetään myös todistamisen perustelemisen merkitystä opetuksessa ja tarkastellaan, mitä tavoitteita opetussuunnitelman perusteissa esiintyy todistamisen ja perustelemisen näkökulmasta. Luvussa esitetään myös tutkielman kannalta tärkeässä roolissa olevat perustelutavat ja aiheeseen liittyviä aikaisempia tutkimuksia. Kolmannessa luvussa esitetään tutkimusmenetelmät ja lyhyt esittely tutkimusaineistosta. Neljännessä luvussa esitetään tulokset tutkimuskysymyksiin.
Viidennessä luvussa pohditaan saatuja tuloksia, tutkimuksen luotettavuutta ja mahdollisia jatkotutkimusaiheita.
3
Luku II
2 Teoreettinen
viitekehys
Tutkielmassa perehdytään lukion pitkän matematiikan geometrian kurssin asioiden perusteluihin. Tämän luvun aluksi esitellään matematiikan rakennetta ja perustelemisen ja todistamisen merkitystä matematiikalle ja sen opetukselle. Lukion opetussuunnitelmaa tarkastellaan geometrian osalta sekä sitä, miten perusteleminen ja todistaminen on esillä annetuissa tavoitteissa ja sisällöissä. Tässä luvussa määritellään erilaiset perustelutavat.
Lisäksi tässä luvussa esitellään aiheeseen liittyviä aikaisempia tutkimuksia sekä niiden tuloksia.
2.1 Matematiikan rakenne
Matematiikka rakentuu lauseiden ja niiden todeksi todistamisen ympärille. Näitä lauseita kutsutaan teoreemoiksi. Teoreemoiden todistaminen tapahtuu aksioomien, määritelmien ja jo aiemmin todeksi todettujen teoreemoiden avulla. Korollaarit ovat seurauslauseita, jotka ovat välitön seuraus jostakin teoreemasta ja todistetaan tämän teoreeman avulla.
Teoreeman ja korollaarin yhteisnimityksenä voidaan käyttää sanaa väittämä. (Malaty, 2003; Haapasalo, 2011)
Matematiikan rakenne kasvaa siten, että aina yhdestä tai useammasta lauseesta voidaan muodostaa uusi lause. Tästä syystä matematiikan rakenne on deduktiivinen ja kasvaa kumulatiivisesti. Sana deduktio tulee latinan kielestä sanasta deducere, joka vapaasti suomennettuna tarkoittaa ”johtaa alas”. Kuva 1 havainnollistaa tätä rakennetta.
4
Matematiikan rakenne täydentyy, kun väittämien lisäksi otetaan mukaan määritelmät.
Malatyn (2003) mukaan perusopetuksen 7.-9. luokilla rakenteen pitäisi olla kunnossa määritelmien ja lauseiden osalta. Lukiossa mennään syvemmälle rakenteisiin tarkentamalla määrittelemättömien termien käyttöä. Ongelmallista on se, että perusopetuksen alkuvaiheissa rakennetta yksinkertaistetaan, jolloin syntyy virheitä, joita Kuva 1: Matematiikan rakenteen perusluonne.
5
on vaikea korjata myöhemmässä vaiheessa. Myös perusopetuksen 7.-9. luokilla sekä lukion matematiikka rakennettaessa virheitä tehdään. (Malaty, 2003)
2.2 Määritysongelma ja todistusongelma
Matematiikan kielessä on totuttu termeihin probleema ja teoreema. Näitä termejä kutsutaan kreikkalaisissa latinankielisissä kirjoituksissa yhteisellä nimellä propositio.
Näiden termien täsmällinen merkitys on kuitenkin nykyisessä matematiikan kielessä hälventynyt ja tilalle on otettu uudet termit määritysongelma ja todistusongelma. Uusista termeistä määritysongelma korvaa probleeman ja todistusongelma teoreeman.
Seuraavaksi tarkastellaan näiden uusien termien merkityksiä. (Pólya, 2014)
Pólya (2014 ss. 213-214) määrittelee määritysongelman seuraavasti:
”Määritysongelmassa tehtävänä on määrittää tuntemattoman objektin arvo”.
Määritysongelmat voivat olla erityyppisiä: teoreettisia tai käytännöllisiä, abstrakteja tai konkreettisia, merkittäviä ongelmia tai pulmatehtäviä. Määritysongelmassa tehtävänä on etsiä tuntemattomalle jokin merkitys annettujen tietojen ja ehtojen avulla. Esimerkiksi algebrallisissa tehtävissä tarkoituksena on etsiä tuntemattomalle jokin arvo tai geometrisissa tehtävissä tuntematon voi olla piirretty kuva.
Todistusongelmassa tehtävänä on etsiä aukottomat perustelut sille, onko jokin väite tosi vai epätosi. Todistusongelmassa vastataan siis kysymykseen ”onko väite tosi vai epätosi”.
Väite voi olla aseteltu kysymysmuotoon edellä mainitulla tavalla tai ilman kysymystä.
Esimerkkinä väite ”alkulukuja on ääretön määrä”. Yleensä matemaattinen todistusongelma sisältää jonkin oletuksen ja sitä seuraa jokin johtopäätös. Tyypillisiä matemaattisia todistusongelmia ovat implikaatio- tyyliset väitteet, eli ”jos (jokin oletus), niin (jokin johtopäätös). Usein väittämät ovat kuitenkin sellaisia, että niitä ei voida jakaa tällä tavalla oletuksiin ja johtopäätöksiin. Tästä esimerkkinä edellä mainittu alkulukuja koskeva väite. (Pólya, 2014; Haapasalo, 2011)
Määritysongelmat ovat merkittävässä osassa lukiomatematiikkaa, sillä suurin osa opiskelijoiden tehtävistä ovat määritysongelmia, kuten tästä tutkimuksestakin tulee käymään ilmi. Todistusongelmat kuuluvat hieman edistyneempään matematiikkaan, ja niiden avulla voidaan syventää omaa osaamista. (Pólya, 2014)
6
2.3 Todistamisen tarpeellisuus opetuksessa
Malatyn (2003) mukaan matematiikan rakenteessa kaiken keskiössä on todistaminen.
Tunnettu matemaatikko Karl Friedrich Gauss (1777-1855) on sanonut matemaattisen todistamisen tarkoittavan seuraavaa: ”Sanalla todistus en tarkoita sen merkitystä lakimiehelle, jotka tekevät kahdesta puolikkaasta todistuksesta yhden kokonaisen.
Tarkoitan sanan merkitystä matemaatikoille, jolloin puoli todistusta = 0. Todistuksesta vaaditaan, että kaikki epäily tulee mahdottomaksi” (Malaty 2003, s. 100). Opiskelijoille voi olla kuitenkin hankalaa päästä käsiksi todistuksien merkityksiin, sillä ne saattavat olla joko ilmiselviä tai vaikeasti ymmärrettäviä (Haapasalo, 2011; Partanen, 2013; Pólya, 2014).
Kuitenkaan todistamisen merkitys ei näy nykypäivänä matematiikan opetuksessa kuin vasta lukiossa ja se on Malatyn (2003) mukaan liian myöhäistä. Tätä asiaa tukee myöskin Isokäännän (2015) tekemä tutkimus, jonka mukaan yläkoulun oppikirjoissa esiintyy asioiden perustelemista todella vähän ja vasta lukion oppikirjat sisältävät todistamista.
Perusopetuksen vuosiluokilla 7-9 matematiikan tavoitteisiin kuuluu oppilaan päättelykykyjen ja perustelutaitojen vahvistaminen sekä tutustuminen todistamisen perusteisiin (Opetushallitus, 2014). Peruskoulun opetussuunnitelma sisältää todistamista, mutta oppikirjat hyvin vähän, joten jää opettajan vastuulle näiden asioiden esille tuominen opetuksessa (Isokääntä, 2015). Lukion opetussuunnitelmassa sanotaan, että opiskelija ”harjaantuu käsittelemään tietoa matematiikalle ominaisella tavalla, tottuu tekemään otaksumia, tutkimaan niiden oikeellisuutta ja laatimaan perusteluja sekä arvioimaan perustelujen pätevyyttä ja tulosten yleistettävyyttä” (Opetushallitus, 2015, s 131). Tavoitteet eivät suoraan mainitse todistamista, mutta sen voidaan katsoa liittyvän perustelemiseen. Myöskään pitkän matematiikan geometrian kurssin tavoitteissa ei mainita varsinaisesti todistamista, vaan se sisällytetään tavoitteeseen, jonka mukaan opiskelija ”harjaantuu muotoilemaan, perustelemaan ja käyttämään geometrista tietoa käsitteleviä lauseita” (Opetushallitus, 2015, s. 132).
Todistuksilla ja todistamisella on useita funktioita. Näitä funktioita ovat asian oikeaksi vahvistaminen, selitys miksi -kysymykseen, systematisointi, uusien tuloksien löytäminen ja matemaattisen tiedon välitys (de Villiers, 1990; Hanna, 2000). Hanna (2000) listaa vielä kolme funktiota, jotka ovat empiirisen teorian konstruktio, määritelmän tarkoituksen tutkiminen ja hyvin tunnetun faktan sisällyttäminen uuteen viitekehykseen ja sen tarkasteleminen uudesta näkökulmasta. Olennaisimpia funktioita ovat asian
7
oikeaksi vahvistaminen ja selitys miksi -kysymykseen (Hanna, 2000). Opetuksessa todistamista on luonnollisinta lähteä tarkastelemaan selityksenä ja korostaa erityisesti todistuksia, jotka vastaavat kysymykseen miksi (Hanna, 2000).
Todistamisen harjoittelussa geometriset todistusongelmat ovat erittäin hyviä.
Geometriassa todistusongelmien todistaminen tarjoaa helpon tavan tutustuttaa opiskelija täsmällisiin todistuksiin ja päätelmiin. Pólyan mukaan geometrian todistusongelmien todistukset antavat käsityksen siitä, mitä intuitiivinen todistus ja looginen päättely ovat ja siksi todistukset pitää ottaa osaksi opetusta ja antaa niille riittävästi aikaa. (Pólya 2014;
Malaty, 2003)
Monesti lukion pitkän matematiikan kurssien sisältö on hyvin laaja siihen käytettävissä olevaan aikaan nähden ja opettajan täytyy priorisoida, mitä asioita hän opettaa. Tällöinkin on kuitenkin syytä pitää todistaminen jollakin tavalla osana opetusta. Todistusten avulla eri asiat linkittyvät toisiinsa ja opiskelijan on helpompi muistaa kokonaisuuksia kuin monta yksittäistä asiaa. Tällöin korostuu yksinkertaistenkin todistusten tärkeys. (Pólya, 2014)
On tilanteita, joissa todistusten esittäminen kokonaisuudessaan ei ole järkevää.
Esimerkiksi tilanteissa, joissa asian todistaminen vaatii jotain tietoa, jota ei vielä opetuksessa ole käsitelty vaan tulee esille vasta myöhemmillä kursseilla. Tällöinkin todistuksesta kannattaa ottaa esiin se osa, joka sen hetkisillä tiedoilla on mahdollista suorittaa. Se osa, jota ei kyetä sen hetkisillä tiedoilla tekemään, voidaan sivuuttaa. Jos edes osaa todistuksista ei oteta mukaan opetukseen, saattaa opiskeltavan asian sisältö muodostua epäyhtenäiseksi ja vaikeasti muistettavaksi. (Pólya, 2014)
Monimutkaisten ja haastavien todistusten esittäminen ei välttämättä ole järkevää. Tässä tapauksessa yhtenä vaihtoehtona on todistuksen esittäminen epätäydellisenä.
Epätäydellisessä todistuksessa ei oteta kaikkia yksityiskohtia huomioon vaan tarkoituksena on luoda edes jonkintasoinen perustelu väittämälle. Tällä tavoin opetukseen saadaan lisää mielenkiintoa ja johdonmukaisuutta. Myös tällä tavalla asiat linkittyvät toisiinsa eikä opiskeltavat asiat jää irrallisiksi ja asioiden muistaminen helpottuu. On tärkeää, että epätäydellistä todistusta esittäessä, tehdään selväksi, että kyseinen todistus ei ole täsmällinen, jotta opiskelija ei saa väärää käsitystä, mitä todistaminen on. (Pólya, 2014; Reid & Knipping, 2010)
8
Lauseiden perusteluja voidaan havainnollistaa erilaisilla keinoilla. Graafisia esityksiä ja muita visuaalisia apukeinoja on pitkään käytetty perustelujen ymmärtämisen tukena, mutta tietokoneiden kehittymisen myötä mahdollisuudet erilaisin visuaalisin havainnollistamiskeinoihin ovat lisääntyneet. Havainnollistamistapoja voidaan käyttää joko teorian todistamiseen ja itse todistamisen tarkasteluun. On myös tutkittu sitä, voiko visuaaliset havainnollistamistavat hyväksyä perinteisen todistamisen rinnalla. (Hanna, 2000)
2.4 Perustelutavat
Matematiikan väitteet ja lauseet voidaan perustella eri tavoilla. Perustelutapojen yksiselitteinen määrittely on hankalaa, sillä eri lähteiden määritelmien kriteerit ovat ristiriitaisia (Reid & Knipping, 2010). Tässä työssä perustelutavat määritellään sen mukaan, millä tavalla niissä käytetään kuvailevia esitysmuotoja. Reidin ja Knippingin (2010) mukaan perustelutavat voidaan jakaa neljään luokkaan: empiirinen, geneerinen, symbolinen ja formaali. Edellä mainitut luokat voidaan vielä jaotella alaluokkiin. Tässä työssä esitellään nämä alaluokat, mutta luokittelu tehdään ainoastaan näihin neljään luokkaan.
Empiirisessä perustelutavassa väitettä osoitetaan todeksi yksittäisellä esimerkillä. Kun yksittäiset esimerkit toteuttavat väitteen, yleistetään tämä koskemaan kaikkia mahdollisia tapauksia. Yksittäiset esimerkit eivät edusta mitään muuta kuin itseään. Tämä luokka ei ota kantaa siihen, toteuttaako mikä tahansa tapaus kyseisen väitteen. Perustelutavassa käytetyt esitystavat eivät ole kuvailevia. Tämän perustelutavan alaluokkia ovat yksinkertainen luetteleminen (simple enumeration), mallin laajentaminen (extending a pattern), ratkaiseva kokeilu (crucial experiment), laji tai tyyppi (kinds or types) sekä hahmotteleva todistus järjestelmä (perceptual proof scheme).
Perustelu, jossa väitteen ominaisuudet havaitaan muutamalla esimerkillä, jonka jälkeen ominaisuus yleistetään koskemaan kaikkia tapauksia, kutsutaan yksinkertaiseksi luetteloksi. Tästä perustelutavasta on esimerkki Kuvassa 2. Jos perustelun yksittäiset esimerkit ovat peräkkäisiä siten, että niiden välillä havaitaan jokin malli, jonka jälkeen voidaan olettaa, että malli jatkuu edelleen samanlaisena kaikille tapauksille, kutsutaan tätä mallin laajentamiseksi. Tästä perustelutavasta on esimerkki Kuvassa 3, jossa perustellaan kahden negatiivisen luvun tuloa.
9
Kuva 2: Yksinkertaisen luettelemisen esimerkki. (Reid & Knipping, 2010, s. 131) Ratkaisevassa testissä väite osoitetaan todeksi yhdellä ainoalla esimerkkitapauksella.
Esimerkki tapaus valitaan siten, ettei se ole liian erityinen. Joissakin tapauksissa väite voidaan pilkkoa osiin, eli yhdestä väitteestä muodostetaan osaväitteitä. Jos osaväitteet voidaan osoittaa todeksi esimerkeillä, voidaan yleistää, että alkuperäinen väite on näiden perusteella tosi. Tätä alaluokka kutsutaan nimellä laji ja tyyppi. Empiiriseen perustelutapaan voidaan myös sisällyttää alaluokka, jossa kuva esimerkki toimii perustelun pohjana ilman, että sitä käytetään kuvailevana esitysmuotona. Tässä alaluokassa yhdellä kuvan avulla yleistetään väite todeksi kaikille tapauksille. Tätä alaluokkaa kutsutaan hahmottelevaksi todistus järjestelmäksi.
Kuva 3: Mallin laajentamisen esimerkki. (Reid & Knippin, 2010, s. 132) Geneerisissä perusteluissa vain itseään edustavien esimerkkien sijaan on esimerkkejä, jotka edustavat laajempaa ryhmää tapauksia. Tämä tarkoittaa sitä, että vaikka esimerkissä tarkastellaan vain yhtä tiettyä tapausta, tämä tapaus ei siinä edusta itseään vaan mitä tahansa muuta tapausta. Esimerkkien tyylien mukaan, tämä perustelutapa voidaan jakaa alaluokkiin: numeerinen (numeric generic examples), konkreettinen (concrete generic examples), kuvallinen (pictorial generic examples) ja tilannekohtainen (situational generic examples).
10
Numeerisessa geneerisessä alaluokassa väitteen perusteleminen tehdään tietyllä tapauksella, mutta väitteen otaksuma tulkitaan yleisellä tapauksella. Konkreettista geneeristä perustelua kutsutaan myös nimellä toiminnallinen perustelu. Konkreettisesta geneerisestä perustelusta on esimerkki Kuvassa 4. Perustelu jaetaan neljään vaiheeseen.
Ensimmäisessä vaiheessa valitaan jokin tapaus väittämästä, joka ei ole liian monimutkainen, muttei myöskään triviaali. Tämän jälkeen valitaan jokin tapausta symboloiva kuvaus liittyen valittuun tapaukseen. Tämän jälkeen suoritetaan konkreettisia toimia, esimerkiksi piirretään kuva tai käsitellään lausekkeita, jolla tarkistetaan tapauksen paikkansa pitävyys. Toisessa vaiheessa valitaan muita vastaavia tapauksia pitäen yleisteema muuttumattomana, mutta vaihdetaan tilanteen rajoitteita.
Jokaisessa tapauksessa väittämä tarkistetaan olevan tosi, kuten ensimmäisessä vaiheessa.
Kolmas vaihe alkaa siitä, kun tapauksia pystytään osoittamaan paikkansa pitäviksi ilman konkreettisia toimia. Tässä vaiheessa tapauksia käsitellään vain mielessä niin pitkään, kunnes tekijä on varma, että hallitsee tavan, jolla mikä tahansa tapaus käsiteltäisiin.
Neljännessä vaiheessa yritetään määrittää tapausten ryhmä, jossa tämä metodi toimii. Kun konkreettisessa geneerisessä perustelussa konkreettiset toimet suoritetaan ainoastaan mielessä ja kuvaa käytetään suoraan perusteluun, saadaan uusi alaluokka, jota kutsutaan kuvalliseksi geneeriseksi perusteluksi. Tilannekohtaisessa geneerisessä perustelussa käytetään apuna tosielämän tilanteita.
11
Kuva 4: Konkreettisen geneerisen perustelun esimerkki. (Reid & Knipping, 2010, s. 136)
Symbolista perustelua pidetään oikeana matemaattisena perustelutapana, jossa käytetään sanoja ja symboleita kuvailuina. Tässä perustelutavassa sanat ja kirjaimet edustavat muuta kuin itseään. Perustelutapa voidaan jakaa kahteen alaluokkaan sen perusteella, miten niissä käytetään symboleita ja sanoja. Kerronnallisessa alaluokassa käytetään pääosin sanoja ja symbolisessa pääosin symboleja. (Reid & Knipping, 2010)
Formaalissa perustelutavassa symbolit eivät kuvaa mitään. Perusteluissa käytetään joitakin merkitseviä sanoja, mutta niitä ei lasketa osaksi perustelua, ainoastaan ohjaamaan lukijaa. Perustelutavalle ominaista on se, että jokainen olettamus ja sääntö on tarkoin määritelty. (Reid & Knipping, 2010)
2.5 Aiemmat tutkimukset
Lukion pitkän matematiikan geometrian kurssin oppikirjoja on tutkittu aikaisemminkin.
Tähän on poimittu muutama Itä-Suomen yliopistossa tehty tutkimus, jotka liittyvät todistamiseen lukion opetuksessa sekä geometrian kurssin oppikirjoihin.
12
Isokääntä (2015) on esitellyt omassa pro gradu -tutkielmassaan, miten geometriaa käsitellään ja aihetta opetetaan yläkoulun ja lukion oppikirjoissa. Isokäännän (2015) tulokset ovatkin hyvä vertailukohta tämän tutkimuksen tuloksille. Tutkielmassa on myös perehdytty siihen, kuinka ja miten paljon asioita perustellaan ja todistetaan. Isokääntä sai tutkimuksessaan selville, että yläkoulun oppikirjoissa matematiikan asioita perustellaan ja todistetaan vain vähän. Merkittävää on, että Malatyn (2003) tekemä huomio siitä, että asioita ei perustella yläkoulussa ei ole juurikaan muuttunut reilussa kymmenessä vuodessa. Lukion pitkän matematiikan oppikirjoista Isokäännän tutkimuksessa olivat tutkittavana Otavan Lukion Calculus 2 ja SanomaPron Pitkä matematiikka 3. Otavan kirjan teoriaosuuden lauseista seitsemään oli esitetty todistus ja SanomaPron kirjan lauseista viiteen. Isokäännän tutkimuksen oppikirjat olivat vuoden 2003 opetussuunnitelman mukaisia, kun taas tämän tutkimuksen oppikirjat ovat uuden, vuoden 2015 opetussuunnitelman, mukaisia. Tämän tutkimuksen tuloksista selviää, onko tämän suhteen tapahtunut kehitystä.
Partanen (2013) tutki pro gradu -tutkielmassaan lukiolaisten tottumuksia kurssikirjojen käytössä. Partasen tutkimuksessa selvitettiin, ovatko oppikirjoissa oleva teoria sekä teoriaosiossa esillä olevien asioiden perustelut selkeitä ja hyödyllisiä opiskelijoiden näkökulmasta. Partasen mukaan eniten teorian käyttöön vaikuttaa opettajan käytänteet opetuksessa. Teoria ja siinä esiintyvät perustelut mielletään usein vaikeiksi ymmärtää, siispä opiskelijat kokevat, että eniten hyötyä on teoriassa esiintyvistä kaavoista. Vaikka opiskelijat eivät välttämättä käytä oppikirjan teoriaa apunaan, koetaan se usein kuitenkin hyödylliseksi. Tutkimuksesta käy ilmi, että eniten oppikirjojen teoriaa luetaan ennen koetta.
Oppilaiden geometrian oppimista ja geometrisen ajattelun kehittymistä on tarkasteltu Partasen (2016) pro gradu –tutkielmassa. Tutkimuksesta käy ilmi, että riippuu opetusmetodeista, miten oppilaat sisäistävät tiedon geometrisista todistuksista ja lauseista. Nykyisessä opetuksessa olisi tärkeää, että oppija saa itse osallistua todistuksen rakentamiseen.
13
Luku III 3 Tutkimusmenetelmät
Tutkimuksen tarkoituksena on selvittää, kuinka paljon lukion pitkän matematiikan geometrian (MAA3) kurssin oppikirjat sisältävät opeteltavien asioiden perusteluja.
Tutkimuksessa tarkastellaan myös sitä, millä tavoilla perusteluja yritetään havainnollistaa. Lisäksi halutaan selvittää, minkä verran perustelua vaativia tehtäviä esiintyy oppikirjan tehtävissä. Hypoteesina on, että suurin osa oppikirjassa esiintyvistä lauseista on perusteltu jollakin tavalla. Tutkimuksessa kvantitatiivinen ja kvalitatiivinen osa. Aineistona käytettiin Otavan Juuri 3 Geometria (Hähkiöniemi, Juhala, Juutinen, Louhikallio-Fomin, Luoma-aho, Raittila & Tikka, 2016) -oppikirjaa sekä SanomaPron Tekijä Pitkä matematiikka 3 Geometria (Heiskanen, Kaakinen, Lehtinen, Lehtonen, Leikas & Tahvanainen, 2016) -oppikirjaa. Molemmat oppikirjat ovat kirjoitettu vuoden 2015 lukion opetussuunnitelman perusteiden pohjalta.
Tutkimukselle asetettiin seuraavat tutkimuskysymykset:
1. Minkä verran oppikirjassa esiintyy perustelua?
2. Minkä tyyppisiä perusteluja oppikirjassa esitetään?
3. Millä keinoilla oppikirjan perusteluja havainnollistetaan?
Tutkimuksen kvantitatiivisessa osassa luokitellaan molempien oppikirjojen kaikkien lauseiden perustelut. Lauseet ovat merkitty molempiin oppikirjoihin selkeästi korostettuun laatikkoon, jossa lukee ”Lause”. Osaan lauseista perustelu on merkitty lauseen jälkeen erikseen kohdassa ”Todistus”. Osaan lauseista on perusteltu muutoin kuin
14
todistamalla. Esimerkiksi epätäydelliset todistukset (Pólya, 2014, s. 223) tai lauseen kaavan johtaminen ennen varsinaista lausetta. Tässä tutkimuksessa näitä tilanteita käsitellään samalla periaatteella kuin erikseen merkittyjä todistuksia. Näistä tilanteista esimerkit kuvissa 5 ja 6.
Kuva 5: Esimerkki lauseesta, joka perustellaan ennen varsinaista lausetta.
(Hähkiöniemi ym., 2016 s. 51)
15
Kuva 6: Esimerkki lauseesta, joka johdetaan ennen varsinaista lausetta.
(Heiskanen ym., 2016 s. 24)
Luokitelluista todistuksista lasketaan kunkin luokan prosenttiosuus ja tehdään vertailua oppikirjojen välillä. Luokittelujen kriteerit esitetään luvussa 3.2. Lisäksi oppikirjojen tehtävien luokittelu suoritetaan kvantitatiivisesti.
Kvalitatiivisessa osassa tarkastellaan oppikirjojen lauseiden perustelujen havainnollistamistapoja. Jokaisesta havainnollistamistavasta valitaan yksi esimerkkitapaus, jota analysoidaan.
3.1 Tutkimusaineiston esittely
Otavan Juuri kirjan sisältö jakautuu neljään lukuun, jotka edelleen on jaettu kolmeen tai neljään alalukuun. Jokainen luku alkaa kahdella ennakkotehtävällä, helpolla ja vaikealla,
16
joiden tarkoituksena on johdatella opiskelijaa tulevaan aiheeseen. Alaluvut ovat rakennettu siten, että aluksi tulee teoriaosa, joka sisältää myös esimerkkejä. Teoriaosan jälkeen tulevat tehtävät, jotka on jaettu ydin-, vahvistaviin- ja syventäviin tehtäviin.
Osaan tehtävistä on saatavilla vihje kirjan takaosassa. Kirja sisältää verkkomateriaalia, jossa on digijohdantoa, teorian havainnollistamista sekä tehtäviin liittyviä Geogebra- applikaatioita ja opetusvideoita (Otava Oppimisen palvelut). Jos kirjassa tiettyyn asiaan littyy verkkomateriaalia, on se merkitty erikseen logolla. Verkkomateriaali on saatavilla ilman digikirjan ostamista. (Hähkiöniemi ym., 2016)
SanomaPron Tekijä kirjan rakentuu vastaavalla tavalla kuin Otavan Juuri kirjakin. Lukuja tässä kirjassa on viisi ja luvut jakautuvat kahdesta neljään alalukuun. Käyttäjälle kirjan etenemisestä kerrotaan seuraavaa: ”Luvun avaa tutkimus tai johdanto, joka ohjaa opiskelijan löytämään uutta tietoa. Uusi teoreettinen tieto esitetään täsmällisesti määritelminä ja lauseina, jotka perustellaan. Esimerkit ohjaavat löydetyn tiedon soveltamiseen. Teoria ja esimerkit on kirjoitettu niin, että opiskelija voi omaksua ne itsenäisesti, ja siksi kirja tukee hyvin myös käänteisen opetuksen menetelmiä”
(Heiskanen ym., 2016). Kirjan tehtävät jaetaan kahteen sarjaan, joista ensimmäinen sisältää perustehtäviä ja toinen sarja sekä perustehtäviä että vaativampia tehtäviä. Kirjan tehtäviin löytyy vastaukset ja osaan tehtävistä on annettu vihje tai ratkaisun vaiheet kirjan lopussa. Osaan tehtävistä on opetusvideo opiskelijan digikirjassa, joka vaatii kirjautumista. (Heiskanen ym., 2016)
3.2 Luokittelukriteerit
Oppikirjoissa esiintyviä lauseiden perusteluja analysoidaan alla olevan analysointityökalun avulla. Analysointityökalu perustuu Reidin & Knippingin (2010) tekemiin todistusten luokitteluihin. Perusteluluokkien hienojako ei ole mielekästä, sillä analysoitavana on suhteellisen pieni määrä lauseiden perusteluita. Tästä syystä käytämme ainoastaan luvussa 2.4 esitettyjä perustelujen pääluokkia. Luokitteluja on muokattu siten, että ne koskevat samalla myös muitakin perusteluja kuin ainoastaan todistuksia. Samalla myös muokattu siihen suuntaan, että ne soveltuvat käytettäväksi lukion oppikirjassa esiintyviin perusteluihin. Formaali perusteluluokka on jätetty pois, sillä kyseisen perusteluluokan kuvaukseen ei sovi yksikään oppikirjoissa esiintyvä perustelu. Myös
17
symbolisen perusteluluokan nimi on muutettu täsmälliseksi perusteluksi. Sana symbolinen voi olla tässä tapauksessa harhaanjohtava, sillä kyseiseen perusteluluokkaan kuuluvat myös sanalliset perustelut. Kukin perustelu voi kuulua ainoastaan yhteen luokkaan. Mikäli lause sisältää useampia väittämiä (esim. a ja b kohta) käsitellään nämä erillisinä lauseina. Ja tarkastelun kohteena ovat ainoastaan perustelut, jotka on esitetty oppikirjassa. Tähän luokitteluun ei siis huomioida perusteluja, jotka on esitetty digikirjoissa.
Perustelut luokiteltiin neljään seuraavaan luokkaan:
1. Empiirinen perustelu
• Perustelussa esiintyvät numerot edustavat ainoastaan itseään.
• Perustelussa esiintyvä kuvahahmotelma edustaa ainoastaan itseään.
• Yksittäisestä esimerkistä tehdään yleistys koskemaan kaikkia tapauksia.
2. Geneerinen perustelu
• Perustelussa yksittäinen esimerkki edustaa itsensä lisäksi myös yleistä tapausta.
• Yleinen tapaus voidaan perustella usealla esimerkki tapauksella.
• Vaikka perustelussa käytettävässä kuvassa muuttujilla on tietyt arvot, ne edustavat kuitenkin yleistä tapausta.
• Perustelussa käytetään yleistä muuttujaa, mutta ei käsitellä kaikkia tapauksia.
• Perustelussa voidaan käyttää apuna tosielämän tilanteita.
3. Täsmällinen perustelu
• Perustelussa käytetään ainoastaan yleistä muuttujaa.
• Perustelu voi sisältää sanoja ja symboleja tai vain toista näistä.
• Yleensä perustelut, jotka ovat ”Todistus” osassa.
4. Sivuutettu perustelu
• Lauseen yhteydessä on erikseen sanottu, että lauseen todistus sivuutetaan.
• Lause ei sisällä perustelua, eikä sen yhteydessä ole viittausta, että perustelu on esitetty.
18
• Lauseen perusteleminen on harjoitustehtävänä tai esitetään myöhempien kurssien oppikirjoissa.
Oppikirjojen tehtävien luokittelussa tarkastellaan ainoastaan sitä, onko tehtävä todistusongelma (Pólya, 2014) vai ei. Tehtävä lasketaan todistusongelmaksi, jos koko tehtävä tai osa siitä sisältää vaiheen, jossa pyydetään osoittamaan tai todistamaan jotain.
Tehtävänanto siis sisältää sanan ”osoita” tai ”todista”. Yksinkertaisimmillaan todistusongelma voi olla tehtävä, jossa pyydetään perustelemaan ”onko väite tosi vai epätosi” tyyppinen tehtävä. Kriteerinä on siis se, että tehtävässä pyydetään todistamaan, osoittamaan tai perustelemaan jotakin. Todistusongelmaksi lasketaan nekin tehtävät, joissa vain joku tehtävän osa vaatii perustelua.
3.3 Kvalitatiivinen analyysi
Tutkimuksen laadullisessa analyysissa tarkastellaan oppikirjojen lauseiden perustelujen havainnollistamistapoja. Havainnollistamistapoja on kaikkiaan neljä: kuva, esimerkki, appletti ja video. Nämä neljä perustelutapaa ovat valittu siksi, että ne kuvaavat hyvin perinteisiä havainnollistamistapoja (kuva ja esimerkki) sekä teknologian kehittymisen mahdollistamia havainnollistamistapoja (appletti ja video). Jokaisesta havainnollistamistavasta valitaan yksi esimerkkitapaus, jota analysoidaan.
19
Luku IV 4 Tulokset
Tässä luvussa esitellään tutkimuksen tuloksia. Luokiteltu aineisto esitetään samassa järjestyksessä kuin ne esiintyvät oppikirjoissa ja ne käsitellään oppikirjan luku kerrallaan.
Tulokset esitetään taulukoina, joihin on laskettu eri perustelutapojen osuudet prosentteina. Lopuksi esitetään myös molempien oppikirjojen lauseiden perustelutapojen yhteenveto. Toisessa alaluvussa tarkastellaan oppikirjan tehtäviä, jotka luokitellaan todistusongelmiksi ja täten vaativat perusteluja tai todistamista. Myös ne esitetään oppikirjan luku kerrallaan.
4.1 Lauseiden perustelujen luokitteleminen
Käsitellään aluksi Juuri -oppikirjan lauseiden perusteluja. Alla olevaan taulukkoon on koottu kirjan kaikkien lauseiden perustelujen luokittelu. Lisäksi edellä tulee sanallinen kuvaus lauseiden perustelujen jakautumisesta kirjan eri luvuissa. Lauseet ja niiden perustelutavat on esitetty Liitteessä A.
20
Taulukko 1. Otavan Juuri -kirjan lauseiden (36 kappaletta) perusteluiden jakauma.
Perustelutapa Luku/perustelujen
määrät
Empiirinen Geneerinen Täsmällinen Sivuutettu Yhteensä
1. Tasogeometrian peruskäsitteitä
1 0 4 7 12
2. Trigonometria 0 2 3 0 5
3.Ympyrä ja kolmion merkilliset pisteet
0 1 6 5 12
4. Avaruusgeometria 1 0 2 4 7
Yhteensä 2 3 15 16 36
Tasogeometrian peruskäsitteitä luvussa ei ollut perusteluja, jotka kuuluivat geneeriseen perustelutapaan. Empiirisellä perustelutavalla oli perusteltu yksi luvun lauseista. Neljä lausetta oli perusteltu täsmällisellä perustelutavalla. Loput, eli seitsemän lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi.
Toisessa luvussa on ainoastaan viisi lausetta, joista jokaiseen on esitetty perustelut.
Perusteluista kaksi oli toteutettu geneerisellä perustelutavalla ja kolme täsmällisellä perustelutavalla.
Kolmannessa luvussa oli yhteensä 12 lausetta, joista yhteenkään ei ollut käytetty empiiristä. Geneeristä perustelutapaa oli käytettä yhteen lauseista. Puolet, eli kuusi lauseista oli perusteltu käyttäen täsmällistä perustelutapaa. Lauseiden perusteluista viisi oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi.
Viimeisen luvun lauseiden perusteluissa ei käytetty geneeristä perustelutapaa.
Empiirisellä perustelutavalla oli perusteltu yksi luvun lauseista. Täsmällisellä
21
perustelutavalla oli perusteltu kaksi luvun lauseista. Sivuutettuja tai harjoitustehtäväksi jätettyjä lauseiden perusteluja luvussa oli neljä.
Kaikkiaan oppikirjan sisälsi 36 lausetta. Lauseista kaksi oli perusteltu käyttämällä empiiristä perustelutapaa. Vastaavasti geneeristä perustelutapaa oli käytetty kolmessa lauseessa. Täsmällistä perustelutapaa oli käytetty kaikkiaan 15 kertaa. Loput ja samalla suurin osa tämän oppikirjan lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi, kaikkiaan 16 kappaletta.
Esitetään seuraavaksi tulokset SanomaPron Tekijä Pitkä matematiikka -kirjan lauseiden perusteluista. Lauseiden perustelujen jakaumasta esitetään sanallinen kuvaus vastaavalla tavalla kuin Juuri -kirjan tapauksessa. Lauseet ja niiden perustelutavat on esitetty Liitteessä B.
Taulukko 2. SanomaPron Tekijä Pitkä matematiikka -kirjan lauseiden (41 kappaletta) perusteluiden jakauma.
Perustelutapa
Luku Empiirinen Geneerinen Täsmällinen Sivuutettu Yhteens ä 1.Tasogeometrian
perusteita
0 2 2 11 15
2.Yhdenmuotoisuus 0 2 1 0 3
3. Kolmio 0 1 3 3 7
4. Ympyrä 0 3 1 3 7
5.Avaruusgeometria 0 1 2 6 9
Yhteensä 0 9 9 23 41
22
Ensimmäisessä luvussa ei käytetä empiiristä perustelutapaa. Geneerisellä ja täsmällisellä perustelutavalla oli molemmilla perusteltu kaksi luvun lauseista. Loput luvun lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi opiskelijalle, kaikkiaan 11 kappaletta.
Yhdenmuotoisuus luvun lauseiden perusteluissa oli käytetty vain geneeristä tai täsmällistä perustelutapaa. Lauseista kaksi oli perusteltu käyttäen geneeristä perustelutapaa ja yksi oli perusteltu käyttäen täsmällistä perustelutapaa.
Kolmannessa luvussa empiiristä perustelutapaa ei käytetty yhdenkään lauseen perusteluissa. Geneerisellä perustelulla oli perusteltu yksi luvun lauseista. Täsmällisellä perustelutavalla oli perusteltu kolme lausetta. Samoin kolme luvun lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi.
Neljännessä luvussa ei käytetty empiiristä perustelutapaa lauseiden perustelussa.
Täsmällistä perustelutapaa käytettiin yhdessä lauseessa. Geneeristä perustelutapaa oli käytetty kolme kertaa. Saman verran lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi.
Viimeisenkään luvun lauseissa ei käytetty lainkaan empiiristä perustelutapaa. Sen sijaan geneerisiä perusteluita oli yksi kappale ja täsmällisiä kaksi kappaletta. Kaikkiaan kuusi tämän luvun lauseiden perusteluista oli sivuutettua tai jätetty harjoitustehtäväksi.
Kaikkiaan Tekijä Pitkä matematiikka -kirjassa oli 41 lauseeksi nimettyä teoreemaa. Kirja ei sisältänyt yhtäkään lausetta, joka olisi perusteltu käyttäen empiiristä perustelutapaa.
Sen sijaan geneeristen ja täsmällisten perustelutapoja määrä oli molemmilla yhdeksän kappaletta. Yli puolet lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi, kaikkiaan 23 kappaletta.
Yhteenvetona voidaan laskea, minkä verran mitäkin perustelua oli käytetty molemmissa kirjoissa yhteensä. Tämä jakauma on esitetty seuraavassa taulukossa.
23
Taulukko 3. Molempien oppikirjojen yhteenlasketut lauseiden (77 kappaletta) perustelut ja niiden osuudet.
Empiirinen Geneerinen Täsmällinen Formaali Sivuutettu
Yhteensä: 2 12 24 0 39
Prosentteina: 2,6% 15,6% 31,2% 0% 50,6%
Empiirisen perustelutavan osuus kaikista perusteluista oli 2,6%, geneerisen perustelutavan osuus 15,6% ja täsmällisen perustelutavan 31,2%. Noin puolet oppikirjojen lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi.
Seuraavaksi esitetään jokaisesta perusteluluokasta yksi esimerkki lause ja sen perustelu.
Ensimmäisenä esimerkki empiirisen perusteluluokan lauseen perustelusta, joka on esitetty Kuvassa 5. Tämä perustelu on luokiteltu empiiriseksi, koska lause on perustelu ainoastaan neliön tapauksessa. Neliön tapauksesta on tehty suoraan yleistys koskemaan kaikkia yhdenmuotoisia tasokuvioita.
Seuraavaksi esimerkki geneerisen perusteluluokan lauseen perustelusta, joka on esitetty Kuvassa 6. Tämä perustelu kuuluu geneeriseen perusteluluokkaan, koska perustelu suoritetaan ainoastaan teräväkulmaisen kolmion tapaukselle. Perustelu eroaa empiirisestä siinä, että perustelussa käytetään yleistä muuttujaa ja kuvassa oleva teräväkulmainen kolmio edustaa mitä tahansa teräväkulmaista kolmiota.
Seuraavaksi esimerkki täsmällisen perusteluluokan lauseen perustelusta, joka esitetty Kuvassa 7.
24
Kuva 7: Esimerkki täsmällisestä perustelusta. (Heiskanen ym., 2016 s. 157-158)
25
Tämä perustelu on luokiteltu täsmälliseksi perusteluksi, koska siinä käytetään yleistä muuttujaa ja se koskee kaikkia mahdollisia tapauksia. Perustelu on toteutettu todistuksena.
Viimeisenä perusteluluokkana on sivuutettu perustelu, joka on esitetty Kuvassa 8.
Kuva 8: Esimerkki sivuutetusta perustelusta. (Hähkiöniemi ym., 2016 s. 163) Tämä on esimerkki sivuutetusta perustelusta. Appletissa havainnollistetaan lausetta, joten sen perusteella tämä voisi kuulua empiiriseen perusteluluokkaan. Mutta tässä tutkimuksessa tarkastellaan ainoastaan kirjassa esiintyviä perusteluja, tämä luokitellaan sivuutetuksi perusteluksi, koska kirjassa mainitaan, että yleisen tapauksen todistaminen on harjoitustehtävänä.
4.2 Todistusongelmat oppikirjojen tehtävissä
Esitetään tulokset oppikirjoittain samalla periaatteella kuin lauseiden perustelujen tapauksessa. Taulukoissa esitetään todistusongelmien lukumäärä, tehtävien lukumäärä yhteensä ja todistusongelmien osuus prosentteina. Ensimmäisenä siis Juuri -kirjan todistusongelmien luokittelu, joka esitetään alla olevassa taulukossa. Tulokset esitetään
26
luku kerrallaan. Kirjan loppupuolella olevat Kertaus- ja Kokoavia tehtäviä -osiot lasketaan yhdeksi luvuksi.
Taulukko 4. Juuri -kirjan todistusongelmien osuus kaikista tehtävistä.
Luku Todistusongelmien lukumäärä
Tehtäviä yhteensä Todistusongelmat prosentteina 1. Tasogeometrian
peruskäsitteitä
33 93 35,5%
2. Trigonometria 10 83 12,0%
3. Ympyrä ja kolmion merkilliset
pisteet
16 63 25,4%
4.
Avaruusgeometria
5 79 6,3%
Kertaus ja Kokoavia tehtäviä
5 42 11,9%
Yhteensä 69 360 19,2%
Juuri -kirja sisälsi kaikkiaan 360 tehtävää, joista 69 kappaletta, eli 19,2% oli todistusongelmia. Todistusongelmat jakautuivat hyvin vaihtelevasti eri kirjan lukujen välillä. Eniten todistusongelmia esiintyi kirjan ensimmäisessä luvussa. Tasogeometrian peruskäsitteet sisälsivät yhteensä 33 kappaletta todistusongelmia, mikä tarkoittaa 35,5%
luvun kaikista tehtävistä. Trigonometria luvussa todistusongelmia oli 10 kappaletta, kun kaikkiaan tehtäviä tässä luvussa oli 83 kappaletta. Todistusongelmien osuus siis kirjan toisessa luvussa oli 12,0%. Kirjan kolmannessa luvussa oli todistusongelmien osuus kaikista tehtävistä 25,4%, yhteensä 16. Kaikista vähiten todistusongelmia suhteessa kaikkiin tehtäviin esiintyi kirjan neljännessä luvussa. Ainoastaan viisi 79:stä tehtävästä oli todistusongelmia, mikä tarkoittaa, että todistusongelmien osuus tässä luvussa oli 6,3%.
27
Kirjan lopussa olevissa Kertaus ja Kokoavia tehtäviä osioissa oli yhteensä 42 tehtävää, joista viisi oli todistusongelmia, eli 11,9%.
Taulukko 5. Tekijä Pitkä matematiikka -kirjan todistusongelmien osuus kaikista tehtävistä.
Luku Todistusongelmien lukumäärä
Tehtäviä yhteensä Todistusongelmat prosentteina 1. Tasogeometrian
perusteita
6 46 13,0%
2.
Yhdenmuotoisuus
2 47 4,3%
3. Kolmio 5 82 6,1%
4. Ympyrä 5 64 7,8%
5.
Avaruusgeometria
3 86 3,5%
Kertaus 4 111 3,6%
Yhteensä 25 436 5,7%
Tekijä Pitkä matematiikka -kirjassa tehtäviä oli yhteensä 436 kappaletta, joista 25 oli todistusongelmia. Tämän kirjan tehtävistä siis ainoastaan 5,7% oli luokiteltavissa todistusongelmaksi. Todistusongelmat jakautuivat kirjan eri lukujen välillä melko tasaisesti. Ensimmäisessä luvussa oli eniten todistusongelmia suhteessa muihin lukuihin, kaikkiaan 13,0% kaikista luvun tehtävistä. Toisessa luvussa oli 47 tehtävää, joista kaksi oli todistusongelmia, eli 4,7%. Kirjan kolmannessa luvussa oli viisi todistusongelmaa, kun tehtäviä kaikkiaan oli 82 kappaletta. Todistusongelmia oli siis 6,1% kaikista tehtävistä. Neljännessä luvussa todistusongelmien osuus kaikista tehtävistä oli 7,8%.
Lukumäärältään tehtäviä oli yhteensä 64, joista todistusongelmia viisi. Viidennessä luvussa suurin määrä tehtäviä, yhteensä 86 kappaletta, ja suhteessa muihin lukuihin
28
pienin määrä todistusongelmia, yhteensä kolme kappaletta. Todistusongelmien osuus siis 3,5%. Kirjan lopussa olevassa Kertaus osiossa oli 111 tehtävää, joista neljä oli todistusongelmia eli 3,6%.
4.3 Perustelujen havainnollistaminen
Oppikirjat havainnollistavat lauseiden perusteluja kuvan tai esimerkin avulla. Juuri - kirjan perusteluja on havainnollistettu myös Geogebra -applettien avulla sekä opetusvideoilla, jotka löytyvät Otavan Digilisämateriaali sivulta. Tarkastellaan jokaisesta havainnollistamistavasta yhtä kvalitatiivisesti.
Ensimmäisenä havainnollistamistapana tarkastellaan kuvaa. Esimerkiksi otetaan Tekijä - kirjan sivun 23 lauseen perustelussa käytetty kuva. Lause on esitetty Kuvassa 9.
Kuva 9: Lause, jonka perustelun havainnollistamisessa on käytetty kuvaa.
(Heiskanen ym., 2016 s. 23)
Lauseen perustelussa kerrotaan vaiheet, jolla Kuvan 10 mukainen kolmio piirretään.
Kuva 10 ei siis ole välttämätön lauseen perustelun kannalta.
29
Kuva 10: Kuva perustelemisen havainnollistamisessa. (Heiskanen ym., 2016 s. 23) Kuva auttaa hahmottamaan paremmin tapauksen, jota perustellaan. Pelkästään sanallisen kuvauksen mukaan olisi hankalaa pysyä mukana siitä, mitä milläkin kulmalla ja suoralla tarkoitetaan. Ongelmana kyseisen kuvan tapauksessa on se, että kuva lukitsee tarkasteltavan kolmion teräväkulmaiseksi, jolloin kuvan perusteella ei voitaisi katsoa perustelun kattavan muitakin kolmio tyyppejä. Koska perustelu sisältää myös sanallisen osan, voidaan perustelun katsoa kattavan minkä tahansa kolmion ja näin ollen laskea perustelu täsmälliseen perusteluluokkaan.
Toisena havainnollistamistapana on esimerkki. Esimerkkinä tähän havainnollistamistapaan otetaan Kuvassa 11 esitetty esimerkki.
30
Kuva 11: Esimerkki lauseen perustelun havainnollistamisen apuna. (Heiskanen ym., 2016 s. 31)
Näiden esimerkkien jälkeen kirjassa on teksti, joka johdattelee monikulmion kulmien summaa koskevaan lauseeseen:
Esimerkin 5 päättely voidaan yleistää kaikille kuperille monikulmioille: Monikulmion yhdestä kärjestä lähtevät lävistäjät kulkevat monikulmion sisällä ja jakavat monikulmion kolmioihin niin,
että kolmioita muodostuu kaksi vähemmän kuin monikulmiossa on kulmia.
Tällä esimerkillä havainnollistettiin monikulmion kulmien summaa koskevaa lausetta.
Esimerkissä käytetään ainoastaan lauseen yksittäistapauksia, mutta esimerkin jälkeen tuleva teksti perustelee lausetta laajemminkin, joten lause luokitellaan geneeriseksi perusteluksi. Esimerkki havainnollistaa tässä tapauksessa helpoilla tapauksilla lauseen paikkansa pitävyyden.
31
Esimerkit toimivat usein lauseen johtamisen tukena tai itse lauseen käyttämisenä. Tässä tapauksessa esimerkki toimii lauseeseen johdattelun työkaluna. Toisaalta, jos esimerkkiä käy läpi vasta, kun on jo lukenut lauseen sisällön, toimii esimerkki tällöin kyseisen lauseen käyttämisenä. Esimerkki tulee kirjassa esiintymisjärjestyksessä ennen lausetta, joten on oletettua, että esimerkki tarkastellaan ennen lausetta, jolloin sen tarkoitus on johdatella lauseeseen.
Seuraavana havainnollistamistapana on Geogebra -appletti. Esimerkkinä tälle havainnollistamistavalle on Juuri -kirjan sivun 88 lauseen yhteydessä oleva Geogebra - appletti. Appletti löytyy Otavan digilisämateriaalien sivulta. Kyseinen lause on nimeltään Sinilause, jolle on esitetty kirjassa täsmällinen perustelu.
Kuva 12: Appletti lauseen havainnollistamiskeinona.
(https://oppimisenpalvelut.otava.fi/tuotteet/lukio/juuri-lops- 2016/#digilisamateriaalit, viitattu 20.10.2018)
Kuvassa 12 on kuvakaappaus Otavan digilisämateriaaleissa olevasta Geogebra - appletista, joka havainnollistaa sinilausetta. Applettiin on tehty kolmio samoilla merkinnöillä kuin kirjan lauseessa. Appletti näyttää jokaisen kulman sinin ja sen vastaisen sivun suhteen symbolisessa muodossa, niiden likiarvojen osamääränä sekä osamäärän likiarvon. Appletilla on mahdollista muuttaa kolmion jokaisen sivun pituutta ja kulman suuruuttaa, jolloin samalla muuttuvat esillä olevat likiarvot.
32
Kolmiota muuttamalla on helppo tehdä se havainto, että olipa kolmion sivujen pituuden ja kulmat minkä suuruisia tahansa, on aina sivun pituuden ja sen vastaisen kulman sinin suhde vakio. Eli toisin sanottuna se, mitä sinilause ja siihen liittyvä yhtälö tarkoittaa.
Appletillakin on kuitenkin rajoitteensa, sillä jokainen kolmion osan suuruus määräytyy tietyn desimaalitarkkuuden mukaan eikä siten ole mahdollista muodostaa kaikkia mahdollisia kolmioita.
Viimeisenä tarkasteltavana havainnollistamistapana on video. Esimerkkinä käytetään Juuri -kirjan sivuilla 129 olevan lauseen perustelun havainnollistaminen. Video löytyy
Otavan digilisämateriaalien sivulta
(https://oppimisenpalvelut.otava.fi/tuotteet/lukio/juuri-lops-2016/#digilisamateriaalit).
Lause koskee kolmion ympäri piirrettyä ympyrää. Kirjassa on selitetty kirjallisesti esimerkin muodossa vaiheet, joilla kolmion ympäri piirretty ympyrä saadaan konstruoitua. Esimerkin tehtävänantona on piirtää jollakin dynaamisen matematiikan ohjelmalla jokin kolmio ja ympyrä, joka kulkee kolmion kaikkien kärkien kautta, niin että ensin etsitään ympyrän keskipiste.
Videolla käytetään GeoGebra -ohjelmaa kolmion ympäri piirretyn ympyrän konstruointiin. Video ei sisällä ääntä, mutta eri vaiheet voi opiskelija lukea kirjan esimerkistä. Videolla vaiheet esitetään riittävän hitaasti, että jokainen voi itse seurata ja tehdä samalla samat vaiheet omalla tietokoneellaan. Etuna tällä havainnollistamistavalla on se, että kun opiskelija tekee videon ja kirjan ohjeiden mukaan appletin itse oppii opiskelija uusia toimintoja GeoGebrasta ja oppii ja rohkaistuu käyttämään kyseistä sovellusta. Appletin voi myös tallentaa koneelle, jota voi sitten hyödyntää esimerkiksi kokeeseen kerratessa.
Mikäli opiskelija katsoo videon ja tekee itse samalla perässä, kääntyy tämä havainnollistamistapa samaksi kuin aiempi havainnollistamistapa, appletti. Tämä havainnollistamistapa eroaa kuitenkin pelkästä appletista siten, että tässä ei ole valmista applettia mitä käyttää. Jotta tästä havainnollistamistavasta saa kaiken hyödyn, on seurattava videota ja luettava samalla kirjasta vaiheita, mitä videolla tehdään. Tämä johtuu siitä, että video ei itsessään sisällä ääntä.
33
Luku V 5 Pohdinta
Tämän luvun alussa käsitellään lauseiden luokiteltuja perustelutapoja ja sitä, minkä verran niitä esiintyi tarkastelluissa oppikirjoissa. Tämän jälkeen käsitellään sitä, kuinka perusteluja on oppikirjoissa havainnollistettu ja oppikirjojen tehtävissä esiintyviä todistusongelmia. Lisäksi pohditaan tutkimuksen luotettavuutta ja mahdollisia jatkotutkimusaiheita.
5.1 Perustelutapojen vertailu
Molemmat tutkimusaineistona olleet oppikirjat sisälsivät runsaasti matemaattisia lauseita, jotka oli perusteltu tai oli esitetty varsinainen todistus. Molempien kirjojen osalta voidaan todeta, että Malatyn (2003) kuvailema matematiikan rakenne täyttyy ainoastaan osittain. Pääosin oppikirjat rakentuvat deduktiivisesti siten, että aina aiemmin perusteltua asiaa käytetään seuraavan teoreeman perustelussa. Molemmat kirjat sisältävät kuitenkin useita teoreemoja, joiden perusteluja ei ole oppikirjassa esitetty, ja näitä teoreemoja käytetään myöhemmin perustelemaan seuraavaa teoreemaa. On kuitenkin ymmärrettävää, että kaikkea ei kyetä opiskelijoiden tietämys- ja taitotason huomioiden perustelemaan, sillä monet teoreemat vaativat tietoa, jotka esiintyvät vasta myöhemmillä lukiokursseilla.
Oppikirjojen välillä oli eroavaisuuksia siinä, mitkä asiat nimettiin lauseeksi. Kun toisessa oppikirjassa jokin asia oli esitetty tekstissä, toisessa kirjassa tämä asia oli korostettu lauseeksi. Juuri -kirjassa kaikki lauseet olivat selvästi korostettuina, kun taas Tekijä - kirjassa lauseita saattoi esiintyä kirjan marginaalissa ikään kuin huomautuksena.
34
Nämäkin lauseet ovat laskettu kuitenkin luokittelutarkasteluun mukaan. Oppikirjojen asioiden käsittelyjärjestys on hieman erilainen. Eroista huolimatta sisällöltään oppikirjat ovat pitkälti samat.
Lukumäärältään molemmat oppikirjat sisälsivät runsaasti lauseita. Juuri kirjan lauseista 20 (Taulukko 1) oli perusteltu jollakin tavalla ja vastaavasti Tekijä kirjan lauseista 18 (Taulukko 2) oli perusteltu jollakin tavalla. Yleensä täsmälliseen perusteluluokkaan kuuluvat perustelut olivat varsinaisia todistuksia. Molemmissa kirjoissa myös muutamat lauseet oli johdettu täsmällisen perusteluluokan kriteerein ennen lauseen esittämistä.
Todistukset eivät siis kuulu kummassakaan kirjassa empiiriseen tai geneeriseen perusteluluokkaan.
Juuri kirjan lauseista viisi oli perusteltu muulla tavoin kuin todistamalla. Näistä kaksi oli toteutettu empiirisellä perustelulla ja kolme geneerisellä perustelulla. Vastaavasti Tekijä kirjan lauseista yhdeksän oli perusteltu muulla tavoin kuin todistamalla ja kaikki nämä olivat geneerisiä perusteluja. Oppikirjojen välillä löytyi siis jonkinlaista eroa näiden perustelutapojen lukumäärien välillä siten että Tekijä Pitkä matematiikka -kirjassa esiintyy enemmän geneeristä perustelua kuin Juuri -kirjassa. Molempien kirjojen osalta nämä perustelut oli selvästi erotettu todistuksista, jolloin opiskelijalle ei tule sekaannusta siitä, onko kyseinen perustelu todistamista vai ei (Pólya, 2014, Reid & Knipping, 2010).
Nämä perustelutavat antavat opiskelijalle hyvät lähtökohdat oppia varsinaista todistamista (Reid & Knipping, 2010). Myöskin Pólyan (2014) mainitsema asioiden linkittyminen ja muistaminen helpottuu, kun asioita perustellaan. Perustelujen ei aina välttämättä tarvitse olla täsmällisiä eikä varsinaisia todistuksia.
Suuri ero oppikirjojen välillä oli siinä, minkä verran niissä esiintyy täsmällisen luokan perusteluja. Juuri -kirjan perusteluista 15 oli perusteltu käyttäen täsmällistä perustelutapaa. Se vastaa suurinta osaa tämän oppikirjan lauseista. Vastaava luku Tekijä Pitkä matematiikka kirjassa on yhdeksän. Isokääntä (2015) mainitsee tutkielmassaan, että hänen tutkimuksessaan olleissa oppikirjoissa oli esitetty osoitus seitsemälle ja toisessa kirjassa viidelle lauseelle. Vastaavat luvut tässä tutkimuksessa on, että Juuri -kirjassa vastaavanlainen osoitus on esitetty 15:lle lauseelle (Taulukko 1) ja Tekijä -kirjassa yhdeksälle lauseelle (Taulukko 2). Isokäännän tutkimuksessa olleet oppikirjat olivat vanhemman opetussuunnitelman mukaisia, joten nykyisen opetussuunnitelman mukaisissa oppikirjoissa vaikuttaisi siltä, että lauseiden todistamiseen ja perusteelliseen osoittamiseen ollaan panostettu enemmän.
35
Oppikirjat antavat hyvän mallin siitä, mitä todistaminen matematiikassa on. Oppikirjoissa esiintyvät todistukset ovat vieläpä melko lukijaystävällisiä, sillä ne sisältävät hyvin selitettyjä välivaiheita, jotta opiskelijan on mahdollisimman helppo seurata todistuksen etenemistä. Monissa lauseissa oli todistettu esimerkiksi a -kohta ja b -kohta oli jätetty harjoitustehtäväksi ja mainittu, että harjoitustehtävän todistus on vastaavanlainen kuin teoria osassa esitetty todistus. Tämä antaa opiskelijalle hyvän esimerkin ja mallin lähteä osoittamaan tehtävässä oleva todistusongelma.
Osa lauseiden perusteluista oli sivuutettu tai jätetty harjoitustehtäväksi. Juuri -kirjassa näiden lukumäärä oli 16. Vastaavasti Tekijä Pitkä matematiikka -kirjassa oli 23. Tässäkin oppikirjojen välillä oli eroa, Juuri -kirja esittelee perusteluita lauseille enemmän kuin Tekijä Pitkä matematiikka -kirja. Osa perusteluista oli sivuutettu kokonaan vedoten siihen, että siihen vaadittavat asiat tulevat vasta myöhemmillä kursseilla käsiteltäviksi.
Tämä on varsin ymmärrettävää, koska ei ole järkeä esittää perustelua asialle, mitä opiskelijan ei ole mahdollista sen hetkisellä tietämyksellä käsitellä. Oppikirjojen harjoitustehtävissä esiintyviä todistusongelmia käsitellään myöhemmin omassa alaluvussaan.
Kirjojen teoriaosassa esiintyvien lauseiden perustelujen osalta oppikirjat tukevat hyvin opetussuunnitelman perusteiden tavoitteita perustelemisen ja todistamisen osalta. Kuten Malaty (2003) ja Pólya (2014) mainitsevat geometria on aiheena hyvä opiskella todistamista ja harjoitella omien todistusten tekemistä.
5.2 Todistusongelmat oppikirjoissa
Molemmat oppikirjat sisältävät perustelemista vaativia tehtäviä, joten opetussuunnitelman tavoitteet voidaan katsoa täytetyiksi näiden osalta.
Perustelemistehtäviä, eli todistusongelmia oli eritasoisia. Osaan tehtävistä riitti jonkinlainen perustelu, kun taas osa tehtävistä oli ”todista” tai ”osoita” tehtävä. Eri tasoiset todistusongelmat antavat opiskelijoille mahdollisuuden oppia todistamista vähitellen. Todistus ja osoitustehtävät ovat varmasti opiskelijoille vaativia.
Oppikirjat eroavat melko paljon siinä, minkä verran ne sisältävät todistusongelmia. Juuri -kirja sisältää huomattavasti enemmän todistusongelma kuin Tekijä -kirja. Juuri kirjassa todistusongelmia on 19,2% (Taulukko 4) ja Tekijä -kirjassa ainoastaan 5,7% (Taulukko
36
5). Eron selittänee se, että Juuri -kirjassa todistusongelmia on enemmän eri tasoisia, kun taas Tekijä -kirjassa suurin osa todistusongelmista on ”todista” tai ”osoita” tyylisiä vaativampia todistusongelmia.
5.3 Perustelujen havainnollistaminen
Oppikirjoissa käytettiin havainnollistamistapana perinteistä kuvaa useimmissa lauseiden perusteluissa. Jos lauseen perustelua havainnollistettiin esimerkin avulla, myös silloin useimmiten kuva havainnollisti perustelua. Kuvaa käytettiin Hannan (2000) asettamien havainnollistamistapojen käyttötarkoituksiin eli teorian todistamiseen ja itse todistuksen tarkasteluun. Oppikirjoja ei vertailtu sen perusteella, minkälaisia havainnollistamistapoja niissä käytettiin tai minkä verran niitä käytettiin. Tutkielmaa tehdessä kuitenkin jäi mieleen yleiskuva, että molemmissa kirjoissa kuvaa käytettiin havainnollistamistapana usein. Esimerkki oli havainnollistamistapana hieman harvinaisempi.
Hannan (2000) mukaan tietokoneiden kehittymisen myötä tietokoneavusteisten havainnollistamistapojen käyttö on yleistynyt. Molemmissa oppikirjoissa kehotetaan käyttämään GeoGebra -sovellusta. Juuri- kirjalla on ilmaiseksi valmiita appletteja Otavan digilisämateriaalien sivuilla ja Tekijä Pitkä matematiikka -kirjalla appletteja ja videoita löytyy opiskelijan ja opettajan digikirjasta. Molemmat oppikirjat neuvovat GeoGebra applettien tekemisessä, joita opiskelija voi itse käyttää havainnollistamaan perusteluja.
Dynaamisen matematiikan ohjelmilla tehdyillä appleteilla voidaan havainnollistaa lauseiden perusteluja monipuolisemmin kuin perinteisellä kuvalla. Dynaamisuutensa ansiosta voidaan tarkastella lähes minkälaisia tapauksia tahansa ilman, että näiden tarkastelu vie paljon aikaa. Kuitenkaan ei voida sanoa, että appletilla olisi mahdollista tarkastaa kaikki mahdolliset tapaukset, sillä appletillakin on rajoitteensa. Esimerkiksi kolmion sivun pituutta voidaan muuttaa vain tietyn desimaalitarkkuuden mukaan.
GeoGebra on hyvä ohjelma matematiikan opiskelun tukena ja työkaluna ongelmien ratkaisussa. Oppikirjat opastavat hieman ohjelman toimintoja ja käyttöä, jonka avulla opiskelija oppii käyttämään ohjelmaa ja tekemään itselleen havainnollistavia appletteja.
Opiskelijan kannalta olisi hyvä saada lisätukea ja rohkaistusta käyttää ohjelmaa opettajalta. Osassa oppikirjojen tehtävissä on tehtävänä tehdä appletti tai käyttää valmista applettia tehtävän ratkaisuun.
37
5.4 Tutkimuksen luotettavuus
Tutkimuksessa tarkasteltiin kahta uuden opetussuunnitelman mukaisesti koottua oppikirjaa, Otavan Juuri -kirjaa sekä SanomaPron Tekijä Pitkä matematiikka -kirjaa.
Näiden kirjojen lisäksi markkinoilla ei ole muita vastaavia kirjoja, joten tutkimus kattaa kaikki pitkän matematiikan geometrian kurssin oppikirjat. Oppikirjoista luokiteltiin kaikki lauseiden perustelut sekä kaikki kirjojen tehtävät. Voidaan siis sanoa, että lauseiden perustelujen luokittelu Reidin & Knippingin asettamien perusteluluokkien mukaisesti on kaiken kattava ja luotettava. Myös kirjojen tehtävien luokittelu todistusongelmiksi kattaa kaikki tehtävät, joten sitä voidaan myös pitää luotettavana.
Mikäli lauseiden perustelujen perusteluokat koottaisiin jonkin muun lähteen avulla, voisi luokittelu olla erilainen.
Perustelujen havainnollistamisen osalta puolestaan tarkastelussa oli ainoastaan yhdet esimerkit kustakin havainnollistamistavasta. Kirjat sisältävät varmasti erilaisia tapauksia kyseisistä havainnollistamistavoista, joten tutkimuksessa esitetyt tulokset havainnollistamistavoista on vain pieni kurkistus aiheeseen. Tarkastellut havainnollistamistavat eivät olleet myöskään kovin hyvin perusteltuja, joten kattavia tuloksia ei tästä aiheesta saatu.
Tutkimuksen tarkoituksena oli tarkastella millaisia perusteluja oppikirjat sisältävät. Kirjat sisältävät paljon perusteluja, joita ei tarkasteltu. Kirjan tehtävistä jokainen vaatii jonkinlaista perustelua ja teoriassa esiintyvät esimerkit sisältävät myös perusteluja.
Kuitenkin tutkimukseen päätettiin tehdä tietyt rajaukset, mitä tarkastellaan, jotta haluttuja perusteluja voitiin tarkastella tarkemmin.
5.5 Jatkotutkimusaiheita
Jatkotutkimusaiheena voisi olla tutkia sitä, mitkä ovat opiskelijoiden kokemukset todistusongelmien tekemisestä. Myös Partasen (2013) tutkimuksessa jo tutkittua oppikirjojen teorioiden käyttöä voisi tutkia laajemminkin lauseiden perustelujen osalta.
Tutkimuksessa voisi ottaa selvää, kuinka paljon ja miten lauseiden perusteluja opiskellaan ja kuinka paljon opiskelija niiden avulla oppii todistuksia ja todistamista.
38
Pólyan (2014) mukaan geometria on sopiva aihe opetella todistamista, mutta todistamista ja perustelemista voisi tutkia myös muiden aiheiden osalta.
Yhtenä jatkotutkimusaiheena voisi olla opiskelijoiden GeoGebra -ohjelman käyttökokemukset. Tutkimuksella voisi ottaa selvää, käyttävätkö opiskelijat GeoGebraa apuna havainnollistamisessa ja osaavatko opiskelijat itse tehdä GeoGebra -appletteja.
Aihetta voisi tutkia yleisesti matematiikan opiskelussa eikä ainoastaan geometrian kurssin näkökulmasta.
