Analyysi IV
Harjoitus 6, kevät 2003
Tehtävät on tarkoitus ratkaista 1-4 hengen ryhmissä. Jokainen ryhmä palauttaa ratkaisut kansliaan viimeistään torstaina 6.3. nimillä varustettuna ja paperit yhteen nidottuna.
1. Osoita, että jokainen Rn:n suljettu osajoukko varustettuna indusoidulla metriikalla (siis sama metriikka kuin Rn:ssä) on täydellinen metrinen avaruus.
2. Onko kokoelmaF välejäIn =¡1
n,n2¢
, n = 2,3,4, . . ., välin(0,1)avoin peite? Osoita, että mikään kokoelman F äärellinen osakokoelma ei peitä väliä (0,1). Mitä tämä kertoo joukon (0,1)kompaktisuudesta?
3. Jos {Kα} on sellainen kokoelma avaruuden Rn kompakteja osajoukkoja, että ko- koelman {Kα} jokaisen äärellisen osakokoelman leikkaus on ei-tyhjä, niin osoita, että ∩Kα on ei-tyhjä. (Vihje: Tee vastaoletus, että∩Kα =∅, käytä Morganin lakia, Lindelön peitelausetta ja lausetta 1.26 ristiriitaan pääsemiseksi. )
4. OlkoonE perhe joukkoja E ⊂R. Osoita, että sup [
E∈E
E = sup{supE | E ∈ E} (1)
sup \
E∈E
E ≤ inf{supE |E ∈ E}. (2)
Käytä ratkaisussasi käsitteitä eräs yläraja, pienin yläraja, suurin alaraja jne.
Arvostelu: Oikeasta ratkaisusta saa 2 rastia / tehtävä.
